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关于Wallis公式的证明 刘凯正 2014 4 11 Wallis公公公式式式的的的形形形式式式 lim n 2n 2 2n 1 2n 1 2 证证证明明明过过过程程程 看到阶乘 首先想到排列组合 但变换后找不到思路 只能用老师提供的方法 考虑定积分 In Z 2 0 sinnxdxn 3 N 由数学分析知识可得到 I2k 2k 1 2k 2 I2k 1 2k 2k 1 k 3 N I2k 1 I2k 2k 2 2k 1 2k 1 2 令 G k I2k 1 I2k 下面我们来证明当 k 时 G k 1 对 0 0 当 2 x 时 sinx 1 2 则 R 2 0 sin2k 1xdx 1 2 R 2 2 sin2kxdx R 2 0 sin2kxdx R 2 2 sin2kxdx R 2 0 sin2k 1xdx R 2 2 sin2k 1xdx R 2 0 sin2kxdx R 2 2 sin2kxdx G k 2 Z 2 2 sin2kxdx Z 2 0 sin2kxdx 固定 对于 2 N0 N 当k N0时 sin 2 2k 1 cos 2 2 2 2 sin2k 2 sin2k 2 2 Z 2 0 sin2kxdx Z 2 0 1 cosxdsin 2k 1x sin2k 1 2 2k 1 cos 2 从 1 易知 sin2k 1 2 2k 1 cos 2 sin2k 2 2 所以 Z 2 0 sin2kxdx 2 Z 2 2 sin2kxdx 从而 1 R 2 0 sin2k 1xdx R 2 2 sin2k 1xdx R 2 0 sin2kxdx R 2 2 sin2kxdx G k 1 根据 的任意性 可知 lim k G k lim k 2k 2 2k 1 2k
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