极限与连续(修订).doc

第二章 极限与连续 我们在第一章已经介绍，微积分课程研究的对象是函数，而研究函数的工具就是极限。极限是微积分学的基本概念之一，是微积分学各种概念和计算方法能够建立和应用的基础，是区别于高等数学和初等数学的显著标志.本章将讨论数列极限与函数极限的定义、性质及基本计算方法，并在此基础上介绍与极限概念密切相关的函数连续性的基本知识。2.1 数列的极限极限概念是由于社会生产实践中求某些实际问题的精确解而产生的.早在公元3世纪，我国古代著名数学家刘徽曾提出用圆内接正多边形的面积近似计算圆面积的方法割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。设有一圆，首先作该圆的内接正六边形，其面积记为；再作内接正十二边形，其面积记为；再作内接正二十四边形，其面积记为；，继续下去，每次边数加倍，第n个内接正6边形的面积记为（）.这样，就得到一系列正多边形的面积：，.，.它们构成一列有次序的数.当n越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以作为圆面积的近似值也就越精确.但是无论n取得如何大，只要n取定了，终究只是正多边形的面积，还不是圆的面积.因此，设想当n无限增大（记为读作n趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时也无限趋近于某个确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积.而这个确定的数值在数学上称为上面这一列有次序的数（即数列），.，.当时的极限.这样，我们从直观上得到了数列极限的概念.定义2.1 以正整数集为定义域的函数按排列的一列数，称为一个无穷数列，简称数列，记为.其中称为数列的通项或一般项，正整数称为数列的下标. 数列的例子： 例21 数列：1， 例22 数列：2，例23 数列：2，0， 例24 数列：-1，1，-1，1，.例25 数列 观察上列数列会发现，当下标n无限增大时（记为），各数列取值的变化趋势大致可以分为两类：一类是当时，无限趋近于某个确定的常数，如例2.1、例2.3中的无限趋近于数0(记为),例2.2中的无限趋近于1（）.另一类数列则无此特点,如例2.4、例2.5中的不趋近于某个确定的常数.一般，设有数列和常数A，若当时，无限趋近于常数A，则称A为数列的极限，或称数列收敛于A，记为 或 （ 如果数列有极限，则称是收敛的，否则称是发散的.如例2.1、2.2、2.3中的都是收敛的，它们的极限分别为：，而2.4、2.5中的极限不存在，所以它们都是发散的. 上面几例，仅仅对数列的极限作了一些直观的分析.为了精确表明“无限增大”，“无限接近”的含义，我们对作进一步的分析。直观上看，随着n的不断增大，=与0无限接近程度可以用小于某个正数来表示.若令要使10时，都能满足与0的距离小于即对于以后的任意一项，.都能满足；如果再取一个更小的正数，要使100以后的任意项，.都能满足；.由此可见，对于=，无论事先任意给定的正数多么小，在n无限增大的变化过程中，总有那么一个时刻，在那个时刻以后，有.而存在的那个时刻如何确定？一般，对于任意小的正数，要使=N（存在的时刻）时，数列从第N+1项起以后所有项都能满足0，总存在正整数N，使得当nN时，有不等式0, 正整数N,当nN时,有N)及以后,使0，要使即可.所以取N=，则当nN时，即n，就有0, 要使-1(设N时，就有.利用数列极限分析定义,可以证明下列两个数列极限:(1) (0)上述两个极限,有必要记住结论.例如: , 0, , .2.2 函数的极限上节讨论了数列的极限，由于数列是定义域为正整数自变量为n的函数 .所以，数列的极限实质是函数极限的一种特殊情形.本节将讨论函数的极限，主要研究以下两种情形：（1） 自变量x的绝对值无限增大即趋于无穷大（）时，对应的函数值的变化情形；（2） 自变量x任意地接近于有限值（）时，对应的函数值的变化情形.一 当时，函数的极限讨论函数，当充分大时（即），无限地接近于1，如图2.2. 图2.2.也就是说，当无限增大时，可以任意地小.即对于任意给定的，要使成立，只要即可.所以取一正数M=，只要当M时，就有成立，此时，则称x趋于无穷大时，以1为极限.定义2.3 设有函数和常数A.如果对于任意给定的0，总存在正数M，使得当M时，有不等式0, M,当M 时，有M,即或时,函数的图形位于两条直线和之间，如图2.3. 图2.3与数列极限类似, “M”定义中的描述f(x)与A的接近程度,M刻划充分大的程度, M随而确定.例27用分析定义证明极限证 对0, 要使,取M=,则当M 时，就有M改为或者,则常数A就成为函数当或者时的极限，记为,上述极限称为函数的左右极限,也可简记为:0, M,当xM 时，有0, M,当x-M 时，有0，在邻域内，有.这里，关键是找到以为心的某个空心邻域.由上式知，当时，就有，亦即满足不等式的任意x，都能使不等式成立.由此，我们给出函数在某点极限的分析定义：定义2.4 设函数在点某空心邻域内有定义.如果存在常数A，对任意给定的正数，总存在正数，使得当x满足时，有不等式0, ,当 时，有0，要使成立，只要即可.所以取=，则当时，就有恒成立，由定义2.4知，.例29证明证 由于，因此，对于任意给定的0，可取=，则当时，就有，所以，.三 左极限和右极限讨论时函数的极限为A，是当自变量不论是从左侧或的右侧趋近于时，函数都无限趋近于A.但是，有时我们只需考虑仅从的左侧或仅从右侧趋近于.例如，函数，其定义域为-1，1，但点-1与1的任何邻域都不能完成包含在定义域内，因此，我们仅考察从-1的右侧趋于-1（记为）或者从1的左侧趋于1（记为），由图2.8观察有：， 图2.8上述极限称为函数的左极限、右极限.定义2.5 设函数在（a，）有定义.如果存在常数A，对任意给定的正数，总存在正数，使得当x满足时，有不等式0, 某个时刻,在该时刻以后，有0，当时，总有，即由函数极限定义知，有，因此，当时，为无穷小量.记，则有.充分性 设，其中为时的无穷小量，即.于是，对0，当时，总有，即.二 无穷小量性质性质2.1有限个无穷小量的和或差仍为无穷小量.例如时，和都是无穷小量，则当时，也是无穷小量.性质 2.2有限个无穷小量之积仍为无穷小量.定义2.7 设函数在点某空心邻域内有定义.如果存在正数M和，当时，总有不等式0, 总使得当时，有即有 （2.2）当时，有即有 （2.3）取，于是当时，式（2.1）、（2.2）、（2.3）均成立，则有从而有 由极限定义可知.注意 （1）准则对函数极限其它情形也成立. （2）数列夹值定理： 对于数列、如果满足条件： （1）， （2）则有.例 2.24 利用准则求极限 解 对于有 而，由数列夹值定理，有 =1.作为准则的一个重要应用，下面给出第一个重要极限: 证 因为，所以当改变符号时，的值不变，故只需讨论由正值趋于的情形就可以了.如图2.11的单位圆中， 图2.11设圆心角 （，过点处的切线与的延长线相交与，又，则，因为的面积扇型的面积的面积，所以 即 （2.4）同除以， 从而 又由（2.4）式有于是有因为 ，由夹值定理可得 例2.25 求极限 解 上述重要极限简记为: 例2.26 求极限 解 由于，当时， 故.例2.27 求极限解 .例2.28 求极限解 令，则.当时，有于是.例2.29 求极限解 由于，所以 .二 极限存在准则及重要极限 设有数列，如果对任意正整数，有（或），则称数列单调增加（或减少）数列.如果存在正整数，使 恒成立，则称数列为有界数列.准则 单调有界数列必有极限.作为准则的一个应用，我们讨论另一个重要极限 首先考虑取正整数而趋于的情形.设 ，利用牛顿二项公式可以证明数列单调增加且有界. 由于类似地 比较和 的展开式可以看出，除前面两项相等外，从第三项起，的每一项都大于的对应项，并且还多出最后一正项.因此即数列单调增加，下证是有界的. 因为，如果的展开式各项括号内的数用较大的数1代替，就得到：即数列是有界的.根据极限存在准则知，数列极限存在，通常用数来表示它，即可以证明，当取实数而趋于或时，函数的极限都存在且等于，因此 （2.5）注意 （1）数是无理数，其值为2.718281828459045.（2）利用代换 ，当时，于是（2.5）式又可以写成 例2.30 求极限解 令，当时，于是有.例2.31 求极限解 由于 故例2.32 求极限解 例2.33 求极限解 令，即，当时，于是第二个重要极限也简记为 三 连续复利第二个重要极限的一个重要应用就是求连续复利.设本金为，年利率为，则一年末结算时本利和为 二年末的本利和为 .年末的本利和为 如果一年分期计息，年利率仍然为，则每期利率为，于是一年末的本利和为 . 年末的本利和为 如果计息期数，即每时每刻计算复利（称为连续复利），则年末的本利和为 .四 等价无穷小量代换求极限利用两个重要极限求函数极限，由前面几例我们知道，当时， ， .作为等价无穷小的一个应用，下面介绍利用等价无穷小量代换求函数极限.定理2.5 设且存在，则证明 定理2.5说明，当求两个无穷小之比的极限时，分子分母都可以用等价无穷小量来代替.如果用来代替的无穷小量选得适当的话，可以使计算简化.例 2.34 求极限解 由于当时，.于是例 2.35 求极限解 当时，于是我们还可以证明，当时，.注意：利用等价无穷小量代换求函数极限，只能用于乘除运算，对加、减项的无穷小量不能随便代换，如例 2.36 求极限解 由于当时，所以但是，下面的解法是错误的：.2.6 函数的连续性自然界中有许多现象，如气温的变化、河水的流动、植物的生长等等，都是连续地变化着的.这种现象反映在数学上就是函数的连续性，它是微积分的又一重要的概念.一 变量的改变量设变量从它的一个初值变到终值，终值与初值的差称为变量的改变量（或者称为增量），记为，即 .当时，变量增大，改变量是正的；当时，变量减少，改变量是负的.例如，设有函数在点的某邻域内有定义，当自变量从初值变到终值时，其自变量的改变量为；相应地函数从初值变到终值，函数的改变量.例 2.37 正方形的边长产生一个的改变量，问其面积改变多少？解 边长为的正方形面积函数 当边长产生改变量时，其面积改变量.例如边长由改变到，此时面积改变因为，所以面积增加了如果边长由改变到，此时面积改变因为，所以面积减少了二 函数连续的概念对于函数定义域内的一点，如果自变量在点处取得极其微小的改变量时，函数也相应产生微小的改变量，且当趋于零时，也趋于零，则称函数在点处是连续的，如图2.12.而对图2.13中的函数来说，在点不满足这个条件，所以，它在点是不连续的. 图2.12 图2.13定义2.10 设函数在点的某个邻域内有定义，如果 （2.6）则称函数在点连续.对于（2.6）式，如果令，则当即是.又因为，于是就是.因此，（2.6）式又等价于所以，函数在点连续的定义又可以叙述如下：定义2.11 设函数在点的某个邻域内有定义，如果 （2.7）则称函数在点连续.定义2.11告诉我们，函数在点连续需满足以下三条：（1） 函数在点有定义；（2） 存在；（3） .由函数当时的极限定义可知，上述定义也可用“”语言表达： 在点连续当时，有.例 2.38 证明函数在任意点处皆连续.证 任意取定一点，当在处产生改变量时，函数相应的改变量为因为所以，函数在点处连续.由点的任意性可知，在任意点处皆连续.例2.39 证明函数在内连续.证 ，由于 =因为，所以即因而 所以，函数在点处连续.由点的任意性可知，在内连续.同理可证在内连续.如果只考虑单侧极限，则当时，称函数在点处左连续.当时，称函数在点处右连续.显然，函数在点连续的充要条件是函数在点既左连续又右连续.如果函数在开区间内每一点都连续则称函数在内连续.如果函数在开区间内每一点都连续且在左端点处右连续，右端点处左连续，则称函数在闭上连续.三 函数的间断点定义2.12如果函数在点处不满足连续条件，则称函数在点处不连续，或者称函数在点处间断.点称为间断点.显然，如果在点处有下列三种情况之一，则点为间断点（或者不连续点）：（1） 在点处无定义；（2） 有定义，但是不存在；（3） 有定义且存在，但是.例 2.40 讨论下列函数在指定点处是否连续：（1）正切函数在 处.解：由于 在 处无定义，所以在点处间断. 因，我们称为函数的无穷间断点，图2.14.（2）正弦函数在 处.解：正弦函数 在 处无定义，正弦函数 在 处间断. 因时，函数值在-1与+1之间无限次振荡，所以点称为的振荡间断点，图2.15. 图2.14 图2.15 （3）函数在处.解：函数 在 处无定义，所以 在 处不连续. 但由于，所以，可以补充定义：令，则函数 在处就连续，所以点称为该函数的可去间断点，图2.16.此时函数成为 （4）函数在处.解：在处有定义，但是： 即在处左右极限存在但不相等，故极限不存在，所以在处不连续.由于的图形在处产生跳跃现象（图2.17），我们也称为函数的跳跃间断点. 图2.16 图2.17上面几例说明函数的间断点有不同类型.一般，我们把函数的间断点分为两类： 如果点是函数的间断点，且在左右极限皆存在，则称为的第一类间断点；如果在左右极限至少有一个不存在，则称为的第二类间断点.在第一类间断点中，左右极限相等则称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点.无穷间断点和振荡间断点属于第二类间断点.例 2.41设 求函数的间断点，并判断其类型.解 因为 函数在处无定义且所以点是函数的第二类间断点，且为无穷间断点. 在处函数有定义，且，但， ，所以，为的第一类间断点，且为跳跃间断点.在处，无定义，所以是的间断点.但，故是的第一类间断点且为可去间断点，图2.18. 图2.18四 连续函数的运算法则由于函数的连续性是以极限理论为基础，因此利用函数极限的性质可以证明连续函数的四则运算法则.定理2.6 如果函数与在点处连续，则 ，在点处也连续.下面我们仅证在点连续，其他情形类似证明.证 因为与在点处连续，所以有 及 由极限运算法则有，所以，在点处连续.如函数，因，都在区间内连续，由定理2.6知，和函数在它们的定义域内是连续的.由连续函数性质，可以证明如下结论：（1） 多项式函数在内连续；（2） 分式函数除分母为0的点不连续外，在其他点处都连续；（3） 基本初等函数在其定义域内连续；（4） 一切初等函数在其定义区间内连续.由函数在点处连续的定义有：，即如果已知在点连续，那么求当的极限时，只需求在点的函数值就行了.因此，初等函数的连续性为我们提供了一个求函数极限的有效方法.例如，点是初等函数的定义区间内的点，所以；点是初等函数的定义区间内的点，所以.例2.42求下列函数极限（1）解：为初等函数，为定义域内的点，所以 （2）解： （3）解 令，则，当时，于是 .（4）解 所以 .五 闭区间上连续函数性质在本小节我们将不加证明地给出闭区间上连续函数的两个重要性质：最值定理与介值定理.定义 2.13 设函数在区间上有定义，若存在，使得对内的一切恒有 ，或则称是在上最大值或最小值.最大值与最小值统称为最值.定理 2.7（最值定理）设函数在闭区间上连续，则在上必取得最大值与最小值.即在上至少存在两点使对任意的恒有 .由上式可得推论2.4 闭区间上的连续函数一定是有界函数. 定理 2.8 （介值定理）设函数在闭区间上连续，且在上的最大值为最小值为.则对任何实数，至少存在一点，使得 .最值定理和介值定理的几何意义，如图2.19所示.图2.19 图2.20 推论2.6（零值定理）设函数在闭区间上连续，且，则至少存在一点，使得 . 零值定理的几何意义，如图2.20所示.图中共有三个点满足：注意：（1）最值定理和介值定理及其推论中的条件“在闭区间上连续”是重要要的，即区间要求为闭区间，函数要求连续，如果有一方面不满足，结论不一定成立.如下几例：（）函数在闭区间上有间断点，函数在闭区间上虽然有界，但是既无最大值又无最小值，图2.21；（）函数在开区间内是连续的，但它在开区间内是无界的，且既无最大值也无最小值； 图2.21（2）零值定理常用于证明方程实根的存在性.例 2.43 证明方程在区间内至少有一个根.证 设函数，由于在闭区间上连续，又，.根据零值定理，在内至少有一点，使得.即 因此，方程在区间内至少有一个根.习 题 二（A）1.写出下列数列的前五项:(1) (2) (3) (4) .2写出下列数列的一般项，并观察判断其中收敛数列的极限值：（1）1， （2）， （3） （4） 3极限思想的萌芽在我国古代很早就有记载，公元前三世纪战国时代的思想家庄子在其著作中提出“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.试把一尺长的木棍“日取其半”，将每日剩余部分用数列表示，并考察这个数列的极限值.4利用“”定义证明下列极限：（1） （2）（3） （4）5、利用函数极限定义证明下列极限：（1） （2）（3） （4）（5）6下列函数在什么情况下是无穷小量，什么情况下是无穷大量？（1）（2）（3）（4） （5）（6）7、当时，下列数列是否为为穷小量？（1） （2）（3） （4） 8、求下列各极限（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） （15） （16） （17） （18） （19） （20） （21） （22） （23） （24） （25） （26） 9、讨论下列函数在给定点处的极限是否存在？如果存在，求其极限值.（1） 在和处；（2） 在和处；10、若求的值. 11、若求的值. 12、若求的值. 13、求下列极限（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 14、求下列极限（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 15、求下列极限（1） （2） （3） （4） 16设，求17设，用夹值定理求18求下列极限：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 19、判定下列函数在定义域上是否连续（说明理由）：（1） （2）20、求下列函数的间断点，并判断其类型.如果是可去间断点，补充其定义使之连续.（1） （2） （3） （4） ， （5） ， （6） （7） （8） 21、讨论下列函数在分段点处的连续性：（1） （2） （3） （4） 22、常数取何值下列函数在分段点处连续？ 23、求常数、使下列函数在分段点处连续. 24、证明方程在1与2之间至少存在一个实根.25、证明曲线在与之间至少与轴有一个交点.（B）一、 填空1、= .2、= .3、= .4、 .5、 . 6、 7、= .8、设存在，且，则= .9、设= ，则k= . 10、设，则= ,= .11、已知，则 . 12、设在处连续，则 ， . 13、点是函数的 间断点. 14、如果函数在其定义域上连续，则= .15、函数的间断点为 ，其中可去间断点为 ，补充定义 使其连续.二、单项选择题1、下列数列中收敛的是（ ）.A BC D2、函数在点有定义是它在该点有极限的（ ）A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、无关条件3、当时下列变量中与是等阶无穷小量的是（ ）.A B C D4、设，则当时与比是（ ）.A等阶无穷小 B同阶但非等价无穷小C更高阶无穷小 D较低阶无穷小5、函数在（ ）过程中为无穷大量.A、 B、 C、 D、6、下列命题正确的是（ ）.A、无限多个无穷小之和仍是无穷小. B、两个无穷大的和仍是无穷大C、无穷大与有界变量（但不是无穷小）的乘积一定是无穷大.D、两个无穷大的积仍是无穷大.7、下列各式中正确的是（ ）.A BC D8、下列极限存在的是（ ）.A、 B、 C、 D、9、如果，则（ ）.A、 B、 C、 D、10、若，则（ ）.A、 B、 C、 D、11、设对任意的，总有，且，则（ ）.A存在且等于0 B存在但不一定为0C一定不存在 D不一定存在12、若与均存在，则（ ）.A、存在且等于B、存在但不一定等于C、不一定存在D、必不存在13、已知，则=0是函数的（ ）.A、无穷间断点 B、跳跃间断点 C、可去间断点 D、其它类型间14、函数在下列（ ）区间上有界.A、（-1，0） B、 C、 D、（2，3）15、对于函数 ，下列结论中不正确的是（ ）.A、是连续函数 B、是有界函数C、是有最大值和最小值 D、有最大值无最小值第二章 极限与连续 小结 通过本章学习，要求学习者重点对函数极限、函数在一点连续的概念理解、掌握；熟练掌握函数极限的运算、两个重要极限、函数间断点的判断和分类；了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质。一、极限概念正确理解函数极限的“N”、“”、 “M”分析定义和几何意义，通过附表（一）中函数各种极限的分析定义，理解极限分析定义中各种符号的区别与联系：1、：任意小的正数；：充分大的自然数；：充分小的正数； X：充分大的正数。一般、X与有关，越小，越大， 越小，X越大。2、附表（一）中的任意性（）：刻划函数与极限的接近程度；存在性（）：描述自变量变化过程。函数极限分析定义 附表（一）函数极限自变量变化过程二、函数极限性质1、唯一性 若极限存在，则极限值唯一.2、有界性 若极限存在，则在该过程中有界.3、保号性 1）若，且（或），则在该过程中，（或） 2）若，且在该过程中（或），则（或）.三、函数极限判断1、夹逼定理 在某过程中函数、满足：（1）， （2）.则在该过程中有.2、单调有界数列必有极限.（1）单调递增有上界数列必有极限.（2）单调递减有