数学竞赛中整数不等式的证明方法.pdf

中学数学教学参考 1994 年第 10 l一期 数学竞赛中整数不等式的证明方法 西安市西光中学 刘康宁 如果一个不等式中的每个变量都取整数 则称这 样的不等式为整数不等式 或离散型不等式 整数不 等式被誉为不等式大花园中的一朵奇葩 它融不等式 性质和整数理论于一体 具有较强的综合 性 经常活跃 在数学竞赛试卷中 本文试图通过具体例子说明这类 不等式的一些证明方法 需要提醒的是 下面这个性质是常用的 性质 若 乙任z 且 a 乙 则 a 乙 1 一 利用重要不等式 例 1 设 a l 内 一 入 是卜2 一 的一个排列 求 例 2 IMo2 0一5 设 a aZ 相同的正整数 求证 对任何自然数 菩令 菩令 为两两各不 有 证法一 设乙 乙 2 6 是 a aZ a 的一个排 列 且石 乙 2 奋 奋 告 故由排序不等式 有 al 十争 李 十令 乱序和 1十 备 十杀 令 反序和 1十杀 十亲十 景 一 l 音 奇 十十 证法二 丫 2 a 是互不相等的正整数 咨会 暮令 又由柯西不等式 有 令 1 令 而 1 一 一 令甄 山 令 二 乙 二二竺 一江 2簇 乙 器 置 k 昌 k 润厂 砰 昌 护 口l口2口3 a 1 aZ十 1 a l 几月月 暮分 买御 暮韧 口1任2 已 即 生 竺十 些 竺卫 口 2口3 一 十冬 十工 乙 忍 2 刀一 l 二 l 刃犷十 十 十 气1十不 一 J 砚 乙 十 z 一 2 十合十 十令 竺 竺十 口2任3 氏一 1 2 二 刀一 1 十 乡 下 十 一不 十 十 口二 乙O 刀 说明 这个证明很巧 巧在给欲证的不等式两边同 加上 1十 冬 冬 二 十生卿生 生 乙J呢召一 口2 后只需用平均值不等式即可 例 3 设 a aZ a 是互不相等的正整数 求证 叮 蓦 十 时 十 十嘴 2 时 嘴 a矛 证明 l 当 一 1 时 左边二叮 璧 2 丫刃 万石亨 二2a 扔 右边 2 设 k时不等式成立 那么当 一k十1 时 右边二2 武 砖十 十心十成 十1 2 中学数学教学参考 1994年第10 11 期 二2 武 里 十 君 4 时 建 君 吞1 a 2聋 簇 十 十 工 十 今 呈 笼 4 a矛 要 矛 舒 Z a至 一 奈 孺 里 忠 乙 l 乙 一 N 去 卜 责 都成 十狐一4 业甘 二业 2 心 十斌 二 孟 分 右边簇a 了十麟十 十叮 a 宁十的十 劲 十 孔 十 全十1 二 叮 二 刃 l a 宁十此十 昨 一左边 由 1 2 知 对一切 N 不等式都成立 例 4 设 a 任N 二0 l 2 n 多1 且 a 夺 a 求证 s 一 行 牛 产牛 一 场一 一 a a a aZ 十刃 毕 万蕊 一兴 其中 裱示 的最小公倍 a 一 a 父 2 片 L一 以J 认 一 目J 厂 旧 数 且 a 乙 N 求证 一 证明 可证明更强的不等式 毛 与 一 去 少 月 卜 J J ao 2 I 当 二 l 时 因 a a 又 a a al 从而仁 a a z a 二育土下成土 生 一李 a a r Za a 2 2 假设不等式 谕 十 aZ a3 十 十 一上 毛与 一勃 La a 一 a一 乙 成立 那么 命 簇子早 下十工 1一 翻 Lu 一a 习 u l乙 下面分两种情形讨论 i 若 Za 则由 a a Za 有 l 乒 井 一共 一 与 乙口0乙住 0乙 压02 无 1 了 11 若 a Z a 记 a u 的最大公约数为比 令 二耐 耐 其中爪 互质 且a 1 二耐 丫 a a 2内 观 刀 2珑 从而 锐十1簇 西 一 乙 卜 二 占 卜 占 乃一 b 一 乙 介 6 b 一 b 一 例 6 设 任N 二1 2 3 且 九 二 十 2 十 x 求证 2 一十八2 劝 十 因 n妻3 时 2 2 一z 忿 龙 这与题设矛盾 故必 存在 厂 一 1 不妨设 2 八 1 无 J 十 一 了 二 l 令 x 一I y 镇 簇k 则 弘 1 且 1 十y l l 十y Z l 十y 一 x 足 2 石 1 石 一 赴 一 x 一 十y l y 一 叭 下面就不同的 k进行讨论 i 当无 3时 有 1 y 1 y 二 1十夕 一 十 夕 夕2 y l如 十 一夕 十 十 l 价 l l 于是由 得 中学数学教学参考 1 994年第 10 1 1 期 犷 l犷2 梦 夕3 g 夕 即2梦3 歹卜 簇 一l 夕l 歹3 歹 夕 2镇军 犷2 即1缪3 犷 梦 夕2夕3 夕卜 夕 毛 一1 即 夕 歹2 夕 蕊 一l n 1十劫 十 x 二 十y l 夕 2 歹 2 n 11 当无 2时 1 l 梦2 n 夕 工 夕 1 夕 夕 n 又由勺 l 一1 夕 2 一l 0 得夕 1 夕 2蕊1 夕1歹 2 n 十 2 x 一 夕l 如 2 i 的当无 l 时 易知题设等式不成立 综上可知 n 1 2 十叭 10一 2 证明 若乙二 一 依题设 1 10一 不等式 成立 若石 至少有一个不为零 构造无理数 A二 a 西厂丁 了了 B 石 了了一 了了 c二 一西了万 十 了万 D 一乙 声 万一 c 尹 Z万 于是月 刀 e 刀 a 乙丫万 2一 3e 2 t 一 了万 一s eZ 二 a Z 2乙 2一 3e 2 2 一 80 2乙坚 b c 都是整数 乘积 A B C 刀也是整数 丫A B c D并0 月 B C 列 1 无 一 饥 l 0 即 n 无 一 n 一卜l 1 伽一无 介 一 饥 l 阴一厂 2 壳 一恤 z 十无 饥 z 3仁 无 一 艺 无十Z十 1 k k十l 无 2 无十3 4无 6 n一k 3 儿一无 即 共 丁兰 无 普 故 共 丁竺 2李无 2 2 一 2 2 一 五 利用 呷 x 夕 几 二 n 厂 了 丫 因司 压丑 I L 从 例9 设 任R 无任N 求证拼 止长生已 兰 书 斗 卫 此处 一 一 一 一 k 无 一 一 a 表示不大于 a 的最大整数 证明 先证明如下一个引理 设 异0 夕 则 钾 妻 x 夕 事实上 设 一 岁一 刃 刀 0毛 a 刀10 一2 方和小于 1 aZ l 都是大于 1且互不相同的正整 了万 了厄 10 一 2 的倒数平 2 设 数 求证 一 典