浅谈放缩法证明数列不等式.pdf

4 4 中学数 学研 究 2 0 1 2年第 5期 题也是利用这 一背景编拟成题的 下面给出题 目 并 运用这 一定理求解 已知 函数 口 1 l n x 1 I 讨 论 函数 的单调性 设 0 一1 如果对任意 l 2 0 l 1 一 2 4 I l 一 2 I 求 a的取值范围 略解 I 略 由 I 知 当 口 一1时 在 0 上单调递减 不妨令 n 1 即 l一 1 o时 A 当aB 评析 此题采 用了拆项放缩 的技巧 放 缩拆 项 时 不一定从 第一项开始 须根 据具体题 型分别对 待 即放不能太宽 缩不能太窄 真正做到恰到好处 对数列的前n 项和S 经过放缩后 常常与一个新数 列的前 2项和进行比较 而这 个新数列的前 凡项和 比较容易求出 如等差数列 等比数列及可裂项求和 的数列等等 三 构造函数 利用函数性质 例3 已知数列 口 n 中 口 0 n 川 I 求数列 a 的通项公式a I I 设数列 a 的前 n项和为S 证 明S O 贝 4 F 一1 o 故 F F 0 0 即l n 1 0 所 以i n 1 一 L一 l I n 1 所以a n 一 n n 1一l n n 1 I n n 所以S 1一l n 2 I n 1 1 一 l n 3 l n 2 1一I n n 1 I n n S I n n 1 评析 数列是一类特殊的函数 利用函数的单调 性研究数列的单调性 进而证明一些数列不等式 这 是 很好 的 一种 思想 方法 四 利用二项式定理展开放缩 例4 已知数列 口 满足 s 口 n S 是 a 的前 t 项和 并且 a 1 I 求数列 a 的前 n项 的和 证 明 3 1 去 2 求证 2 1 一 1 3 解 I 由 题 意 s 号 得 s 川 川 两式相减 得 2 a 川 n 1 口 一n a 即 n一 1 a 川 2 a 所 以 n 1 a n a 2 两式相加得 2 n a 1 2 a 2 a 2 即2 a I a a 2 所以数歹 0 口 是等差数列 又 口 口 n 0 l a l n n n一1 所 以数列 a 的前 项的和为 S 2 n一1 丁 II 由 知 赤 1 1 c o c o 肌 1 c c c 业 2 r l 2 r n c n t 一 而 c l 1 32 2 1 1 C 1 一 而 故得证 1 l c c c n n 一 1 l 1 2 1 l c n 儿 一 4 6 中学数学研 究 2 0 1 2年第 5期 c 1 1 1 掣 c 巫 n 凡 二 2 3一 一 丢 0 求 证 一 2 一2 n N 证 明 一 c 一 c 戈 一 c 一 一 设 一 1 c 一 c 一 1 一 C C c 一 2 1 2 得 2 一 c 一 一 c 一 4 4 一 c 一 2 一 一 2 C c c 一 2 1 2 一 2 厂 一 2 一 2 n N 评析 本例若用数 学归纳法证明 思路 简单 但 是难度很大 现利用二项式定理展开 倒序法与基本 不等式相结合进行放缩 简捷地达到了欲证 目的 放缩法是不等式证 明中一种 常用的方 法 也是 一 种非常重要的方法 在证 明过程中 适当地进行放 缩 可以化繁为简 化难为易 达到事半功倍的效果 但放缩的范围较难把握 常常出现放缩之后得不 出 结论或得 出相反结论 的现象 因此 使用放缩法时 如何确定放缩 目标尤为重要 要想正确确定放缩 目 标 就必须根据欲证结论 抓住题 目的特点 掌握放 缩技巧 并根据不同题 目的类型 采用恰到好处的放 缩方法 才能把题解活 从而培养和提高 自己的逻辑 推理能力 分析和解决问题 的能力 一 道高考题引发 函数与其导函数性质 的探究 陕西省安康市江北高级 中学 7 2 5 O O 0 郝安军 2 0 0 9年北京数学理科 l 1题 设 是偶 函数 若 曲线 Y 在 点 1 1 处的切线的斜率为1 则 一1 一1 处的切 线的斜率为 解 此题可由函数与导函数之间性质关系来解 若 厂 是偶函数 则其导函数 为奇 函数 厂 一1 一 1 而厂 1 1 故 一1 一1 即斜率为 一1 下面就原 函数与其导 函数性质之 间 关系探 究如下 一 若f 为奇函数且可导 则导函数厂 是 偶函数 证明 f 法一 设 Y 是奇函数 即对定义 域内的任意 都有 一 f l i m也 l i m Z l x 0 a x e 0 一 厂 因此 为偶 函数 同理可证偶 函数的导数 是奇 函数 法二 设Y 是奇函数 即对定义域 内的 任意 都有 一 一 厂 即 一 一 因 此 厂 一 一 一 一 厂 一 则厂 为偶 函数 注 导函数是偶函数时 其原函数不一定是奇函 数 如厂 e O S 而 s i n x 2并不具有奇 偶 性 二 若 为偶函数且可导 则导函数厂 是 奇 函数 证法类似同上 如 证明 是偶函数 即对定义域 内的任意 都有