线性方程组解的探究.doc

线性方程组解的探究摘要： 本文主要介绍了线性方程组解存在的条件以及求线性方程组的几种基本方法。关键词：线性方程组 克拉默法则 初等变换 可逆矩阵。Researching on Solution to the Linear Equation SystemAbstract :This paper describes the existence of linear equations solving linear equations conditions and several basic methods. Keywords : linear equation Cramer Rule primary transformation reversible matrix自然科学与工程技术领域与线性方程组有关的问题比较普遍，常遇到许多与线性方程组有关的数学问题，中学数学中的“鸡兔同笼”问题就是一个和线性方程组有关的典型例题。同时，线性方程组也是大学数学研究讨论的重点，线性方程组可以分成未知量个数与方程的个数相等和未知量个数与方程的个数不等两类。掌握其解法对于解决学习生活中经常遇到的线性方程组问题就方便了很多,解基本线性方程组三种常用的处理方法是克拉默法则、消元法和初等变换法，利用矩阵的逆求解也是一种较常用的方法，本文将详细讲述。1.线性方程组有关内容1.1 线性方程组主要的表达方式1) 标准型 （1） 2) 矩阵型 令，,，方程组(1)可表述为 （2）1.2 定义1 线性方程组的初等变换1) 用一非零的数乘以某一方程；2) 把一个方程的倍数加到另一个方程；3) 互换两个方程的位置。1.3 几个基本的知识1) 在方程组(2)中，若，即称为齐次线性方程组，若称为非齐次线性方程组；2) 在方程组(2)中，称为（2）的增广矩阵；3) 称为的导出组；4) 克拉默法则：设是矩阵(即)，线性方程组，若，则线性方程组有唯一解，且有：.其中，是把矩阵中第列换成方程组的常数项，所成的矩阵行列式.5) 表示矩阵的秩，即的极大线性无关组的个数。2.线性方程组的解2.1特殊的线性方程组的解法（，)这种特殊的线性方程组我们在中学数学中经常遇到,在中学通常用加减消元法或代入消元法来解决它，然而对于这类满足克拉默法则的方程，我们用克拉默法则求解起来更加方便。例1. 用克拉默法则解非齐次线性方程组 解： ，方程组有唯一解： .2.2 一般的线性方程组的解法2.2.1 初等变换对于方程组(1)进行一系列初等变换就变成阶梯形方程组 (3) 若(3)中有方程但是，这时不管取什么值时上式都不成立。因而（3）无解，故（1）无解，当或者（3）中没有“0=0”时，分为两种情况：1） 时梯形方程可化为 （4） 其中有最后一个方程开始，就可以逐次解决了。2） 这时梯形方程组可化为 （5） 这样给出一组的值，就能唯一地得出方程组（5）的一组解，这样就可以用把表示出来，这样一组表达式称为方程组（1）的一般解。其实这个方法也可以用矩阵的形式表示出来 或者由此我们就能得出如下结论：在方程组（2）中，若为矩阵，则方程组（2）的情况如下：a) ，方程组（2）有唯一解；b) ，方程组（2）的解有无穷多个；c) ,方程组（2）无解。在方程组（2）中，若，为矩阵，则其解的情况如下：a) ,方程组有唯一零解；b) ,方程组有无穷多个解，从而有非零解。例2.取什么值时，线性方程组 有解，并求其解的一般形式。解：因而当=1时，原方程组有解，此时原方程组的一般解为 其中为任意常数。 此方程的一般解还可以表示为 其中为自由未知量（即任意常数）。例3.非齐次线性方程组中未知量的个数为，方程的个数为，系数矩阵A的秩为，则（ ）A. 时，方程组有唯一解B. 时，方程组有解C. 时，方程组有无穷多解D. 时，方程组有唯一解解: 因为为矩阵,矩阵,当时,必有，故方程组一定有解，所以选B.2.2.2 逆矩阵法 定理1 : 设矩阵可逆，则矩阵方程有解，并且把矩阵,合成分块矩阵,对这个矩阵施行初等行变换,当化为单位矩阵I时, 就化成了.证明:设有矩阵方程,其中矩阵可逆，则有,显然又有，所以对分块块矩阵,就得到.因为可逆，故也可逆，所以可以表示为一系列初等矩阵的乘积: ,因而我们得到.以上等式表明: 若对分块矩阵施行初等行变换,当左边的A化为单位矩阵I 时，右边的B就会化成,即，定理得证 黄月兰.谈用逆矩阵的方法求解线性方程组J,南宁师范高等专科学报，2001年第三期. 。应用此定理应如何求解齐次线性方程组：先求出(1)的系数矩阵的秩，再取中某个不为零的阶子式D所在的个方程组成的方程组，然后把与D的元素相应的未知量当作未知量，而将其余的个未知量当作参数移到方程的另一边，就得到了形如的矩阵方程，即可用定理1 的方法求解。例4.解齐次线性方程组解： ，因而线性方程组有无穷多个解，且，所以原方程组与方程同解。由定理1知:所以原方程组的一般解为 其中为自由未知量。 对于非齐次线性方程组，只需要对其增广矩阵进行如上的变换，其步骤和方法与奇次线性方程组的求解相同。3.结论线性方程组的求解问题是线性代数中的重要对象，在生产生活中的很多问题的解决也可常常归结为求解线性代数方程组，本文所介绍的线性方程组的求解方法是一些简便易行的方法，尚有很多其他的解决方法，比如数值解法，一般有直接法、迭代法等等，有待于我们继续深入研究。参考文献：1北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数M.北京：高等教育出版社（第三版）， 2003.9. 106-110 .2刘丁酉.高等代数习题精解M.合肥：中国科学技术大学出版社，2004.9. 57.3钱吉林.等代数题