数学竞赛中证明不等式的几种常见方法.pdf

散学教学通讯 z o o o 年第8 期 总第 1 2 9 期 重庆 4 5 数 学 竞赛 中证 明 不等 式的几种 常 见方法 重庆市第一中学 4 0 0 0 3 0 唐绍友 在高中数学竞赛中 证明不等式有换元法 构造法 匹配法 反证法等常用方法 下面对此 略作介绍 1 换元法 例 1 已 知 z 儿 z R 求 证 靠 一十 1 9 9 6 z 2 z z Y 2 z 4 年 2 月号 数学奥林匹克问题4 0 题 证明 令2 z Y z a z 2 y z 6 z Y十2 z C 得 4 x z 口 6 c z z 芈 一Q 45 z 二 一 得 塑二 二 旦 一 得 z 于是 兰 垒 二 鱼 二 c 2 z Y z z 2 y z z Y 2 z 4 a 二4 c 4 9 一 鱼 a b 4 6 一 C 鱼 1 a C C 9 一 2 鱼a o 2 D q V 2 寺 所以原不等式获证 例 2 设 口 b C R 且满足 a b c 1 证 明 南 詈 第3 6 届国际奥林匹克竞赛题 证明 因为 a b c 1 所 以原不等式 甘 b 2 C 2 b 2 口 6 c 口 c 口 令口 6 c z 0 0 z 0 1 所以 Y 未 Y 骗证 Y z z z z 十 z z 十 z 吾 由柯西不等式得 X 2 y 2 z 2 z z z m 志 责 兰 而 2 z Y z 2 0z十 Y 因为z Y z 0 所以在上式两边约去 z 得 y 2 南 2 z v z 3 夏 3 所以 y 2 寿 手 故原不等式获证 2 匹配法 例 3 设 z 1 z 2 0 求 证 要 鬟 五 z Z 2 7 1 证 法 1 要 z 2 2 z 1 鬟 z 3 2 z 2 Z 2 z 3 2 Sen 1 署 z 2 将 上 述 个 不 等 式 相 加 得 爱 鬓 每 署 z 1 z 2 2 z l 2 如 即 要 维普资讯 4 6 重庆 O 所以 x 2 要 X 2 A 署 z z z 3 I 一 一 例4 设 n b d是满足a b b c c d 如 1 的正实数 求证 b d a b 口 c 题 证明 以 3 b c d 6 3 a c d C3 口 b d d3 a b c 第 3 1 届 奥 赛 备 选 号 詈 口 2 号 二 62 z 号 号 c 2 警 z 将上面四式相加 J n b d a b 鲁 n 2 b c 2 d 2 一 j 争 n 6 6 c cd 如 n c 吾 n 2 6 2 c 2 一 2 口 6 6 f 吾 口 2 c 2 2 n c 5 2 d 2 2 b d 5 a 2 6 c d C 一 寺 n b 6 c d a 亏 n b 6 c 一 2 n 如 了 1b b c I n b 6 c 一 n 如 了 n 6 c 证毕 评 洼 匹配活当的项或因式 旨 存但成 公式 的完整条件 进而使用公式证题 3 构造法 例5 已 知 a 1 a 2 n 7 0 求证 口1 口2 n4 口5 a1 a2 a4 n 5 a6 a7 a 2 a 3 a4等 等 5 a 6 a 7 n a1 a3 a4 2 a 5 a 6 n 1 a 3 a4 口5 a6 a7 证明 构造函数f x m 0 易 Z 1 孢 证 z 在 0 o o 上是增函数 因为 a 1 a 2 a 7 0 所以a 1 a 2 口 4 a 5 n 1 a 4 a 5 n2 a 3 a 5 n6 a3 a 5 口6 所以 口 1 a 2 a 4 a 5 a 1 a 4 a 5 f a 2 n 3 a 5 a 6 f a 3 n 5 a 6 所以左边 a 1 a4 n 5 t 21 a4 口5 口6 a7 口3 a 5 a6 口4 a7 口1 a4 a 5 口 1 a3 a4 n 5 a6 a7 口3 口5 口6 口 1 a3 a4 n 5 a6 a7 a1 n3 a4 2 a5 a6 n 1 a3 a4 n 5 a6 a7 证毕 例6 设实数口 b c 满足 f n 2 一b c一8 a 7 0 I 6 c 2 b c一 6 n 6 0 求证 1 n 9 1 9 8 6 年全国高中联赛题 证明 由已 知得 b c a 2 8 a 7 b c a一1 所以b c 是方程 干 n一1 z a 8 a 7 0 的两实根 所以 T 口 一 1 4 a 8 n 7 一3 n 2 3 0 a一2 7 0 维普资讯 效学教学通讯 2 o 0 0 年第8 期 总第1 2 9 期 重庆 4 7 所以a 一 1 0 a 9 0 所以1 a 9 例 7 证明 对任 意正实数z 儿 B 不等式 成立 证明 x 2 x y 3 2 脬 A C 构成如图所示的AA B C 因A B B C A C 即 臃 3 z2 成立 4 反证法 例8 若0 a f 寺 所以 寻 F 所 以 丁 軎 另 一方 面 1 一 口 1 a 2 1 一 口 2 口 3 2 2 一 矛盾 所以假设不成立 所以原命题 成立 练习题 1 已知 口 6 c E R 求证 c 3 而声 2 设 口 0 b 0 c 0 求证 a b c 6 c a c a b a b c 3 求 证 一 号 斋 4 设 口 6 c E R 求证 口 6 c 5 设 a l a 2 a b l b 2 b 都是正实 数 且 耋 a t i妻 b 证 明 喜 丢 奎 a ii 1 i 1 i o i i 数 且 一 f 证 明 寺 蛋 量 l l i T 二 I 6 设z Y 0 求证 J Z 2 b y 2 Z y 7 设三实数a b c 满足I 口 I 1 I b I 1 I c I