高等数学中不等式证明的研究[1].pdf

高等数学中不等式证明的研究高等数学中不等式证明的研究 一 用单调性证明不等式 一 用单调性证明不等式 一般方法 构造辅助函数 判定单调性 得所证不等式 基本依据 若 一般方法 构造辅助函数 判定单调性 得所证不等式 基本依据 若 f x在在 内单增内单增 a b f af xf b 若 若 f x在在 内单减内单减 a b f bf xf a 例 1 例 1 91 求证 时 0 x 11 ln 1 1xx 111 ln 1 ln 1 ln 0 11 f xxxx xxx 证明 证明 令 则 22 1111 0 1 1 1 fx xxxxx 故 f x在 0 单减 11 lim lim ln 1 0 1 xx F xFF x xx 所以 时 0 x 11 ln 1 1xx 例 2例 2 99 求证 时 0 x sin 2 xx 证明 证明 若令 1 sin 2 x f x 证明过程比较麻烦 我们可令 sin 2 x f x x 则 22 1 cossincos 2222 tan 0 22 xxx x xx fx xx f x 在 0 上单减 故 1 f xf 即 sin 2 xx 3 3 93 求证 时 常数不等函 分析 例式一般化为数不等式证明 常数不等函 分析 例式一般化为数不等式证明 eba ba ab lnln lnln ba ab abbaab ln e x f xx x 证 f x ab 可令单减 或者b 证lnln ba abbaa lnln xaax xa 可令 lnln f xxaax xa 证 证明 方法 证明 方法 令 0f x ln e x f xx x 则 2 1 ln 0 x fx x f x 所以在单减 又 所以 e lnlnab ab e ba 令 则 即 ba a 方法方法 f x b lnln e xaax xa ln0 ln1 1 aa fxaa xx 所以 f x在单增 所以 a 0f xf a lnln xaax xa 特别地令xb 1 得lnlnbaab 即 ba ab 0 0 f 证明 例 4例 4 92 设 0fx 12 0 0 xx 有 1212 f xxf xf x 则 1 g xfxxfx 证明 证明 令 g x 11 0 ff xx xx f x 又 0fx f x 1 xxx 故 1 fxxfx 在单减 而 0 在 1 g xfxx 0fx g x 0 单增 故 0 0g xg 从而有 0 特别地令 11 f xxf x f xx 2 xx 有 1212 f xxf xf x 例 5例 50 06 证明 ab sin2cossin2cosbbbbaaaa 时 证明 证明 令 0f xxsos xxxin2cx ssinx 则 fxco2sinxxx conxxxssi scoscosinfxxxx 0 x sinxx fx 0fx f 单减 f x 单增 又0ab f bf a 数 据拉格朗日中值定理得等式 由数 据拉格朗日中值定理得等式 由 即原不等式成立 二 用中值定理证明不等式 二 用中值定理证明不等式 法 法 一般方构造辅助函的范围得所证不等式 一般方构造辅助函的范围得所证不等式 证明 2 eeab 22 2 4 lnln e baba 例 6例 6 04 设 证明 证明 令 2 lnf xx 在 a b上用拉氏定理 得 f b f a f ba 即 22 lnlnln 2 ba ba 再令 2 e e a b ln x g x x 2 ee x 1 ln x 2 2 2 e e gg 从而 2 ln4 2 e g x x 0 g x 单减 即原不等式成立 注 注 也可令 22 2 e 4 n lnlf xx 含 或 辅数 含 或 辅数 axa 证 三 用最值证不等式号 法 构造 求所证不等式 基本依据 若 三 用最值证不等式号 法 构造 求所证不等式 基本依据 若 2 ee ax 0f x 一般方助函其最大 小 值 得一般方助函其最大 小 值 得 f a为为f x在在I上的最大值上的最大值 f xf a 若 若f b为为f x在在I上的最小值上的最小值 f xf b 2 例 7 例 7 99 证明 时 0 x 2 1 lnxx 2 1 x 证明 证明 令 则 22 1 ln 1 f xxxx 1 0f 1 2 ln2fxxxx x 1 0 f 2 1 2ln1fxx x 1 20 f 1x 为极小值点 但不能断定它是最小值点 又 2 3 2 1 x fx x fx 0 01 0 1 0 1 x x x 1x 为 fx 的最小值点 fx 1 20f fx 在 上单增 又 1 0f fx 在1x 0 由负变正 故 即 2 1 lnxx 2 1 x f x f x0f1x 为 0 的最小值点 注 注 也可改证 01x 时 ln1 1 xxx 1x 时1 1 lnxxx 1x 时 凸性证明不等式 凸性证明不等式 凹 凹 22 1 ln 1 xxx 四 用凹四 用凹 1212 22 xxf xf x f 凸 凸 1212 22 xxf xf x f 一般方法 构造辅助凹凸性 得所 例 8 一般方法 构造辅助凹凸性 得所 例 8 证明 12 Ix x 函数 判定证不等式 函数 判定证不等式 1 0 0 22 n nn xy xyxyxy n 1 证明 证明 令 则 0 1 n f tttn 12 1 0 nn f tntftn nt 所以函数 n f tt 在 0 是凹的 据凹凸性的定义可知 对任意的 0 x yxy 有 22 xyf xf y f 即 1 22 n nn xy xy 五 积分不等式的证明 五 积分不等式的证明 一般方法 构造含积分上限函数的辅助函数 判定单调性 得所证不等式 一般方法 构造含积分上限函数的辅助函数 判定单调性 得所证不等式 d b a xf xx d 2 b a ab f xx 例 9 例 9 设 f x在 a b上连续且单增 求证 证明 证明 令 d df tt 则 2 xx aa ax F xtf tt 0F a xa 时 有 1 d a 22 x ax1 F x xf xf t tf x d a 22 x xa f xf tt 1 d0 2 x a f xf tt F x 单增 故原不等式成立 F b 0F a 3 4 04 设 d x a f tt d x a g tt b f x 在 g xa例 10 例 10 上连续 且 xa b d bb d aa f ttg tt 求证 d b a xf xx d b a xg x x 证明 证明 令 由已知 F xf xg x d x a G xF tt G x0 xa b G a 0G b G xF x dd bb aa xF x xx G x d b b a a xG xxG x x d b G x x a 0 即 a d b xF x x a 0 d b xf xx a d b xg xx 例 11 例 11 05 设 f x 在 g x 0 1 fx 上有连续导数 且 0 0f 证明 证明 0 g x 0 有 1 00 d a g x fxxf x g x dx 1 f a g 0 1a 证明 证明 令 1 00 d 1 a F ag x fxxf x g x dxf a g 0 1a 则 1 F aaa g g a ff 1 fag ag 0 F a 单调不增 F a 1 d 1 Fxf x g x d 1 11 00 1 gfxxxfg 1 0 d 1 f x gfxxg 0 0 g 0f 1 00 d a fxxf x gdx g xx 1 f a g 练习 练习 f x在 0 1上连续 在 1 0 0 fx 内可导 0 0f 求证 1 2 1 0 df xx 1 3 0 dfxx 2 3 00 d d 01 xx F xf ttfttx 2 0 2 d x F