推理与证明.doc

2.2直接证明与间接证2.2.1综合法一、教学目标1知识与技能目标(1)理解综合法证明的概念；(2)能熟练地运用综合法证明数学问题2过程与方法目标(1)通过实例引导学生分析综合法的思考过程与特点；(2)引导学生归纳出综合法证明的操作流程图3情感、态度与价值观(1)通过综合法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性；(2)通过综合法的学习，养成审慎思维的习惯二、教学重点：(1)结合已经学过的数学实例理解综合法；(2)了解综合法的思考过程、特点三、教学难点：(1)对综合法的思考过程、特点的概括；(2)运用综合法证明与数列、几何等有关内容四、新知概述：1、综合法定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法由于综合法证明的特点，我们有时也把这种证明方法叫“顺推证法”或“由因导果法”2、框图表示用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：3、综合法的特点：由因导果五、自我检测：条件甲“a1”是条件乙“a”的（ ）A.既不充分也不必要条件 B.充要条件C.充分不必要条件 D.必要不充分条件2已知a，b，c均大于1，且logaclogbc4，则下列各式中，一定正确的是()Aacb Babc Cbca Dabc3设mn，x=m4-m3n，y=n3m-n4，则x与y的大小关系为（ ） Axy；Bx=y；Cx0,求证变式练习： 已知为互不相等的正数，且，求证：. 例2、在ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,且A,B,C成等差数列, 成等比数列,求证ABC为等边三角形.变式练习：ABC中，已知3b2asinB，且cosAcosC，求证：ABC为等边三角形例3若sincos1，求证：sin6cos61.变式练习：证明. 七、随堂练习1已知a,b,c,a+b+c=1,求证 2如图，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，BAC90，O为BC中点证明SO平面ABC.3、设，分别求，归纳出一般结论并证明.八、课堂小结九、课后反思2.2.2分析法一、教学目标1知识与技能目标(1)理解分析法证明的概念；(2)能熟练地运用分析法证明数学问题；(3)综合法与分析法结合使用证明数学问题2过程与方法目标(1)通过实例引导学生理解分析法的思考过程与特点；(2)引导学生归纳出分析法证明的操作流程图；(3)通过实例引导学生灵活选用证明的方法3情感、态度与价值观(1)通过分析法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性；(2)通过分析法的学习，养成审慎思维的习惯；(3)通过证明方法的选择，与两种证明方法的结合使用，培养学生综合解决问题的能力二、教学重点：(1)结合已经学过的数学实例，理解分析法；(2)了解分析法的思考过程、特点三、教学难点：(1)对分析法的思考过程、特点的概括；(2)运用分析法证明数列、几何等有关内容四、新知概述：1、分析法定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)为止，这种证明方法叫做分析法。由分析法证明的特点，我们有时也把这种证明方法叫“逆推证法”或“由果索因法”2、框图表示用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：3、分析法的特点：执果索因4、综合法与分析法各自的特点：综合法“由因导果”，宜于表达；分析法“执果索因”，利于思考五、自我检测：1. 讨论：如何证明基本不等式2设，且，则必有（ ）A、B、 C、 D、3设，则中最大的一个是（ ）A、B、C、D、不能确定4的大小关系是_.5设都是正实数，且满足，则使得恒成立的的取值范围是 。六、典例讲解例1求证：2.例2设a，b，x，yR，且a2b21，x2y21，试证：|axby|1.例3用分析法证明：已知a，b是正实数，求证：.例4. ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求证：。七、随堂练习1已知ab0，求证： 2若，试用分析法证明：3用分析法证明：若a0，则a2.八、课堂小结九、课后反思2.2.3反证法一、教学目标：1、知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点。2、过程与方法:培养学生的辨析能力和分析问题、解决问题的能力；3、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。二、教学重点：了解反证法的思考过程、特点三、教学难点：反证法的思考过程、特点四、新知概述：1、反证法的定义：一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。2、反证法的思维方法：正难则反3、反证法的基本步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成-立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -论正确反证法证明的关键是：第二步即从结论的反面出发，经过推理论证，得出矛盾4、反证法引出的矛盾有以下几种情况：(1)与原题中的条件矛盾；(2)与定义、公理、定理、公式等矛盾；(3)自相矛盾。5、应用反证法的情形： (1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” -类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；五、自我检测：1. 实数a，b，c不全为0的含义是（ ）Aa，b，c均不为0Ba，b，c中至少有一个为0Ca，b，c至多有一个为0Da，b，c至少有一个不为02证明“在ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()A三角形中至少有一个直角或钝角B三角形中至少有两个直角或钝角C三角形中没有直角或钝角D三角形中三个角都是直角或钝角3用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60”，应先假设这个三角形中()A有一个内角小于60 B每一个内角都小于60C有一个内角大于60 D每一个内角都大于604“ab Cab Dab或ab5用反证法证明“在同一平面内，若ac，bc，则ab”时，应假设()Aa不垂直于c Ba，b都不垂直于cCab Da与b相交6A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？六、典例讲解例1已知，且，求证：中至少有一个小于2.变式练习：已知，。求证中至少有一个不小于0。例2、已知直线和平面，如果，且，求证。变式练习：设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点求证：AC与平面SOB不垂直例3证明：若函数f(x)在区间a，b上是增函数，那么方程f(x)0在区间a，b上至多只有一个实数根变式练习：若实数，求证：二次函数在区间内至少存在一个点c，使七、随堂练习1若a、b、c均为实数，且ax22x，by22y，cz22z，求证：a、b、c中至少有一个大于0. 2设p，qR，且p3q32，求证：pq2 3已知a + b + c 0，ab + bc + ca 0，abc 0，求证：a, b, c 0 八、课堂小结九、课后反思2.3.1数学归纳法一 教学目标1知识与技能目标(1)理解“归纳法”和“数学归纳法”的含义和本质(2)掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论(3)会用“数学归纳法”证明简单的恒等式(4)初步掌握归纳与推理的方法2过程与方法目标培养学生观察、归纳、发现的能力，并能以递推的思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，使学生的抽象思维和概括能力得到进一步的提升3情感、态度与价值观通过对数学归纳法的学习，培养学生勇于探索、创新的个性品质，培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，进一步培养学生数学思维的严密性，通过学生之间的交流和讨论，增强学生之间的团结合作意识，提高学生的语言交流能力二、教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题三、教学难点：(1)学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明(2)运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系四、新知概述：1数学归纳法的本质：无穷的归纳有限的演绎（递推关系），即以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳（完全归纳）的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程。2数学归纳法证题的步骤：(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N)时命题成立；(归纳递推)假设nk(kn0，kN)时命题成立，证明当nk1时命题也成立根据，可知命题对任何nN都成立3数学归纳法的核心是在验证P(n0)正确的基础上，证明P(n)(nn0)的正确具有递推性第一步是递推的基础或起点，第二步是递推的依据，因此两步缺一不可，证明中，恰当地运用归纳假设是关键4数学归纳法适用的范围是：一般用于证明某些与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题，但是并不能简单的说，所有与正整数有关的数学命题都可以用数学归纳法证明，如果问题中存在可以利用的递推关系，数学归纳法才有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难5归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法，归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想五、自我检测：1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线条数为n(n3)条时，第一步验证n等于 ()A1 B2 C3 D02用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”时，第2步归纳假设应写成()A假设n2k1(kN*)时正确，再推证n2k3时正确B假设n2k1(kN*)时正确，再推证n2k1时正确C假设nk(k1)时正确，再推证nk2时正确D假设nk(k1)时正确，再推证nk2时正确3若f(n)1(nN*)，则n1时f(n)是()A1 B. C1 D以上答案均不正确4用数学归纳法证明(nN,n2)时：(1)当n=1时,左边有_项,右边有_项；(2)当n=k时,左边有_项,右边有_项；(3)当n=k+1时,左边有_项,右边有_项；(4)等式的左右两边,由n=k到n=k+1时有什么不同?5已知f(n)1(nN*)用数学归纳法证明不等式f(2n)时，f(2k1)比f(2k)多出的项数是_六、典例讲解例1、用数学归纳法证明：； 变式练习：； 例2、已知数列an满足Snan2n1, (1) 写出a1, a2, a3,并推测an的表达式；(2) 用数学归纳法证明所得的结论。例3：设f(n)=1+,求证n+f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n) (nN,n2)七、随堂练习1用数学归纳法证明3kn3(n3,nN)第一步应验证( )A n=1B n=2 C n=3D n=42用数学归纳法证明第二步证明从“k到k+1”，左端增加的项数是( )A. B C D 3用数学归纳法证明1222n2 (nN)4若n为大于1的自然数，求证 5已知数列xn满足，x1，xn1，nN*.猜想数列x2n的单调性，并证明你的结论八、课堂小结九、课后反思2.3.2数学归纳法（二）一、教学目标1知识与技能目标(1)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题(2)进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题(3)掌握证明nk1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等2过程与方法目标(1)利用“归纳猜想证明”模式解决问题，培养学生自觉运用数学归纳法的意识(2)培养学生综合运用知识的能力及解题时的目标意识(3)培养学生思维的严谨性，培养学生观察、归纳、发现的能力，并能以递推的思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，使学生的抽象思维和概括能力进一步提升3情感、态度与价值观通过对数学归纳法的学习，培养学生勇于探索、创新的个性品质，培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，进一步培养学生思维的严密性通过学生之间的交流和讨论，增强学生之间的团结合作意识，提高学生的语言交流能力二、教学重点：(1)由“nk”到“nk1”时项的确定(2)处理P(k1)时“拆、分、并、补”等配凑技巧的应用三、教学难点：(1)初步形成“观察归纳猜想证明”的思维模式(2)处理P(k1)时“拆、分、并、补”等配凑技巧的应用(3)运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现递推关系四、自我检测：1用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的正整数n成立”时，第一步证明中的起始值n应取()A1 B2 C3 D52用数学归纳法证明不等式1n(nN*)的过程中，由nk递推到nk1时，不等式左端增加的项数是()A1 B2k1 C2k D2k13用数学归纳法证明(n1)(n2)(n3)(nn)2n13(2n1)(nN)时，从“nknk1”两边需同乘以一个代数式，它是()A2k2 B(2k1)(2k2)C. D.4用数学归纳法证明135(2n1)n2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正证明：(1)n1时，左边1，右边121，等式成立(2)假设nk时等式成立，即135(2k1)k2，则当nk1时，135(2k1)(k1)2等式也成立由(1)和(2)可知对