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一类无理数的证明车沙粒红河学院本科毕业论文（设计）摘要无理数,这是古希腊毕氏学派的重大发现,更是反证法的典范.本文对前人对是无理数的许多证明方法进行了总结和研究,把证明推广到更一般的对一类数是无理数的证明上去.本文先列举了几种是无理数的证明方法,接着用多种方法证明了这一类无理数,然后,证明了更一般的这一类无理数.关键词:无理数;证明;根号ABSTRACTIrrational number is a great discovery of Pythagoras school in ancient Greek, especially is the model of counter-evidence method. This paper has summarized and researched many proofs about that is an irrational number, and extended to more general proofs about a kind of irrational numbers. This paper mainly proves the kind of irrational numbers with radical sign. The paper has firstly enumerated several proofs about that is an irrational number, and used a variety of ways to prove the irrational numbers of , then proved more general irrational numbers of . Keywords: irrational number; proof; radical sign红河学院本科毕业论文（设计）目 录第一章 前言1 第二章 预备知识3第三章 是无理数的证明53.1奇偶论证法53.2 无穷下降法53.3 质因子论证法63.4良序性原理73.5几何法8第四章 是无理数的证明104.1辗转相除法104.2整除性104.3质因子论证法1114.4质因子论证法2114.5最简分数114.6算术基本定理124.7牛顿有理根定理12第五章 是无理数的证明145.1算数基本定理145.2最简分数145.3质因子论证法155.4牛顿有理根定理15参考文献16致谢17红河学院本科毕业论文（设计）第一章前言 无理数,即非有理数之实数,不能写作两整数之比.若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环. 常见的无理数有大部分的平方根、和e等.无理数的另一特征是无限的连分数表达式. 公元前500年,古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras）学派的弟子希伯索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实,一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长为1,则对角线的长不是一个有理数）,这一不可公度性与毕氏学派的”万物皆数”（指有理数）的哲理大相径庭.这一发现使该学派领导人惶恐,认为这将动摇他们在学术界的统治地位,于是极力封锁该真理的流传,希伯索斯被迫流亡他乡,不幸的是,在一条海船上还是遇到毕氏门徒,于是希伯索斯被残忍地扔进了大海. 希伯索斯的发现,第一次向人们揭示了有理数系的缺陷,证明了它不能同连续的无限直线等同看待,有理数并没有布满数轴上的点,在数轴上存在着不能用有理数表示的”孔隙”.而这种”孔隙”经后人证明简直多得”不可胜数”.于是,古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了.不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机,对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响,促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明,推动了公理几何学和逻辑学的发展,并且孕育了微积分思想萌芽. 不可约的本质是什么?长期以来众说纷纭,得不到正确的解释,两个不可通约的比值也一直认为是不可理喻的数.15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为”无理的数”,17世纪德国天文学家开普勒称之为”不可名状”的数.然而真理毕竟是淹没不了的,毕氏学派抹杀真理才是”无理”.人们为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者,就把不可通约的量取名”无理数”这就是无理数的由来. 对于带根号的数来说只要满足不是完全次方数,那么它就是一个无理数.是我们见得最多也是用的最多的一个带根号的无理数.据数学史书记载,最早发现无理数的是毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯.”不是有理数”被发现不久,同时代的古希腊数学家塞阿多斯（Theodorus,公元前470年左右）又证明了,等等也都不是有理数.下面我们要研究的就是带根号这一类无理数的证明方法.17红河学院本科毕业论文（设计）第二章 预备知识本章主要是对文章中用到的一些定义、定理、推理做一个简单的介绍,以方便后面使用.定义1 当两个整数的最大公因数为1时就说与互质,表示为.引理1 假设,则有.定理1 当时,其中为正整数.证明: 因为;所以由引理1知;再由引理1得;这样一直做下去就得: ;又因为;所以同理得:;所以结论成立.定理2（良序性原理）中任意一个非空子集都有最小元（即中存在元,对中任意元都有）.定理3 若,的最大公因子为,则存在两个整数,使得:定理4（算数基本定理）任何大于一的自然数都可以唯一分解成其中,是素数 ,且为正整数.定理5（牛顿有理根定理）设为多项式 的根,其中系数 为整数.则或者为整数,或者是无理数.红河学院本科毕业论文（设计）第三章 是无理数的证明证明是无理数的方法有很多,在数量上毕氏定理的370种证法为最多.以下搜集的几种是无理数的证明方法都是比较常见和简单的.3.1 奇偶论证法证明: 假设为有理数,故可以写成,其中与为自然数且互质.将上式平方得 ;所以为偶数,从而也为偶数.令,其中为某一自然数,于是 或者 ,因此,为偶数,故亦为偶数.这就跟与互质的假设相矛盾,所以为有理数不成立,从而得证为无理数.这是一般书上最常见的证法.3.2 无穷下降法证明: 假设,其中与为自然数,带入等式 得到所以 （3-1）其中且 又因,乘以得于是且从而由（3-1）式知并且 .重复上述的过程,又可以得到且总之,我们可以得到自然数所成的无穷数列这是一个矛盾.所以是无理数.3.3 质因子论证法证明: 假设为有理数,故可以写成,其中与为自然数且互质.将上式平方得 ,或令为的一个质因子,则,从而,于是或.又因为,故 .换言之,为与的公因子,这就跟与互质相矛盾,所以为无理数.3.4 良序性原理证明: 一个分数有无穷多的化身,例如:现假设为有理数,即 .此时与皆有无穷多个可能值.令,分别表示分子、分母、,之和的全体所成的集合,即 由良序性原理知,皆有最小元素,分别令其为、 ,就等于.因为 ,所以 ,即 .从而 ;故有新的表示法 .但是,由 ,可知 .从而 （3-2） （3-3） （3-4）（3-2）式与的最小性相矛盾,故为无理数.（3-3）式与的最小性相矛盾,故为无理数.（3-4）式与的最小性相矛盾,故为无理数.3.5 几何法证明: 在直角三角形里,直角边为1的三角形的斜边为,如果说是有理数,也就是其可以表示为两个数之商,即,其中和为互质的两个自然数.由得,则肯定存在一个边长为整数的最小的等腰直角三角形.设这个等腰直角三角形的直角边长为,斜边为.如下图所示: 图3-1 边长为整数的最小的等腰直角三角形现在以A为原点,分别以AB和AC为半径做两段弧.根据很简单的初等几何知识,很容易算如图所示的各边长度.我们也会发现,三角形FDC也是一个各边都是整数的等腰三角形!这就导出了矛盾,因为如题所说,三角形ABC就已经是边长最小的等腰直角三角形,而现在又出来一个边长更小的等腰直角三角形,他们的边长都是整数,这就陷入了无限递推的困境. 换一个角度说,就算一开始的三角形ABC的边长不是最小,那按照这样下去,就存在一个比三角形ABC更小的三角形FDC,同样的做法,又可以得到一个比三角形FDC更小的三角形,因此循环下去,那就是根本不存在边数最小的、各边都是整数的等腰直角三角形,而这是不可能的.因此,是无理数.红河学院本科毕业论文（设计）第四章 是无理数的证明本章主要介绍了是无理数的7种证明方法; 在证明是无理数之前,我们规定是自然数且不是完全平方数,这才保证了是无理数,我们才能进行证明;后面提到的都是这样定规定的,就不一一说明.4.1 辗转相除法证明: 假设 ,其中与为自然数且互质.则 , ,根据定理3知,存在两个整数, ,使得 .于是 因为,、都是整数;所以 为整数,即 是整数,这与不是整数相矛盾.因此是无理数.4.2 整除性证明: 假设 ,其中与为自然数且互质.故 ,这表示 ,所以 ;又因为与互质（）,所以只好,因此 ,即是一个完全平方数,这与题设相矛盾,故是无理数.注意:当推得时,就已经跟矛盾,因为不是整数,所以.4.3 质因子论证法1证明: 假设 ,其中与为自然数且互质.则 或 显然,由算术基本定理知,存在一个质数使得,于是,从而 .由此得 或 ,不论何者皆可得 .因此,为与的公因子,这跟与互质相矛盾,故为无理数.4.4质因子论证法2证明: 假设为有理数,即（,为自然数且互质）,则:, 所以 .(1)当时,由算术基本定理知存在一个素数,使得所以,为和的公因子.又因为,互质,即.所以,和互质,即.这与为和的公因子相矛盾.（2）当时, ,即 .这与不是完全平方数相矛盾.综合（1）、（2）得是无理数.4.5 最简分数证明: 假设为有理数,即,且 是最简分数.由于不是整数,所以.由得:;因为为最简分数（）.所以也为最简分数（）.又因为n的最简分数只能是.所以,即, 这与相矛盾.所以是无理数.4.6 算术基本定理证明: 假设为有理数,即（,为互质的自然数）,则:,其中:且,因为若,则,但不是完全平方数,故.又因为,故.又由算数基本定理知:其中与皆为素数,且 ,.再由得到: （4-1）观察（4-1）式,因为是整数,所以此式的分母可以全部约掉,因此,再由算术基本定理的等价形式必有使得,这与,互质相矛盾.所以,为无理数.4.7 牛顿有理根定理证明: 因为是的根,由牛顿有理根定理知或者是整数,或者是无理数;又因为不是完全平方数,所以不是整数,即是无理数.红河学院本科毕业论文（设计）第五章 是无理数的证明在进行证明之前我们要对 、定义保证是无理数,我们假设、为整数且不是完全次方数.5.1 算数基本定理证明: 假设为有理数,即（,为互质的自然数）,则:,其中:且,因为若,则,但不是完全次方数,故.又因为,故.又由算数基本定理知:其中与皆为素数,且 ,.再由得到: （5-1）观察（5-1）式,因为是整数,所以此式的分母可以全部约掉,因此 ,再由算术基本定理的等价形式必有使得,这与,互质相矛盾,所以,为无理数.5.2 最简分数证明: 假设为有理数,即,且 是最简分数.由于不是整数,所以.由得:;因为为最简分数（）.所以也为最简分数（）.又因为m的最简分数只能是.所以,即,这与相矛盾.所以是无理数.5.3 质因子论证法证明: 假设为有理数,即（,为自然数且互质）,则:, 所以 .（1）当时,由算术基本定理知存在一个素数,使得所以,为和的公因子.又因为,互质,即 .所以,和互质,即 .这与为和的公因子相矛盾.（2）当b=1时, ,即 .这与不是完全次方数相矛盾.综合（1）、（2）得是无理数.5.4 牛顿有理根定理证明: 因为是的根,由牛顿有理根定理知或者是整数,或者是无理数;又因为不是完全次方数,所以不是整数,即是无理数. 红河学院本科毕业论文（设计）参考文献1 佚名.无理数的由来C. /view/26ca063987c24028915fc356.html,2007. 2 王丹华,杨海文,刘咏梅.初等数论M.北京:北京航空航天大学出版社,2008:1-23.3 Kenneth H.Rosen.初等数论及其应用M.夏鸿刚.北京:机械工业出版社,2009:84-87.4 Joseph H.Silverman.数论概论M.孙智伟.北京:机械工业出版社,2008: 34-38.5 蔡聪明.为无理数的证明C./view/1baee142 a8956bec0975e35d.html,1988. 6 赵焕光.数的家园M.北京:科学出版社,2008:118-211.致谢光阴似箭,岁月如梭,刚踏进校园的情景还历历在目,转眼间四年的时间就快过完了,即将离开校园,心中难以平静,在此,向所有关心、帮助过我的老师、同学及朋友们表示感谢.首先要感谢我的论文指导老师易斌老师,易老师平日里工作繁多,但在我做毕业论文设计的每一个阶段,从查阅资料、撰写初稿最终论文定稿,整个过程都给予了我悉心的指导.在这过程中.不仅使我接受了新的思想观念,领会了基本的思考方式,而且还使我明白了许多为人处世的道理.正是由于他在百忙之中多次审阅和指导,对一些细节进行