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第五讲 大数定律和中心极限定理基础理论知识知识框图：1. 切比雪夫不等式 设随机变量 X 有数学期望 E(X) = m, 方差 D(X) = s 2, 则对任意 e 0, 或 2. 大数定律 定理1 (契比雪夫定理的特殊情况) 设随机变量 X1, X2, , Xn , 相互独立, 且具有相同的数学期望和方差: E(Xk) = m , D(Xk) = s 2(k = 1, 2, ). 前 n 个随机变量的 算术平均为 则对于任意 e 0, 有 定理2 (伯努利大数定理) 设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数. p 是事件 A 在每次试验中发生的概率,则对任意 e 0, 有 或 定理3 (辛钦定理) 设随机变量 X1, X2, , Xn , 相互独立, 服从同一分布且具有数学期望 E(Xk) = m , (k = 1, 2, ). 则对任意 e 0, 有 显然, 伯努利大数定理是辛钦定理的特殊情形. 3. 中心极限定理 定理4 (独立同分布的中心极限定理) 设随机变量 X1, X2, , Xn , 相互独立, 服从同一分布, 且具有数学期望和方差: E(Xk) = m , D(Xk) = s 2 0(k = 1, 2, ). 则 的分布函数 Fn(x) 对于任意 x 满足 说明: 定理说明 N(0, 1). 或 N(m, s 2/n). 定理5 (李雅普诺夫(Liapunov)定理) 设随机变量 X1, X2, , Xn , 相互独立, 且E(Xk) = mk , D(Xk) = sk2 0(k = 1, 2, ). 设若存在 d 0，使当n 时, 则 的分布函数 Fn(x) 对于任意 x 满足 定理6 (德莫佛-拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理) 设随机变量 hn b(n, p), n = 1, 2, , 0 p 1, 则对任意 x, 有说明: 定理表明, 正态分布是二项分布的极限分布. 当 n 充分大时, 可以用定理结果计算二项分布的概率. 近似计算方法: 设随机变量 hn b(n, p), n = 1, 2, , 0 p 85) = 1 - P(X 85) (2) P0.8n X = 0.95, 而 0.95. 故 n = 25. 例7 一生产线生产的产品成箱包装, 每箱的重量是随机的. 假设每箱平均重50kg, 标准差为 5kg. 若用最大载重为5吨的汽车承运, 试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱, 才能保证不超载的概率大于0.977 (F(2) = 0.977, 其中 F(x) 是标准正态分布的分布函数). 解: 设 Xi( i = 1, 2, , n) 是装运的第 i 箱的重量, n 为所求箱数. 由条件可以把 X1, X2, , Xn 看作独立同分布的随机变量, 设总重量 Tn = X1 + X2 + + Xn. 由题设 E(Xi) = 50, D(Xi) = 52, E(Tn) = 50
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