高等数学中微积分证明不等式的探讨.pdf

No 20 2009 现代商贸工业 Modern Business Trade Industry2009年第20期 基金项目 本文系浙江工商大学校级课题 1090KU108049 作者简介 柴云 1986 女 本科 南京晓庄学院数学系学生 主要研修方向 微积分方向 大量的黄金白银 形成了一批制造业中心 第二 促使20世纪世界经济格局发生变化 在汉密尔 顿和李斯特的倡导下 美国 德国实行重商主义政策 在工 业化的进程中逐渐赶超了英美等老牌资本主义强国 在20 世纪初已经成为世界上举足轻重的强国 此外 还有俄国 日本分别通过重商主义政策的实施短期内摆脱了落后的局 面 二战后崛起于强国之林 3 中西重商主义的比较分析 首先 任务不同 晚清的重商主义是出于救亡图存 而 西欧的重商主义是处于加速资本原始积累发展资本主义的 其次 作用不同 晚清重商主义的主张是在封建皇权容 许的范围内的调整 作用相当有限 西欧的重商主义作为国 家政策实施 通过发展工业 海外贸易积累了财富 为工业 革命的产生准备了条件 使得资本主义向垄断阶段迈进 再次 影响不同 晚清重商主义思想虽缘于西欧但显然 落后于西欧重商主义 它思想庞杂 未成为独立的理论体系 晚清重商主义思想带有明显的民族反侵略的特色从最初的 单纯强调发展商业到提倡走工业化道路是不断进步的 只是 囿于半殖民地和半封建的国家性质最终夭折了 西欧重商 主义对于经济理论和实践的贡献都是晚清重商主义所无法 比拟的 尤其它指导了美 德 俄 日赶超老牌资本主义国家屹 立于强国之林 影响了20世纪的世界经济格局 4 重商主义对我国当前经济转型的启示 随着社会主义经济建设实践的发展以及重商主义理论 的现代化 新的重商主义理论对于指导我国经济转型仍具 有很强的实践性 1 促进各行业 各区域协调发展 目前 我国经济的 现状是呈现二元 多元结构 东西地域差距也很明显 落后 地区面临赶超先进地区的任务 政策面临着运用现有的工 业结构布局 发挥好商贸的沟通作用 协调省际 区际之间 统一发展水平上的水平分工和不同发展水平上的垂直分工 的任务 既要充分发挥各省 各区域的绝对优势和比较优 势 又要杜绝重复建设 提倡节约和注重效率 2 扶持战略性产业的发展 对于关系国家安全 攸关 国计民生的战略性产业 前期发展需要大量资金投入后期 又呈现很强的外部经济特征的新技术产业等 国家应当给 与保护和扶持 帮助这些产业成长起来并形成竞争优势 3 防范金融风险 金融全球化的今天 各种金融衍生 工具的出现和运用在增强资本的流动性 为规避风险提供 对冲工具的同时 也增加了金融风险的不可测性 国际游 资冲击一国经济将是牵一发而动全身的效果 一国增加外 汇储备 财富 对于风险防范极为重要的 参考文献 1 叶世昌 古代中国经济思想史 M 上海 复旦大学出版社 2003 2 托马斯 孟 英国的字对外贸易的财富 M 北京 商务印书馆 1959 3 约瑟夫 熊彼特 经济分析史 M 北京 商务印书馆 1994 高等数学中微积分证明不等式的探讨 柴 云 南京晓庄学院数学系 江苏 南京211171 摘 要 不等式是高等数学中经常遇到而又比较困难的问题之一 众所周知不等式的证明在高等数学中起着重要的 作用 同时 不等式证明的教学对发展学生的数学思维 培养逻辑思维能力起着非常重要的作用 证明不等式没有固定的模 式 方法因题而异 灵活多变 技巧性强 将利用函数的单调性 函数极值及拉格朗日中值定理等证明一些与函数有关的不 等式 通过几个例子来具体说明微分中值定理在证明不等式中的运用 以及不同中值定理在解决的不等式的区别 关键词 不等式 微积分 证明 方法 中图分类号 O172 1 文献标识码 A 文章编号 167223198 2009 2020244204 1 利用导数定义证明不等式 例1 设函数f x a1sinx a2sin2x ansinx 其 中a1 a2 an都为实数 n为正整数 已知对于一切实数x 有 f x sinx 试证 a1 2a2 nan 1 分析 问题中的条件与结论不属于同一类型的函数 需 要仔细分析它们之间的关系 可以看出 a1 2a2 nan f 0 于是问题可以转化为证明 f 0 1 证明 由f x a1cosx 2a2cos2x nancosnx 得 f 0 a1 2a2 nan 利用导数的定义得 f 0 lim x 0 f x f 0 x 0 lim x 0 f x x lim x 0 f x x f x sinx f 0 lim x 0 sinx x 1 442 No 20 2009 现代商贸工业 Modern Business Trade Industry2009年第20期 即 a1 2a2 nan 1 说明 用导数定义来证明不等式的方法适用不广 需要 仔细观察问题的条件和结论之间的关系 2 利用可导函数单调性证明不等式 可导函数类不等式的证明方法之一可利用其导数符号 与函数单调性关系来证明 此类函数的特征及其证明方法 可概括如下 若f x g x 可导 证明 f x g x 证明 1 用减法 设x a 可转换为证明 f x g x 0 从而构造辅助函数 F x f x g x 若F x 0 F a 0则 F x 单调递增 因此 F x F a 0 所以F x f x g x 0 从而f x g x 若F x 不能判 断是否大于0 而F a 0 则求F x 若F x 0 则 F x 单调递增 即F x F a 0 从而 F x 单调递增 则 F x F a 0 所以 f x g x 2 用除法 设a x 1 从而构造辅助函数 F x f x g x F a 1或F b 1 F x f x g x g x f x g2 x 因为g2 x 0 所以考查分子 不妨设 x f x g x g x f x x f x g x f x g x f x g x f x g x x f x g x f x g x 若 x 0 F a 1 a 0 则 x 单调递增 F x 0 即 F x 单调递增 此时 F x F a 1 即f x g x 若 x 0 F b 1 a 0 则 x 单调递减 F x F b 1 即 f x g x 例2 求证sinx x 1 6 x3 x 0 证明 F x sinx x 1 6 x3 F 0 0 F x cosx 1 x2 2 F 0 0 F x sinx x F 0 0 F x cosx 1 0 得F x 单调递增 F x F 0 0 得F x 单调递增 F x F 0 0 得F x 单调递增 则 F x F 0 0 即sinx x 1 6 x3 本题F x 不能判断是否大于0 但端点值为0 所以 求F x F x 仍不能判断是否大于0 但F 0 0 继 续求F x F x 大于0 且利用端点值为零 一步步推 出F x F x F x 单调递增 最后得出所要证的结论 此题还可以用定积分的方法 后面将给出 例3 当0 x 2 求证sinx 2 x 分析 若令 F x sinx 2 x F x cosx 2 由于 导数符号不断变化 故辅助函数 F x 无单调性 需重设辅 助函数F x 可用除法试之 证明 令 F x sinx x F 0 lim x 0 F x 1 F 2 2 F x xcosx sinx x2 令 g x xconx sin x g 0 0 g x cosx xsinx cosx 0 g x 单调递减 因此 g x g 0 0 F x 0 F x 单调递减 F x F 2 2 sin 2 x 说明 用函数的单调性证明时 不等式两边的函数必须 可导 对所构造的辅助函数F x 应在某闭区间上连续 开 区间内可导 且在闭区间的某端点 f x 的值为0 然后通过 在开区间内F x 的符号来判断 F x 在闭区间上的单调 性 一般先用减法 若减法不能成立时 而且它满足除法条 件时 可用除法试之 3 利用函数的极值与最大 最小值证明不等式 3 1 极值与最大 最小值的求法 1 极值求法 求出可疑点 即稳定点与不可导的连续点 按极值充分条件判定可疑点是否为极值点 2 最大 最小值的求法 闭区间 a b 上连续函数的最大 最小值的求法 先 求出可疑点 再将可疑点处的函数值与端点a b处的函数值 比较 最大者为最大值 最小者为最小值 开区间 a b 内可导函数的最大值 最小值的求法 若f x 在 a b 内可导 且有唯一的极值点 则此极值点即 为最大值点或最小值点 3 2 证明方法 当不等式两边含有相同的 形式 时 可利用此形式构 造辅助函数 例4 证明 若p 1 则对于 0 1 中的任意x有 1 x p 1 x p 1 2 p 1 分析 设辅助函数 f x x p 1 x p 0 x 1 若 设 g x 1 2 p 1 F 0 f 0 g 0 1 1 2 p 1 F 1 0 0 x 1 故很难用函数单调性的定义去证明 不难看到不 等式两端都是常数形式 因而可想到用最值方法试之 证明 设函数 f x x p 1 x p 0 x 1 有f x px p 1 p 1 x p 1 p x p 1 1 x p 1 令f x 0 得唯一驻点x 1 2 从而 f 1 2 p p 1 1 2 p 2 p p 1 1 2 p 2 542 No 20 2009 现代商贸工业 Modern Business Trade Industry2009年第20期 2p p 1 1 2 p 2 0 p 1 所以 x 1 2 是极小值点也是 最小值点 最小值为 f 1 2 1 2 p 1 两边界为 f 0 f 1 1 所以1 x p 1 x p 1 2 p 1 说明 当题设满足以下条件时宜用该方法 1 所设函数 f x 在某闭区间上连续 开区间内可导 但在所讨论的区间上不是单调函数时 2 只能证不严格的不等式而不能证明严格的不等式 4 利用拉格朗日中值定理证明不等式 4 1 拉格朗日中值定理 设函数 f x 在 a b 内连续 在 a b 内可导 则有 f b f a b a f 其中 a b b a 4 2 拉格朗日中值定理证明思想 拉格朗日中值定理是以等式形式存在的 那么 如何利 用该定理去证明不等式呢 在拉格朗日中值公式中 a b 我们根据 在 a b 之间的取值可以估计f 取值范 围 从而得到不等式 4 3 用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤 1 验证函数在区间内满足拉格朗日中值定理的条件 自变量所在的区间 a b 2 对f x 求导 从而得到f 由此建立一个等式 f f b f a b a a b 3 由 的范围确定f 的范围 从而验证不等式 例5 设0 a b 证明 2a a2 b 2 lnb lna b a 证明 设f x lnx 则f x 1 x 对于f x lnx在 x a b 应用拉格朗日中值定理有lnb lna 1 b a a b 即lnb lna b a 1 a2 b 2 2ab 1 b 2a a2 b 2 又 1 b 0 a b lnb lna b a 1 2a a2 b 2 lnb lna b a 说明 拉格朗日中值定理将函数值与导数值连接在一 起 这里没有给出 的确切位置 而对于不等式而言 也不 需 不必精确 因此可利用中值定理证明 关键是选择 f x 及区间 a b 5 利用柯西中值定理证明不等式 柯西中值定理 设f x g x 满足 1 在区间 a b 上连续 2 在区间 a b 内可导 3 f x 和g x 不同时为零 4 g a g b 则至少存在一点 a b 使得 f b f a g b g a f g 例6 设e a b 4 e2 2004年研 究生入学考试数一卷 证明 设 f x ln2x g x x则f x 2lnx x g x 1 对于f x g x 在 a b 上应用柯西中值定理有 ln2b ln2a b a 2ln a e时 即1 lnt 0 t e时单调递减 从而 e 2 即 ln lne2 e2 2 e2 故ln 2 b ln2a b a 4 e2 说明 柯西中值定理是研究两个函数变量关系的中值 定理 当一个函数取作自变量自身时 它就是拉格朗日中值 定理 所以能用拉格朗日中值定理证明的不等式一定能用 柯西中值定理来证 反之则不然 6 利用泰勒公式证明不等式 6 1 泰勒定理 函数 f x 在闭区间 a b 上存在直到n阶连续导数 f x 在开区间 a b 内存在 f x 的n 1阶导数 则 对任何x a b 至少存在一点 a b 使得 f x f a f a x a f a 2 x a 2 f n a n x n n f n 1 a n 1 x a n 1 6 2 泰勒公式证明不等式方法 1 根据已知条件 围绕证明目标 选取恰当的点将函 数在该点展成泰勒展式 2 根据已知条件 向着有利于证明目标不等式的方向 对上面的展式作适当的处理 直到可以结合已知条件证出 不等式为止 例7 设lim x 0 f x x 1 且f x 0 求证 f x x 证明 由lim x 0 f x x 1及lim x 0 f x f 0 x 0 0知lim x 0 f x f 0 0 根据导数定义f 0 lim x 0 f x f 0 x 0 lim x 0 f x x 1 由 f x f 0 f 0 x f 2 x2 x f 2 x2及 f x 0 知f x x 说明 泰勒公式应用的关键在于根据题设的条件如何 选择要展开的函数 在哪一点的邻域将函数展开 展开的阶 次及余项形式 7 利用定积分理论证明不等式 定积分的性质 性质1 若f在 a b 上可积 k为常数 则kf在 a b 上 也可积 且 b akf x dx k b a f x dx 性质2 若f g都在 a b 上可积 则f g在 a b 上也 642 No 20 2009 现代商贸工业 Modern Business Trade Industry2009年第20期 可积 b a f x g x dx b a f x dx b a g x dx 性质3 若在区间 a b 上 有 f x g x 那么 b a f x dx b a g x dx 性质4 f在 a b 上可积的充要条件是 任给c a b f在 a c 与 c b 上都可积 此时 又有等式 b a f x dx c a f x dx b c f x dx 性质5 设f为 a b 上的可积函数 若 f x 0 x a b 则 b a f x dx 0 例8 证明 sinx x 1 6 x3 x 0 证明 x 0 sinx x 1 cosx x 0 sinxdx 1 1 2 x2 两端再次积分得 x 0 cosxdx x 0 1 x2 2 dx x 1 6 x3 即sinx x 1 6 x3 例9 设f x 在 a b 上连续 且单调递增 试证明 b a x f x dx a b b a f x dx 2 证明 设辅助函数F t t axf x dx a t 2 t af x dx 显然F a 0 t a b 有F t tf t 1 2 t a f x dx a t 2 f t t a 2 f t 1 2 t a f x dx 1 2 t a f t f x dx x a t 且f x 单调递增 则F x 0 因此 F t 单 调递增 所以 F b F a 0 b a 即得 b ax f x dx a b b a f x dx 2 说明 当不等式含有定积分 且被积函数 f x g x 时 可用定积分的性质来明 8 利用幂级数展开证明不等式 根据几个重要初等函数的幂级数展开式来证明 几个 初等函数的幂级数展开式如下 e x 1 x 1 2 x2 1 n x n x sinx x 1 3 x3 1 n 11 2n 1 x2 n 1 x cosx 1 1 2 x2 1 4 x4 1 n1 2n x2 n x 1 1 x 1 x x2 x n x 0 1 例10 证明 当x 0 1 1 x 1 x e2 x x 0 1 将1 x 1 x e2 x分别写成麦克