第2章 信号的分析与处理.doc

机械设计制造及其自动化、农业机械化及其自动化专业 机械工程测试技术 讲义第2章 信号的分析与处理学习目标1.掌握常用的信号时域、频域分析方法的基本原理和应用； 2.了解数字信号处理的基础知识，能够正确地选择采样频率和窗函数。 学习难点迭混和采样定理，泄漏与窗函数的关系。功率谱分析的原理和应用。快速傅里叶变换原理。 内容概述 本章简要介绍了时域幅值参数的统计分析方法。主要叙述信号相关分析、功率谱分析的原理及应用。介绍相干分析、倒谱分析的概念和应用。说明数字信号处理的基本步骤，采样和加窗的原理和方法，快速傅里叶变换的原理。相关链接 兰勃特科有限公司 -设计和制造数据采集 、显示 、分析和处理控制的软件。 奥普特姆电子有限公司 - 设计和制造数据采集和分析产品。 Nicolet oscilloscopes data acquisition transient recorders- data acquisition hardware、softwareB & K公司 -高性能测试仪器。2.1 信号的时域分析信号的时域分析包括信号的均值、绝对均值、均方值、均方根值和方差以及幅值域的概率密度函数和概率分布函数 。2.1.1 特征值分析（2.1）(1) 信号的均值mx：对确定性的连续信号，mx表示信号x(t)在0T时间内的中心趋势，也称mx为信号x(t)的静态分量或直流 分量，表示为：在实际测试中，均值mx可以取样本在足够长时间内的积分平均作为其估计值，记作：（2.2）对于离散信号，若x(t)在0T时间内，离散点数为N，离散值为xn，则均值mx表示为：（2.3）对于随机信号，均值应以总体平均，即数学期望来表示：（2.4）对于平稳随机信号，由于其统计特征与时间起点无关，故其数学期望也与时间无关，则:（2.5）对于各态历经平稳随机信号，可由其样本函数的时间平均值代替其总体平均，即式（2.1）。在均值计算时，为防止计算机溢出，常采用递推算法。N项序列xn前n项的均值mxn的计算公式如下：（2.6）式中，mxn,mx(n-1)分别为第n次计算和n-1次计算的均值。(2) 信号的绝对平均值|mx|对于连续信号： （2.7）对于离散信号： （2.8）对于简谐信号：mx=0，而绝对平均值|mx|0。(3) 信号的均方值yx2信号的均方值yx2反映信号的能量或强度， 表征信号x(t)在0T时间内的平均能量，也称平均功率。对于连续信号:（2.9）对于离散信号:（2.10）对于随机信号:（2.11）对于平稳随机信号，yx2与起点时间无关:（2.12）对于各态历经随机信号，yx2 等于样本函数的均方值，即式（2.9）。N项序列xn前n项的均方值yn2的递推算法公式如下：(4) 信号的均方根值xrms信号的均方根值xrms即为有效值，其表达式为： （2.14）(5) 信号的方差sx2信号的方差sx2 描述动态信号波动分量的大小，它是x(t)偏离均值mx的平方的均值，表达式如下：对于确定性的连续信号：（2.15）对于离散信号（2.16）对于平稳随机信号：（2.17）对于各态历经随机信号，其方差如式（2.15）所示。sx2的开方称为均方根差，又叫标准差。均方根差也描述信号的动态分量，表征信号偏离均值的分布情况，表示为（2.18）N项序列xn前n项的方差 sx2的递推算法公式如下：（2.19）2.1.2 概率密度函数分析及应用 概率密度函数的定义为： （2.21） 上式对概率密度函数积分而得到概率，即: （2.22） P(x)即为概率分布函数。显然，对于任何随机信号有： （2.23）详细的说明可以查看这里.几种常见均值为零的随机信号的概率密度函数图2.1 随机信号x(t)的概率密度 图2.1为一随机信号x(t)的时间历程，幅值落在(x,x+Dx)区间的总时间为，当观测时间T趋于无穷大时，比例T/Tx就是事件xx(t)x+Dx的概率，记 为：（2.20） 定义概率密度函数为： （2.21） 由上式可以看出,概率密度函数是概率相对于振幅的变化率。因此,可以从对概率密度函数积分而得到概率，即: （2.22） P(x)称为概率分布函数,它表示信号振幅在x1到x2范围内出现的概率。显然，对于任何随机信 号有： （2.23） 式中, P(xx1)分别为幅值小于x1和大于x1的概率。上式亦表明概率密度函数是概率分布函数的导数。概率密度函数p(x)恒为实值非负函数。它给出随机信号沿幅值域分布的统计规律。不同的随机信号有不同的概率密度函数图形，可以借此判别信号的性质。时域信号的均值、均方根值、标准差等特征值与概率密度函数有着密切的关系，这里不加推导直接给出： （2.24）（2.25）（2.26） 几种典型信号的概率密度函数如下:1) 正弦波信号若正弦信号的表达式为: x=Asinwt 则有dx=Awcoswtdt，于是：则：所以：（2.27）与高斯噪声的概率密度函数不同的是：在均值mx处p(x)最小；在信号的最大、最小幅值处p(x)最大。2) 正态分布随机信号的概率密度函数正态分布又叫高斯分布，是概率密度函数中最重要的一种分布，应用十分广泛。大多数随机现象是由许多随机事件组成，它们的概率密度函数均是 近似或完全符合正态分布的，如窄带随机噪声完全符合正态分布，又称正态高斯噪声。正态随机信号的概率密度函数用下式表示:（2.28）式中mx为随机信号的均值， sx为随机信号的标准差。由式（2.28）可以得到： 在均值mx处的p(x)最大，在信号的最大、最小幅值处p(x)最小；sx越大，概率密度曲线越平坦。 图2.3为一维高斯概率密度曲线和概率分布曲线。 由曲线可以看到：一维高斯概率密度曲线有以下特点：(1)单峰，峰在x=mx处，当mx- 时，p(x)-0；(2)曲线以x=mx为对称轴；(3)x=mxsx为曲线的拐点；(4)x值落在离mx 为sx、2sx 、3sx的概率分别为0.68、0.95和0.997。即：（2.29）二维高斯概率密度函数p(x1,x2)的图形在垂直于x1,x2的面上投影都是高斯曲线，其表达式较为复杂，这里就不在列举了。3) 混有正弦波的高斯噪声的概率密度函数包含有正弦信号s(t)=Ssin(2pft+q)的随机信号x(t)的表达式为：x(t)=n(t)+s(t)式中:n(t)为零均值的高斯随机噪声，其标准差为sn； s(t)的标准差为ss。其概率密度函数表达式为：（2.30） 图2.4为含有正弦波随机信号的概率密度函数图形，图中，R=(ss/sn)2。对于不同的R值，p(x)有不同的图形。对于纯高斯噪声，R=0；对于正弦波，R=；对于含有正弦波的高斯噪声,0R。该图形为鉴别随机信号中是否存在正弦信号以及从幅值统计意义上看各占多大比重，提供了图形上的依据。2.2 信号的相关分析2.2.1 相关系数 在测试信号的分析中，相关 是一个非常重要的概念。图2.5表示由两个随机变量x和y组成的数据点的分布情况。 对于变量x和y之间的相关程度常用式（2.31）相关系数rxy表示之: （2.31）式中: sxy随机变量x、y 的协方差; mx、my是随机变量x、y的均值;sx、sy随机变 量x、y的标准差。利用柯西-许瓦兹不等式: （2.32） 故知|rxy|=1。当rxy=1时，说明x,y两变量是理想的线性相关；当rxy=-1时也是理想的线性相关,只是直线的斜率为负；当rxy=0表示x,y两变 量之间完全无关，如图2.5(c)所示。2.2.2 自相关分析1. 自相关函数的概念和性质 x(t)是各态历经随机过程的一个样本函数，x(t+t)是x(t)时移t后的样本(图2.6)，把相关系数rx(t)x(t+t)简写为rx(t)，那么就有: （2.33） 若用Rx(t)表示自相关函数，其定义为: （2.34） （2.35）信号的性质不同，自相关函数有不同的表达形式。如对周期信号（功率信号）： （2.36）非周期信号（能量信号）： （2.37） 图2.7给出了自相关函数具有的性质。正弦函数的自相关函数是一个余弦函数，在=0时具有最大值。它保留了幅值信息和频率信息,但丢失了原正弦函数中的初始相位信息。 几种典型信号的自相关和功率谱如图2.8所示。几种典型信号的自相关和功率谱图2.8 几种典型信号的自相关和功率谱名 称时间历程图概率密度函数图自相关图功率谱图(1)正弦信号（相位为随机量）(2)正弦加随机噪声(3)窄带随机信号(4)宽带随机信号(5)白噪声信号 由图可知，只要信号中含有周期成分，其自相关函数在很大时都不衰减，并具有明显的周期性。不包含周期成分的随机信号，当 稍大时自相关函数就将趋近于零，宽带随机噪声的自相关函数很快衰减到零,窄带随机噪声的自相关函数则有较慢的衰减特性。白噪声自相关函数收敛最快，为函数，所含频率为无限多，频带无限宽。2.2.3. 互相关分析1. 互相关函数的概念和性质对于各态历经随机过程，两个随机信号x(t)和y(t)的互相关函数Rxy(t)定义为： （2.42）时移为t的两信号x(t)和y(t)的互相关系数为： （2.43）互相关函数的性质 1）互相关函数是可正、可负的实函数。x(t)和y(t)均为实 函数，Rxy(t)也应当为实函数。在t=0时，由于x(t)和y(t)值可正 、可负，故Rxy(t)的值也应当可正 、可负。2）互相关函数非偶函数、亦非奇函数，而是Rxy(t)=Rxy(-t)。 因为所讨论的随机过程是平稳的，在t时刻从样本采样计算的互相关函数应和t- t时刻从样本采样计算的互相关函数是一致的，即: （2.44）式（2.44)表明互相关函数不是偶函数，也不是奇函数，Rxy(t)与Ryx(-t)在图形上是对称于坐标纵轴，如图2.9所示。自相关函数是偶函数，作图时，取一半即可；互相关函数必须作全图。3）Rxy()的峰值不在=0 处，其峰值偏离原点的位置0反映了两信号时移的大小，相关程度，如图2.10所示。 4）互相关函数的限制范围为： 由式（2-43）得: 因为|Rxy(t)|0，则Rxy(t)=mxmy。当mx=my=0时，Rxy(t)=0。 6) 两个不同频率的周期信号，其互相关为零。若两个不同频率的周期信号表达式为： 则:根据正余弦函数的正交性可知：Rxy(t)=0，也就是两个不同频率的 周期信号是不相关的。7）两个同频率正余弦函数不相关。若两个同频率正余弦函数表达式为： 则:8）周期信号与随机信号的互相关函数为零。 由于随机信号y(t+t)在t-t+t时间内并无确定的关系，它的取值显然与任何周期函数x(t)无关，因此，Rxy(t)=0 。2. 互相关技术的工程应用 在测试技术中互相关技术得到了广泛地应用,如测量系统的延时、识别、提取混淆在噪声中的信号等。图2.13给出了互相关分析方法应用于工业噪声传递通道的分析和隔离的例子。更多的应用的例子如： 相关测速 工程中常用两个间隔一定距离的传感器进行非接触测量运动物体的速度。图是非接触测定热轧钢带运动速度的示意图， 其测试系统由性能相同的两组光电池、透镜、可调延时器和相关器组成。当运动的热轧钢带表面的反射光经透镜聚焦在相距为d的两个光电池上时，反射光通过光电池转换为电信号，经可调延时器延时，再进行相关处理。当可调延时t等于钢带上某点在两个测点之间经过所需的时间t时，互相关函数为最大值 。所测钢带的运动速度为v=d/t。 利用相关测速的原理，在汽车前后轴上放置传感器，可以测量汽车在冰面上行驶时，车轮滑动加滚动的车速；在船体底部前后一定距离，安装 两套向水底发射、接受声纳的装置，可以测量航船的速度；在高炉输送煤粉的管道中，在相距一定距离安装两套电容式相关测速装置，可以测量煤粉的流动速度和单位时间内的输煤量。相关分析在故障诊断中的应用 图2.12中漏损处k为向两侧传播声响的声源。在两侧管道上分别放置传感器1和2，因为放传感器的两点距漏损处不等远，所以漏油的音响传至两传感器就有时差tm，在互相关图上t=tm处，Rx1y2(t)有最大值。由tm可确定漏损处的位置。 式中S两传感器的中点至漏损处的距离；v通过管道的传播速度。图2.14给出了复杂管路系统振动传递途径的识别示意图.相关分析的声学应用 2.3 信号的频域分析 本节讲解信号的频域分析方法: 巴塞伐尔定理、功率谱密度函数、 相干函数和 倒谱分析。2.3.1 巴塞伐尔定理巴塞伐尔定理告诉我们：在时域中计算的信号总能量,等于在频域中计算的信号总能量。即: （2.45） 式(2.45)又叫能量等式。设有下列傅里叶变换对：x1(t)X1(f) ，x2(t)X2(f) 按照频域卷积定理有：x1(t)x2(t)X1(f)*X2(f) 即: 令f0=0得: 又令x1(t)=x2(t)=x(t)得: x(t)是实函数，则X(-f)=X*(f)，所以: （2.46） |X(f)|2 称为能谱,它是沿频率轴的能量分布密度。2.3.2 功率谱分析及其应用(1) 功率谱密度函数的定义 随机信号的自功率谱密度函数（自谱）是该随机信号自相关函数的傅立叶变换，记为Sx(f): （2.47）其逆变换为： （2.48）两随机信号的互功率谱密度函数（互谱）为: （2.49）其逆变换为： （2.50）由于S(f)和R（t）之间是傅里叶变换对的关系，两者是唯一对应的。S(f)中包含着R(t)的全部信息。因为Rx(t)为实偶函数，Sx(f)亦为实偶函数。互相关函数 Rxy(t)并非偶函数，因此Sxy(f)具有虚、实两部分，同样，Sxy(f)保留了Rxy(t)的全部信息。(2) 功率谱密度函数的物理意义 Sx(f)和Sxy(f)是随机信号的频域描述函数。Sx(f)表示信号的功率密度沿频率轴的分布，故又称Sx(f)为功率谱密度函数。 Sx(f) 和Sxy(f)是随机信号的频域描述函数。因随机信号的积分不收敛，不满足狄里赫利条件，因此其傅立叶变换不存在，无法直接得到频谱。但均值 为零的随机信号的相关函数在 时是收敛的，即 ， 可满足傅里叶变换条件，根据傅里叶变换理论，自相关函数Rx(t)是绝对可积的。 对于式（2.48），当 =0时，有: （2.51） 根据相关函数的定义，当 =0时，有: （2.52） 比较以上两式可得: （2.53） 上式表明：Sx(f)曲线下的总面积与x2(t)/T曲线下的总面积相等，如图2.17所示。从物理意义上讲，x2(t)是信号x(t)的能量，x2(t)/T是信号x(t)的功率，是信号x(t)的总功率。这一总功率与Sx(f) 曲线下的总面积相等，故Sx(f)曲线下的总面积就是信号的总功率。这一总功率是由无数不同频率上的功率元Sx(f)df组成，Sx(f)的大小表明总功率在不同频率处的功率分布，因此，Sx(f)表示信号的功率密度沿频率轴的分布，故又称Sx(f)为功率谱密度函数。用同样的方法，可以解释互谱密度函数Sxy(f)。 下面说明自功率谱密度函数Sx(f)和幅值谱X(f)或能谱|X(f)|2之间的关系。根据巴塞伐尔定理式（2.46），在整个时间轴上信号平均功率为: （2.54） 比较式（2.54）与（2.51）可得: （2.55） 自功率谱密度函数是偶函数,它的频率范围是(-,)又称双边自功率谱密度函数。 它在频率范围(-,0)的函数值是其在(0,)频率范围函数值的对称映射,因此,可用在(0,)范围内Gx(f)=2Sx(f)来表示信号的全部功率谱。我们把Gx(f)称为x(t)信号的单边功率谱密度函数。图2.18为单边谱和双边谱的比较。(3) 功率谱的计算功率谱的计算有几种方法。目前主要采用的是库立杜开（CooleyTukey）法，即用FFT计算功率谱。 功率谱的计算有以下几种方法。第一种为布拉克杜开（BlackmanTukey）法。这种方法首先根据原始信号计算出相关函数，然后进行傅 立叶变换而得到相应的功率谱函数；第二种为模拟滤波器法。它是采用模拟分析仪进行分析计算的一种方法；第三种是库立杜开（CooleyTukey）法，即用FFT计算功率谱。前两种方法是较早采用的方法。由于计算机的飞速发展，用FFT算法进行实时、在线信号处理已经成为现实. FFT算法的估计式: 模拟信号自谱的估计式为： （2.56a） 数字信号自谱的估计式为： （2.56b） 模拟信号互谱的估计式为： （2.56c） 数字信号自谱的估计式为： （2.57）(4) 功率谱的应用 1）自功率谱密度Sx(f)与幅值谱|X(f)|及系统的频率响应函数H(f)的关系.自功率谱密度1）自功率谱密度Sx(f)与幅值谱|X(f)|及系统的频率响应函数H(f)的关系。 自功率谱密度Sx(f)为自相关函数Rx(t)的傅里叶变换，故Sx(f)包含着Rx(t)中的全部信息。自功率谱密度Sx(f)反映信号的频域结构，这与幅值谱|x(f)|相似，但是自功率谱密度所反映的是信号幅值的平方，因此其频域结构特征更为明显,如图2.19所示。 对于图2.20所示的线性系统，若输入为x(t)，输出为y(t)，系统的频率响应函数为H(f)则: 式中H(f),Y(f),X(f)均为f的复函数。如X(f)可表为: X(f)=XR(f)+jXI(f),X(f)的共轭值为: X*(f)=XR(f)-jXI(f) 则有： （2.58） 上式说明，系统的频响函数可以由输入、输出间的互谱密度函数与输入功率谱密度函数之比求得。由于S(f)包含频率和相位信息，故H(f)亦包含幅频与相频信息。此外，H(f)还可用下式求得: 在频响函数求得之后，对H(f)取逆富氏变换，便可求得脉冲响应函数h(t)。但应注意，未经平滑或平滑不好的频响函数中的虚假峰值(干扰引起)，将在脉冲响应函数中形成虚假的正弦分量。 可以证明，输入、输出的自功率谱密度与系统频率响应函数的关系如下： （2.59）（2.60） 通过输入、输出自谱的分析，就能得出系统的幅频特性。但这样的谱分析丢失了相位信息，不能得出系统的相频特性。 对于如图2.20所示的单输入、单输出的理想线性系统，由式（2.58）可得 （2.61） 故从输入的自谱和输入、输出的互谱就可以直接得出系统的频率响应函数。式(2.61)与式(2.59)不同，所得到的H(f)不仅含有幅频特性而且 含有相频特性，这是因为互相关函数中包含着相位信息。2）互谱排除噪声影响 图2.21为一个受到外界干扰测试系统n1(t)为输入噪声，n2(t)为加于系统中间环节的噪声，n3(t)为加在输出端的噪声。该系统的输出y(t)为: （2.62 ）式中 分别为系统对 的响应。 输入与输出y(t)的互相关函数为: 由于输入x(t)和噪声 是独立无关的，故互相关函数 均为零，所以: （2.64）故: Sxy(f)=Sxx(f)=H(f)*Sx(f)（2.65）式中H(f)=H1(f)*H2(f)为系统的频率响应函数。 可见，利用互谱分析可排除噪声的影响，这是这种分析方法的突出的优点。然而应当注意到,利用式(2.65）求线性系统的H(f)时 ,尽管其中的互谱Sxy(f)可不受噪声的影响,但是输入信号的自谱Sx(f)仍然无法排除输入端测量噪声的影响,从而形成测量的误差。 图2.21所示系统中的n1(t)是输入端的噪声，对分离我们感兴趣的输入信号来看,它是一种干扰。为了测试系统的动特性,有时我们故意给正在运行的系统以特定的已 知扰动输入n(t),从式(2.63）可以看出,只要n(t)和其它各输入量无关,在测得Sxy(f)和Sn(f)后就可以计算得到H(f)。3）功率谱在设备诊断中的应用图2.22是汽车变速箱上加速度信号的功率谱图.图（a）是变速箱正常工作谱图，（b）为机器运行不正常时的谱图。可以看到图（b）比（a）增加了9.2Hz和18.4Hz两个谱峰，这两个频率为设备故障的诊断提供了依据。4）瀑布图 在机器增速或降速过程中，对不同转速时的振动信号进行等间隔采样，并进行功率谱分析，将各转速下的功率谱组合在一起成为一个转速 功率谱三维图，又称为瀑布图。图2.23为柴油机振动信号瀑布图。图中，在转速为1480rp的三次频率上和1990rpm的6 次频率上谱峰较高，也就是在这两个转速上产生两种阶次的共振，这就可以定出危险旋转速度，进而找到共振根源。 5）坎贝尔图坎贝尔图是在三维谱图的基础上，以谐波阶次为特征的振动旋转信号三维谱图。图2.24为汽轮发电机组振动的坎贝尔图。图中转速为横坐标， 频率为纵坐标，右方的序数113为转速的谐波次数，每一条斜线代表转速在变化过程中该次谐波的谱线变化情况。坎贝尔图的绘制方法是：先在汽轮发电机组升速（或降速）过程中在各转速点上取振动信号，然后作出各转速点上振动的自谱，以各条谱线的高度为半径，以该条谱线在频率 轴上的点为圆心作圆，形成一个以圆大小表达的自谱图，将各转速上振动信号的圆自谱图组合起来，绘出各次谐波斜线就成为最后的坎贝尔图， 这种谱图可更为直观地看出随着转速的增加各次谐波频率成分的变化。由该图可以看出在18002400r/min范围内基波频率成分较大，在 15001800r/min范围内第十三次谐波成分较大。二者中尤以前者更为严重，所以可以看出危险的转速范围，并可根据它们找寻相应的振动响应过 大的结构部分，加以改进。图中与水平轴平行的许多圆圈代表了机器不随转速变化的频率成分，一般表示了某些构造部分的固有频率.2.3.3 相干函数的定义 通常相干函数用gxy2(f)表示，其定义为: 如果相干函数为零,表示输出信号与输入信号不相干，那么，当相干函数为1时，表示输出信号与输入信号完全相干。若相干函数在 01之间，则表明有如下三种可能： (1）测试中有外界噪声干扰；(2）输出y(t)是输入x(t)和其它输入的综合输出；(3）联系x(t)和y(t)的线性系统是非线性的。 若系统为线性系统，则根据式（2.59）、（2.61）可得: 上式表明：对于线性系统，输出完全是由输入引起的响应。相干分析的应用图2.25是船用柴油机润滑油泵压油管振动和压力脉动间的相干分析。润滑油泵转速为n=781rpm,油泵齿轮的齿数为z=14，测得油压脉动信号x(t)和压油管振动信号y(t)压油管压力脉动的基频为f0=nz/60=182.24(Hz). 由图c可以看到，当f =f0 =182.24Hz时,gxy2(f) =0.9；当f =2f0 =361.12Hz时,gxy2(f)=0.37；当f =3f0 =546.54 Hz时,gxy2(f)=0.8；当f =4f0 =722.24Hz时；gxy2(f)=0.75.，齿轮引起的各次谐频对应的相干函数值都比较大，而其它频率对应的相干函数值很小，由此可见，油管的振动主要是由油压脉动引起的。从x(t)和y(t)的自谱图也明显可见油压脉动的影响(图2.25a,b所示）。2.3.4 倒谱分析（1).倒频谱的数学描述 倒频谱函数: 已知时域信号x(t)经过傅里叶变换后，可得到频域函数X(f)或功率谱密度函数Sx(f)，对功率谱密度函数取对数后，再对其进行傅里叶变换并取平方， 则可以得到倒频谱函数。CF(q)(power cepstrum)其数学表达式为： （2.67） CF(q)又叫功率倒频谱，或叫对数功率谱的功率谱。工程上常用的是式(2.67)的开方形式，即： （2.68） C0(q)称为幅值倒频谱，有时简称倒频谱。倒频谱自变量q的物理意义自变量q称为倒频率，它具有与自相关函数Rx(t)中的自变量相同的时间量纲，一般取ms或s。因为倒频谱是傅里叶正变换，积分变量是频率f而不是时间，故倒频谱 C0(q) 的自变量q具有时间的量纲,q值大的称为高倒频率，表示谱图上的快速波动和密集谐频，q值小的称为低倒频率，表示谱图上的缓慢波动和散离谐频. 为了使其定义更加明确，还可以定义： （2.69） 即倒频谱定义为信号的双边功率谱对数加权，再取其傅里叶逆变换，联系一下信号的自相关函数： 看出，这种定义方法与自相关函数很相近，变量q与在量纲上完全相同。 为了反映出相位信息，分离后能恢复原信号，又提出一种复倒频谱的运算方法。若信号x(t)的傅里叶变换为X(f): （2.70）x(t)的倒频谱记为： （2.71）显而易见，它保留了相位的信息。 倒频谱与相关函数不同的只差对数加权，目的是使再变换以后的信号能量集中，扩大动态分析的频谱范围和提高再变换的精度。还可以解卷积(褶积)成分，易于对原信号的分离和识别。（2).倒频谱的应用分离信息通道对信号的影响图2.26对数功率谱关系图。在机械状态监测和故障诊断中，所测得的信号，往往是由故障源经系统路径的传输而得到的响应，也就是说它不是原故障点的信号，如欲得到该源信号，必须删除传递通道的影响。如在噪声测量时，所测得之信号，不仅有源信号而且又有不同方向反射回来的回声信号的混入，要 提取源信号，也必须删除回声的干扰信号。 若系统的输入为x(t)，输出为y(t)，脉冲响应函数是h(t)，两者的时域关系为：y(t)=x(t)*h(t)频域为：Y(f)=X(f)*H(f)或Sy(f)=Sx(f)*|H(f)|2对上式两边取对数，则有：（2.72）式(2.72)关系如图(2.26)所示，源信号为具有明显周期特征的信号，经过系统特性logGk(f)的影响修正，合成而得输出信号logGy(f)。 对于(2.72)式进一步作傅里叶变换，即可得幅值倒频谱：（2.73）即：（2.74）以上推导可知，信号在时域可以利用x(t)与h(t)的卷积求输出；在频域则变成X(f)与H(f)的乘积关系；而在倒频域则变成Cx(q)和Ch(q)相加的关系，使系统特特性Ch(q)与信号特性Cx(q)明显区别开来，这对清除传递通道的影响很有用处，而用功率谱处理就很难实现。 图(2.26b)即为相应的倒频谱图。从图上清楚地表明有两个组成部分：一部分是高倒频率q2，反映源信号特征；另一部分是低倒频率q1，反映系统的特性。两部分在倒频谱图上占有不同的倒频率范围，根据需要可以将信号与系统的影响分开，可以删除以保留源信号。用倒频谱诊断齿轮故障对于高速大型旋转机械，其旋转状况是复杂的，尤其当设备出现不对中，轴承或齿轮的缺陷、油膜涡动、磨擦、陷流及质量不对称等现象时， 则振动更为复杂，用一般频谱分析方法已经难于辩识(识别反映缺陷的频率分量)，而用倒频谱，则会增强识别能力。如一对工作中的齿轮，在实测得到的振动或噪声信号中，包含着一定数量的周期分量。如果齿轮产生缺陷，则其振动或噪声信号还将大量 增加谐波分量及所谓的边带频率成分。 什么叫边带频率，它又是如何产生的？ 设在旋转机械中有两个频率w1 与w2 存在，在这二频率的激励下，机械振动的响应呈现出周期性脉冲的拍，也就是呈现其振幅以差频( (w2 -w1)设w2w1 )进行幅度调制的信号，从而形成拍的波形，这种调幅信号是自然产生的。例如调幅波起源于齿轮啮合频率(齿数轴转数)w0的正弦载波，其幅值由于齿轮之偏心影响成为随时间而变化的某一函数Sm(t) ，于是: (2.75)假设齿轮轴转动频率为wm ，则可写成: （2.76）其图形如图(2.27a)所示，看起来象一周期函数，但实际上它并非是一个周期函数，除非w0 与wm成整倍数关系，这在实际应用中，这种情况并不多见。根据三角半角关系， (2.76)式可写成：（2.77）从(2.77)式不难看出，它是由w0，(w0 +wm)与(w0-wm )三个不同的正弦波之和，具有如图2.27b)之频谱图。这里(w0 -wm )与(w0 +wm )之差频与和频通称为边带频率。 假如上例中对于一个具有四个轮幅的100个齿的齿轮，其轴准转数为50转/秒，而其啮合频率5000Hz。其幅值(啮合力的大小) 则由每转四次的周期为200HZ所调制(因为有四个轮幅的影响)。所以在测得的振动分量中，不仅有明显的轴转数50HZ及啮合频率(5000HZ) 外，还有4800HZ及5200HZ的边带频率。 实际上，如果齿轮缺陷严重或多种故障存在，以致许多机械中经常出现的不对准、松动、及非线性刚度等原因，或者出现拍波截断等原因时，则边带频率将大量增加。在一个频谱图上出现过多的频差，难以识别，而倒频谱图则有利于识别，如图2.28所示。图(a)是一个减速箱的频谱图，图(b)是它的倒频谱图。从倒谱图上清楚地看出，有两个主要频率分量:117.6Hz(85ms)及48.8Hz(20.5ms)。2.4 数字信号处理基础 相关分析和功率谱分析等信号处理方法可以消除噪声的影响，提取信号的特征，但是，用模拟方法进行这些分析是难以实现的。数字信号处理就是用数字方法处理信号，它可以在专用信号处理仪上进行，也可以在通用计算机上通过编程来实现。2.4.1数字信号处理的基本步骤数字信号处理的主要研究内容 数字信号处理主要研究用数字序列或符号序列表示信号，并用数字计算方法对这些序列进行处理，以便把信号变换成符合某种需要的形式。数字信号处理的主要内容包括频谱分析、数字滤波与信号的识别等。 数字信号处理中常用的运算有差分方程计算、相关系数计算、离散傅里叶变换计算、功率谱密度计算、矩阵运算、对数和指数运算、复频率变换及模数和数值转换等。很多数字信号处理问题，都可以用这些算法加上其它基本运算，经过适当的组合来实现。 测试信号数字化处理的基本步骤 随着微电子技术和信号处理技术的发展，在工程测试中，数字信号处理方法得到广泛的应用，已成为测试系统中的重要部分。从传感器获取的测试信号中大多数为模拟信号，进行数字信号处理之前，一般先要对信号作预处理和数字化处理。而数字式传感器则可直接通过接口与计算机连接，将数字信号送给计算机（或数字信号处理器）进行处理。测试中的数字信号处理系统如图所示。 图6.1-1(1) 预处理是指在数字处理之前，对信号用模拟方法进行的处理。把信号变成适于数字处理的形式，以减小数字处理的困难。如对输人信号的幅值进行处理，使信号幅值与AD转换器的动态范围相适应；衰减信号中不感兴趣的高频成分，减小频混的影响；隔离被分析信号中的直流分量，消除趋势项及直流分量的干扰等项处理。 (2) AD转换是将预处理以后的模拟信号变为数字信号，存入到指定的地方，其核心是A/V转换器。信号处理系统的性能指标与其有密切关系。 (3) 对采集到的数字信号进行分析和计算，可用数字运算器件组成信号处理器完成，也可用通用计算机。目前分析计算速度很快，已近乎达到“实时”。 (4) 结果显示一般采用数据和图形显示结果。 数字信号处理的优势 (1) 可以用数学计算和计算机显示代替复杂的电路和机械结构 图6.1-2。(2) 计算机软硬件技术的发展 1)多种多样的工业用计算机 图6.1-3。2)尺寸小巧、功能强大的嵌入式计算机 图6.1-4 3)灵活、方便的计算机虚拟仪器开发软件 图6.1-5 2.4.2 时域采样与采样定理1 时域采样采样信号的频谱 。采样过程是通过采样脉冲序列p(t)与连续时间信号x(t)相乘来完成的，理想脉冲采样过程如下图所示。 图6.3-1 其采样脉冲序列 (6.3-1)采样信号 xs(t)=x(t)p(t)(6.3-2)如果 Fx(t)=X(), Fp(t)=P()(6.3-3)那么，根据频域卷积定理，有 Xs()=X()*P()/2(6.3-4)可以证明，采样脉冲序列 p(t) 的频谱是间隔为s的周期延拓，所以，可以进一步证明 (6.3-5)。此式表明，一个连续信号经过理想采样以后，它的频谱将沿着频率轴每隔一个采样频率s ,重复出现一次，即其频谱产生了周期延拓，其幅值被采样脉冲序列的傅里叶系数（Cn=1/Ts)所加权，其频谱形状不变。 2 混叠与采样定理 采样定理说明了一个问题，即当对时域模拟信号采样时，应以多大的采样周期（或称采样时间间隔）采样，方不致丢失原始信号的信息，或者说，可由采样信号无失真地恢复出原始信号。 (1) 频混现象 频混现象又称频谱混叠效应，它是由于采样信号频谱发生变化，而出现高、低频成分发生混淆的一种现象，如下图所示。信号x(t)的傅里叶变换为X()，其频带范围为-mm；采样信号x(t)的傅里叶变换是一个周期谱图，其周期为s，并且 s=2Ts(6.3-6)Ts为时域采样周期。当采样周期Ts较小时，s2m，周期谱图相互分离如图中（b）所示；当Ts较大时，s2m，周期谱图相互重叠，即谱图之间高频与低频部分发生重叠，如图中(c)所示，此即频混现象，这将使信号复原时丢失原始信号中的高频信息。 图6.3-2下面从时域信号波形来看这种情况。图a是频率正确的情况，以及其复原信号；图b是采样频率过低的情况，复原的是一个虚假的低频信号。 图6.3-3当采样信号的频率低于被采样信号的最高频率时，采样所得的信号中混入了虚假的低频分量，这种现象叫做频率混叠。 (2) 采样定理 。上述情况表明，如果s2m，就不发生频混现象，因此对采样脉冲序列的间隔Ts须加以限制，即采样频率s（2Ts）或 fs(1Ts）必须大于或等于信号x(t)中的最高频率m的两倍，即s2m，或 fs2fm。 为了保证采样后的信号能真实地保留原始模拟信号的信息，采样信号的频率必须至少为原信号中最高频率成分的2倍。这是采样的基本法则，称为采样定理。 需要注意的是，在对信号进行采样时，满足了采样定理，只能保证不发生频率混叠，保证对信号的频谱作逆傅里叶变换时，可以完全变换为原时域采样信号xs(t)；而不能保证此时的采样信号能真实地反映原信号x(t)。工程实际中采样频率通常大于信号中最高频率成分的3到5倍。2.43 信号截断、能量泄漏及窗函数1 信号截断及能量泄漏效应 数字信号处理的主要数学工具是傅里叶变换。应注意到，傅里叶变换是研究整个时间域和频率域的关系。然而，当运用计算机实现工程测试信号处理时，不可能对无限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时间片段进行分析。做法是从信号中截取一个时间片段，然后用观察的信号时间片段进行周期延拓处理，得到虚拟的无限长的信号，然后就可以对信号进行傅里叶变换、相关分析等数学处理。 图6.4-1周期延拓后的信号与真实信号是不同的，下面从数学的角度来看这种处理带来的误差情况。设有余弦信号x（t）在时域分布为无限长（- ，），当用矩形窗函数w(t)与其相乘时，得到截断信号xT(t) =x(t)w(t)。根据博里叶变换关系，余弦信号的频谱X（）是位于。处的函数，而矩形窗函数w(t)的谱为sinc()函数，按照频域卷积定理，则截断信号xT(t) 的谱XT() 应为 (6.4-1)将截断信号的谱XT()与原始信号的谱X（）相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱。这表明原来的信号被截断以后，其频谱发生了畸变，原来集中在f0处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为频谱能量泄漏（Leakage）。 信号截断以后产生的能量泄漏现象是必然的，因为窗函数w(t)是一个频带无限的函数，所以即使原信号x(t)是限带宽信号，而在截断以后也必然成为无限带宽的函数，即信号在频域的能量与分布被扩展了。又从采样定理可知，无论采样频率多高，只要信号一经截断，就不可避免地引起混叠，因此信号截断必然导致一些误差，这是信号分析中不容忽视的问题。 如果增大截断长度T，即矩形窗口加宽，则窗谱W（）将被压缩变窄（T减小）。虽然理论上讲，其频谱范围仍为无限宽，但实际上中心频率以外的频率分量衰减较快，因而泄漏误差将减小。当窗口宽度T趋于无穷大时，则谱窗W（）将变为（）函数，而（）与X（）的卷积仍为H（），这说明，如果窗口无限宽，即不截断，就不存在泄漏误差。 图6.4-2为了减少频谱能量泄漏，可采用不同的截取函数对信号进行截断，截断函数称为窗函数，简称为窗。泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，如果两侧p旁瓣的高度趋于零，而使能量相对集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱，为此，在时间域中可采用不同的窗函数来截断信号。 6.4.2 常用窗函数 。实际应用的窗函数，可分为以下主要类型： 幂窗。：采用时间变量某种幂次的函数，如矩形、三角形、梯形或其它时间函数x(t)的高次幂；三角函数窗：应用三角函数，即正弦或余弦函数等组合成复合函数，例如汉宁窗、海明窗等； 指数窗。：采用指数时间函数，如e-st形式，例如高斯窗等。下面介绍几种常用窗函数的性质和特点。 (l) 矩形窗 矩形窗属于时间变量的零次幂窗，函数形式为 (6.4-2)相应的窗谱为 (6.4-3)矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。这种窗的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣（下图所示），导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。 图6.4-3 (2) 三角窗 。三角窗亦称费杰（Fejer）窗，是幂窗的一次方形式，其定义为 (6.4-4)相应的窗谱为 (6.4-5)。三角窗与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣，如下图所示。图6.4-4 (3) 汉宁窗 ：汉宁（Hanning）窗又称升余弦窗，其时域表达式为 (6.4-6)相应的窗谱为 (6.4-7)由此式可以看出，汉宁窗可以看作是3个矩形时间窗的频谱之和，或者说是 3个 sinc（t）型函数之和，而括号中的两项相对于第一个谱窗向左、右各移动了/T，从而使旁瓣互相抵消，消去高频干扰和漏能。 下图表示汉宁窗与矩形窗的谱图对比，可以看出，汉宁窗主瓣加宽（第一个零点在2/T处）并降低，旁瓣则显