第3课时不等式的证明.doc

第三课时：不等式的证明一、知识梳理1重要不等式：如果2定理：如果a,b是正数，那么3 公式的等价变形：ab，ab（）24 2（ab0），当且仅当ab时取“”号；5定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）6推论：如果，那么 （当且仅当时取“=”）7. 比较法之一（作差法）步骤：作差变形判断与0的关系结论比较法之二（作商法）步骤：作商变形判断与1的关系结论8综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法用综合法证明不等式的逻辑关系是：综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法9分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法用分析法证明不等式的逻辑关系是：分析法的思维特点是：执果索因分析法的书写格式： 要证明命题B为真， 只需要证明命题为真，从而有 这只需要证明命题为真，从而又有 这只需要证明命题A为真而已知A为真，故命题B必为真10三角换元：若0x1，则可令x = sinq ()或x = sin2q ()若，则可令x = cosq , y = sinq ()若，则可令x = secq, y = tanq ()若x1，则可令x = secq ()若xR，则可令x = tanq ()11代数换元：“整体换元”,“均值换元”,“设差换元”的方法12放缩法:13反证法:二、典型例题讲解1. 已知a, b都是正数，并且a b，求证：a5 + b5 a2b3 + a3b2分析：依题目特点，作差后重新组项，采用因式分解方法来变形证明：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 ) = a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) = (a2 - b2 ) (a3 - b3)= (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)a, b都是正数，a + b, a2 + ab + b2 0又a b，(a - b)2 0 (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) 0即 a5 + b5 a2b3 + a3b22.设a, b R+，求证：证明：（作商）当a = b时，当a b 0时，当b a 0时， 3.已知a+b+c=0，求证：ab+bc+ca0.证法一：（综合法）a+b+c=0，（a+b+c）20.展开得ab+bc+ca=，ab+bc+ca0.证法二：（分析法）要证ab+bc+ca0，a+b+c=0，故只需证ab+bc+ca（a+b+c）2，即证a2+b2+c2+ab+bc+ca0，亦即证（a+b）2（bc）2（ca）20而这是显然的，由于以上相应各步均可逆，原不等式成立.4.设a、b、c均为实数，求证：+.证明：a、b、c均为实数，（），当a=b时等号成立；（），当b=c时等号成立；（）三个不等式相加即得+，当且仅当a=b=c时等号成立.5.若a, b, c, dR+，求证：证明：（用放缩法）记m = a, b, c, dR+ 1 m 2 即原式成立6.已知a、b、c、dR，且a+b=c+d=1，ac+bd1.求证：a、b、c、d中至少有一个是负数.证明：假设a、b、c、d都是非负数，a+b=c+d=1，（a+b）（c+d）=1.ac+bd+bc+ad=1ac+bd.这与ac+bd1矛盾.所以假设不成立，即a、b、c、d中至少有一个负数.7. 求证：+.剖析：|a+b|a|+|b|，故可先研究f（x）=（x0）的单调性.证明：令f（x）=（x0），易证f（x）在0，+）上单调递增.|a+b|a|+|b|，f（|a+b|）f（|a|+|b|），即=.8. 已知0 a 1，0 b 0, y 0, x + y = 1，则（构造函数法）左边 令 t = xy，则在上单调递减 三、同步练习1、下列命题中的真命题是（ ） （A）若a，b，cR，且ab，则ac2bc2 （B）若a，bR，且ab0，则2 （C）若ab，cd0，则 （D）若aR，则a2+32a2、设a0且a1，A=loga(a3+1),B=loga(a2+1),则A、B 的大小关系为（ ） （A）AB （B）AB （C）A=B （D）无法确定 3、已知实数x，y满足x+y-4=0，则x2+y2的最小值为（ ） （A）4 （B）6 （C）8 （D）104、已知a、b、c都是正数，求证：a。 5、求证：a+b+c0是a3+b3+c33abc的充要条件。6、求证：2（【参考答案】123DAC 提示：4、证明： = 由于式子两边a、b、c具有轮换对称性，故不妨设abc ，同理1 ，1 且右边0 a2ab2bc2cab+cbc+aca+b5、证明：a3+b3+c3-3abc=a3+（b+c）3-3b2c-3bc2-3abc=（a+b+c）a2-a（b+c）+（b+c）2-3bc（a+b+c）=（a+b+c）a2+b2+c2-ab-ac-bc=（a+b+c）(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20恒成立，故若a+b+c0，则a3+b3+c33abc反之也成立。a+b+c0是a3+b3+c33abc的充要条件。6、证明：而这样： 四、高考真题1.（2009江苏卷）(本小题满分16分) 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为. . 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为(1)求和关于、的表达式；当时，求证：=； (2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ (3)记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 【解析】 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学