A3“课题学习猜想、证明与拓广”教案、教案说明及点评.doc

“课题学习：猜想、证明与拓广”教案、教案说明及点评执教人 樊丹子（西安交大附中）点评人 王志亮（甘肃省教育科学研究所）教案教学程序教学设计设计意图问题提出问题1.1-1.3 “正方形倍增”：(1) 边长为a的正方形，是否存在周长倍增的正方形？(2) 是否存在面积倍增的正方形？(3) (诱发学生思考)是否存在周长和面积都倍增的正方形？以递进的问题方式引发学生思考，让学生产生强烈的问题意识，使学生的整个学习过程成为由知识与经验，同化和索引出当前学习的新知识猜想探究(教师启发)：由正方形的倍增问题，你能生成什么样的猜想？(鼓励学生大胆猜想、对研究的问题发表见解，进行探索、合作与交流，对学生涌现出多样化的解题思路，及时予以引导、归纳和总结)得出结论后鼓励学生合理发散思维，提出新的问题让学生感知到我们不仅解决了问题,而且学会多种方式多种途径思考问题,发散思维.能力拓展问题2.1：任意给定一个正方形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？学生尝试、发现、验证凸现类比的数学思想方法，以类比引起新的认识冲突，促使学生重新审视，认真探究问题2.2：（矩形倍增）任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？矩形的形状太多了，我们如何来探索问题2呢？问题2.2：（具体化）如果已知矩形的长和宽分别为2和1，3和1，3和2，结论会怎样？你是怎么做的？与同伴交流。该环节留给学生充分思维的时间，四人小组讨论探究，发散思维，解决问题。并在全班交流。解决的方式很多：如试值法、一元二次方程，二元一次方程组，函数给学生充分的自由度，分组任意设定一组数据完成探索，方法自选；总结出探究问题的方法：从特殊到一般体现数学建模在探究过程中的作用，体会“数形结合”，“转化”等思想方法，拓展学生的思维空间。思维升华（2）若已知矩形的长和宽分别为m和n，是否有相同的结论？将问题转化为方程或方程组有无解的情况加以探究，使猜想得到验证。前面将问题特殊化后，在解决时积累了不少宝贵经验和方法，此时再将一般问题作为研究对象，符合一般认知规律，由于此问题涉及到解含有字母系数的一元二次方程还要讨论是否大于0的问题，对于多数学生来说会产生一定的困难，采用师生共析或告知的方式，使学生理解学法指导引导学生从过程和知能等方面作总结独立思考，全班交流（1）知识性内容的小结，可把课堂传授的知识尽快化为学生的素质；（2）数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标；（3）记录卡既可以用于教师课后了解学情，使得小组活动可以得到落实，又可以为学生进一步作课后的拓广和交流提供条件分发“课题学习记录卡”，学生课余填写记录卡天天向上学生根据结论进一步猜想，提出新的问题；教师引导、鼓励学生生成新的猜想；帮助学生掌握研究问题的科学方法，体验“猜想验证结论”的思维模式.课题学习记录卡 班级_ 姓名_问题：任意给定一个_形，是否存在另一个_形，它的周长和面积是已知图形周长和面积的_？探索过程：验证过程：收获与发现：评价： 教案说明一、设计思路“猜想、证明与拓广”是义务教育课程标准实验教科书数学北师大版九年级（上）“课题学习”的内容，课堂围绕着中心课题图形“倍增”，通过一系列具体问题逐渐展开，其主要意图是引导学生通过自主探索活动，综合运用已学的知识，体验处理问题的策略和方法，从而使自身解决问题的能力得到提升。我在设计这节课时抓住上述总体目标，对教材作综合加工，立足课本，却不拘泥于其中：相似形是否存在“倍增”图形正方形是否存在“倍增”正方形正方形存在“倍增”矩形.矩形是否存在“倍增”矩形任何长方形存在“倍增”图形类似方法探究长为m，宽为n的长方形.具体长方形存在“倍增”图形.正方形不存在“倍增”正方形.相似形不存在“倍增”图形.正方形是否存在“倍增”矩形小组讨论：1.一元二次方程；2.分式方程；3.二元一次方程组；4.函数图像解法长方形是否存在“减半”问题，“三倍”问题？其他图形（如菱形）是否存在“倍增”问题？（1）内容设计方面：补充了“引例问题”和“正方形到矩形的倍增问题”，使学生的猜想、探索进程更易入手，更加自然；四个具体倍增问题，使学生不断经历猜想、判断、证实或修正，由特殊到一般地探索与发现的过程，体验以数学的方式来“做数学”，感悟处理问题的策略和方法；设置“课题学习记录卡”，将课堂延伸，激发学生探究的意识和潜力以及协作交流的能力.（2）知识储备方面:：以本学期学习的一元二次方程、反比例函数等为基本素材，从学生的认知水平出发，层层设问、留白，引导学生逐步解决一个个看似简单又具有开放性、研究性的问题；（3）课堂组织形式方面：本课题学习是一个开放性、研究性且具有挑战性的课题，为学生提供了一个思考、探究的平台，这样的活动显然不能通过讲解、告知的方法，只能让学生在解决问题的过程中去体验、领悟，获得解决问题的方法和途径，所以我选择了以“自主探索，大胆猜想启发诱导，数学证明分组讨论，合理拓广”为主的教学方法为学生提供充分思考和交流的空间，鼓励学生在自主探索和猜测的基础上及时交流自己的想法和做法；（4）学法指导方面：注意问题的连贯性和前后内容的一致性，引导学生猜测、迁移、举一反三、由特殊到一般，启发学生发现更一般性的结论，寻找一般性的解决方法，鼓励主动参与、积极思考、探究方式多样化；（5）评价方面：由于问题解决需要综合运用有关知识和方法，教师在教学中应更多地关注学生参与活动的情况，包括是否积极思考，及时总结和主动交流，关注学生活动过程中思考了多少，包括能否发现并提出新的问题，能否从数学的角度考虑问题并尝试从不同角度分析和解决问题，是否善于进行归纳总结，不宜以是否获得最终答案为唯一标准对不同学生有不同要求，让每位学生都获得成功的体验。二、教学预期与效果反思本节课的几个议题均依照“猜想-证明-验证-拓广”的方式展开，使学生体验“数学化”的进程在探索过程中着重有计划的渗透处理问题的策略和方法数学本来就是一个整体，许多不同知识之间有着密切的联系，因此，我们有必要设计一些教学活动，帮助学生形成良好的整体观一节课下来，我认为达到的教学预期在于：（1）引导学生三次对新问题的生成提出拓展，对新问题的结论进行猜想，使整堂课连贯流畅、水到渠成，闪耀着学生的智慧，并且让学生反复经历了反思、借鉴和数学经验积累的过程；（2）锻炼和培养了学生将数学知识成功应用于具体问题的能力。在本节课的小组讨论中，学生们集思广议，方法多样，一元二次方程、分式方程、二元方程组、函数图像等思路的交汇，给学生提供了广阔的交流空间；（3）引导学生在经历了一堂课的探究后提出一些新的问题。在教学过程中，鼓励学生主动的从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流活动，使学生了解不同的思考途径所带来的新的认识，更进一步适时的引导学生总结获得知识规律，解决问题的方法，并将它们上升到方法论的层面，如从不同角度思考问题的思维方式及学会积累生活的经验，善于反思等等。（4）补充说明：课堂上，在解决边长为1的正方形是否存在“周长和面积同时倍增”的矩形时，除了运用方程、函数模型解决外，还有同学是利用“周长固定时，面积变化的连续性”进行“试值”，是我没有预设到的，不失为一种很好的思考角度：假设该正方形倍增之后的矩形存在，则其长宽之和必为4：（目标面积应为2）宽长试值得出的面积13320.53.51.75面积在从31.75变化的过程中，会有一刻达到2，故定存在这样的矩形。该法亦适用于之后的矩形“倍增”问题。点评本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版数学九年级（上）的课题学习，樊老师就这堂课做了有益的探索。一、亮点1.突出了“数学化”的过程本节课的几个议题均依照“猜想-证明-验证-拓广”的方式展开。四个具体倍增问题，使学生不断经历猜想、判断、证实或修正，以及特殊到一般的探索与发现过程，综合运用一元二次方程、分式方程、二元方程组、反比例函数、几何等知识“做数学”的过程，感悟处理问题的策略和方法，从而提升自身解决问题的能力。2.创造性地使用教材在内容设计方面，樊老师补充了“引例问题”和“正方形到矩形的倍增问题”，使学生的猜想、探索进程更易入手、更加自然；以递进的问题方式引发学生思考，让学生产生强烈的问题意识，使学生的整个学习过程成为由知识与经验同化和索引出当前学习的新知识。3.为学生提供了充分思考和交流的空间本节题是一个开放性、研究性且具有挑战性的课题，樊老师选择了以“自主探索，大胆猜想启发诱导，数学证明分组讨论，合理拓广”为主的教学方法，为学生提供了充分思考和交流的空间，鼓励学生在自主探索和猜测的基础上及时交流自己的想法和做法。同时，樊老师还很关注学法的指导，引导学生通过猜测、迁移、举一反三、由特殊到一般发现更一般性的结论，寻找一般性的解决方法，并探索解决问题策略、方法的多样化，以及让学生反复经历了反思、借鉴和数学经验积累的过程。4.尝试评价的新方式樊老师在本节课中尝试了多种评价方式，如语言鼓励、形体反映与交流、反思、课题学习记录卡，使评价充分关注过程，关注学生知识、能力、情感多维目标。二、有待商榷的问题1课题学习的“过程性、研究性”体现不够这是一个多种知识交汇的纯数学综合问题，一般化结果按课标要求是超纲的，所以对学生来说难度是比较大的。在一节课中全部处理完，课题学习的要求“过程性、研究性”体现不够，似乎只是解了一个很难的数学问题。为此，我们建议做以下改进：（1）将课堂中部分特殊问题的事先布置给学生完成，课堂上进行