高二选修2-2推理与证明同步辅导.doc

高二选修2-2推理与证明同步辅导【知识概要】推理与证明推理证明合情推理演绎推理归纳类比综合法分析法反证法直接证明间接证明数学归纳法 本章知识网络： 一、推理 1. 归纳推理 1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。 2）归纳推理的思维过程大致如图： 实验、观察概括、推广猜测一般性结论 3）归纳推理的特点： 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。 归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。 2. 类比推理 1）根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。 2）类比推理的思维过程是： 观察、比较联想、类推推测新的结论 3. 演绎推理 1）演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。 2）主要形式是三段论式推理。 3）三段论式常用的格式为： MP （M是P） SM （S是M） SP （S是P） 其中是大前提，它提供了一个一般性的原理；是小前提，它指出了一个特殊对象；是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。 二、证明 1. 直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。 2. 间接证明：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。反证法的一般步骤是：反设推理矛盾原命题成立。（所谓矛盾是指：与假设矛盾；与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾）。 常见的“结论词”与“反议词”如下表：原结论词反议词原结论词反议词至少有一个一个也没有对所有的x都成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n1个p或q p且 q至多有n个至少有n1个p且q p或 q三、 数学归纳法一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数N的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:(1)证明当n= 时命题成立;(2)假设当n=k时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.【题型分析】题型1 用归纳推理发现规律【例1】观察：； ；对于任意正实数，试写出使成立的一个条件可以是 _.点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故【例2】蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数.则=_;=_. 【解题思路】找出的关系式解析 【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系【例3】观察sin210cos240sin10cos40；sin26cos236sin6cos36.两式的结构特点可提出一个猜想的等式为_答案sin2cos2(30)sincos(30)解析观察401030，36630，由此猜想：sin2cos2(30)sincos(30).可以证明此结论是正确的，证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin(302)sin301cos(602)cos2sin(302)12sin(302)sin30sin(302)sin(302)sin(302).【例4】给定正整数n(n2)按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数1，2，3，n，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数），依次类推，最后一行（第n行）只有一个数.例如n=6时数表如图所示，则当n=2 007时最后一行的数是（ ）A25122 007 B.2 00722 006 C.25122 008 D.2 00722 005 解析：由题意知，112=724,48=623，20=522，故n行时，最后一行数为(n+1)2n-2，所以当n=2 007时，最后一行数为2 00822 005=25122 008.选C题型2 用类比推理猜想新的命题【例1已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是_.【解题思路】从方法的类比入手解析原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解法应为等体积法， 即正四面体的内切球的半径是高【名师指引】（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等.【例2】对于等差数列有如下命题：“若是等差数列，是互不相等的正整数，则有”。类比此命题，给出等比数列相应的一个正确命题是：“_”。【解析】 若是等比数列，是互不相等的正整数，则有 解析：这是一个从等差数列到等比数列的平行类比，等差数列中类比到等比数列经常是，类比方法的关键在于善于发现不同对象之间的“相似”，“相似”是类比的基础。 .【例3】在直角三角形中，两直角边分别为，设为斜边上的高，则，由此类比：三棱锥的三个侧棱两两垂直，且长分别为，设棱锥底面上的高为，则.【解析】题型3 用分析法证明数学命题【例】已知,求证 解析要证，只需证 即，只需证，即证显然成立，因此成立【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证-只需证-”，而不是“因为-所以-”题型4 用综合法证明数学命题【例】在锐角三角形中,求证:解析为锐角三角形，在上是增函数，同理可得，题型5 用反证法证明数学命题【例1】设，求证证明：假设，则有，从而 因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不等式成立。【例2】已知a + b + c 0，ab + bc + ca 0，abc 0，求证：a, b, c 0 证：设a 0, bc 0, 则b + c -a 0 ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0矛盾， 必有a 0 同理可证：b 0, c 0【例3】已知，证明方程没有负数根【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾 解析假设是的负数根，则且且，解得，这与矛盾，故方程没有负数根题型6 对数学归纳法的两个步骤的认识【例1】 已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（且为偶数）时命题为真，则还需证明（ ）A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立 C. n=2k+2时命题成立 D. n=2（k+2）时命题成立解析 因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选B【名师指引】用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：（1）n的范围以及递推的起点（2）观察首末两项的次数（或其它），确定n=k时命题的形式（3）从和的差异，寻找由k到k+1递推中，左边要加（乘）上的式子【例2】用数学归纳法证明等式123(n3)(nN*)时，验证n1，左边应取的项是()A1 B12 C123 D1234 解析当n1时，左12(13)124，故应选D.题型7 用数学归纳法证明数学命题【例3】若n为大于1的自然数，求证 证明 (1)当n=2时，(2)假设当n=k时成立，即当n=k+1时， 不等式也成立.综合（1）（2），等式对所有正整数都成立【例4】用数学归纳法证明不等式解析（1）当n=1时，左=，右=2，不等式成立（2）假设当n=k时等式成立，即则(基本不等式)当n=k+1时， 不等式也成立.综合（1）（2），等式对所有正整数都成立【点拨】（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；（2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；（3）由k推导到k+