1-2第1-4讲数的开方.doc

初一升初二 数学 暑假_第一讲数的开方一、【基础知识精讲】（一）无理数的概念无理数：无限不循环小数叫做无理数.（二）平方根1.平方根: 如果x2a（a0），那么x叫做a的平方根.2.平方根的表示方法： 当a0时，a的平方根记为； 当a0时，a的平方根是，即0； 当a0)； ； 二、【例题精讲】A组（一）平方根与立方根的性质例1、判断下列说法是否正确 6的平方根是36；( ) 1的平方根是1；( ) 9的平方根是3；( ) ； ( ) 9是的算术平方根；( ) |16|的平方根是4；( ) 5是25的平方根；( ) 是的平方根( )变式1：下列说法：（1）任何数都有算术平方根；（2）一个数的算术平方根一定是正数；（3）的算术平方根是a；（4）的算术平方根是；（5）算术平方根不可能是负数， 正确的个数有 个.变式2：（1）若17是m的一个平方根，则m的另一个平方根是 ； （2） 的算术平方根等于它的平方根. （3）下列各数：2，（3）2，0.5，0，（1），其中有平方根的有 个.例2、下列说法中正确的是（ ）A. 4没有立方根 B. 1的立方根是1C. 的立方根是 D. 5的立方根是变式1：在下列各式中： =，=0.1， =0.1，=27，其中正确的个数是（ ）A.1B.2 C.3D.4变式2：下列说法中，正确的是（ ）A. 一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数 B. 一个有理数的立方根，不是正数就是负数C. 负数没有立方根 D. 如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是1，0，1例3、（1）若2，则a ；若x=（）3，则= （2）若有意义，则的值是 ；若有意义，则= ； （3）（2012江苏）已知x、y都是实数，且，则的平方根是 . （4）若m0，则m的立方根是（ ） A. B. C. D. （5）如果是6x的三次算术根，那么（ ）A. x6B. x=6C. x6D. x是任意数（二）开方运算例4、（1）求下列各数的平方根和算术平方根：1）169； 2）2； 3）102； 4）|2|； 5）17282（2）求下列各数的立方根：1）512； 2）0.729； 3）； 4）6变式：（1）的平方根是 ； （2）()2的算术平方根是 ； （3）9-2的平方根是 ； （4）(4)3的相反数的倒数的平方根是 ； （5）等于 ，的平方根为 ； （6）的平方根是 ，的算术平方根是 .（3） 开方的应用例5、计算下列各题（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）.例6、求下列各式中的x（1）9（x21）34； （2）（3x1）225； （3）125x3=8；（4）(2+x)3=216； （5） =2； （6）27(x+1)3+64=0.3、 【拓展练习】 B组一、填空题1. 若，则的所有可能值为 .2.设x是16的算术平方根，则x与y的关系是 .3.若，则（x+13）的立方根是 .4.若3x+16的立方根是4，则2x+4的平方根是 .5.当a0时，+可化简为 .二、解答题1.已知，且y是负数，求3y+5的算术平方根.2.若实数a、b、c满足，求代数式的值.3.已知+|b327|=0，求(ab)b的立方根.4.若和互为相反数，求x+y的平方根.5.已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：四、【奥数天地】C组1.若a满足关系式，试求a的值.2、已知有理数a、b、x、y满足，试求的值.3.已知 ax3=by3=cz3，求证：. 一、选择题1.下列语句不正确的是（ ）A、0的平方根是零 B、非负数的平方根互为相反数 C、-22 的平方根是2 D、一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数2.下列说法中，不正确的是（ ） A、的平方根是2 B、的立方根是2 C、的立方根是2 D、-的立方根是-23.一个自然数的算术平方根是a则下一个自然数的算术平方根是（ ）A、 B、 C、 D、 二、填空题1.若 则x= ； 若，则= .2.一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3，则a= ，x= .3.若，则a+b-5= .三、解答题1.若4x2+y2+4x+4y+5=0，求的值.2.若，求m+n的值.3.当-1x2时，化简.第四讲 实数的运算1一、【基础知识精讲】1实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。但计算中出现的数或式往往要对它们进行化简，使得被开方数不含分母和开得尽的因数或因式。2、化简的结果必须满足三个条件： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含开得尽方的因式或因数； （3）分母不含根号。7、二次根式的有理化：把一个代数式的分母中的根号化去，叫分母有理化。 （1）最简二次根式的最简单的有理化因式是，有理化时运用的 公式是。 （2）最简二次根式的最简单的有理化因式是，有理化时运用的公式是和平方差公式。二、【基础练习】1、计算：（1）2=_， （2）=_， （3）=_，2、计算下列各题（1）. （2）；（3） （4）(+）(）（5） （6）(1+)(1)三、【知识点精讲】例1、化简，化去分母中根号（分母有理化）。 （2） （3） （4） （5）变式训练：化简（1） （2） （3） （4）、 （5）例2、化简:（1）； （2）变式训练：化简: (1)； （2）例3、（2010培优）已知，则。变式训练：已知， ，求下列各式的值。 （1） (2) (3) 三、【课堂练习】 A组一、选择题：下列运算正确的是（ ） A、； B、；C、；D、二、解答题:1计算下列各题（1） (2)； （3） (4) 2若，求的值。B组一、填空题：1（2010培优）若是一个实数，则x的值为_ 。2已知a、b、c满足，则a+b+c的值为_。二、解答题1计算下列各题。（1） （2）（3）（济宁）计算：（5）(2010湖北)已知，试求值。C组比较大小（1）； （2）【创新探究】观察下列算式： 你能得到什么规律？进而计算下面等式： （n为正整数） 1、 化简:（1） （2）2、将下列各式分母有理化（1） （2）； (3) （4）3、（1）计算：4、已知：，求x-y的值。+第二讲无理数与实数【基础知识精讲】一、实数有关概念1有理数：整数和分数统称有理数。有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。2无理数：无限不循环小数叫做无理数（eg:）。 无理数必须满足三个条件：小数；是无限小数；不循环，三者缺一不可。3有理数和无理数统称为实数.4实数的分类 ：5 实数大小的比较：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大. 比较方法：估算法；求差法；平方法；移动因式法.6实数和数轴上点的对应关系: 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的关系.7实数的几个概念.（1）相反数；（2）倒数；（3）绝对值都和有理数范围内的概念相同.二、【典例精讲】例1：将下列各数填在相应括号内：，3.14，有理数集合 ；整数集合 ；正数集合 ；分数集合 ；实数集合 。变式：下列各数中，哪些是正数？负数？有理数？无理数？正数集合： 负数集合： 有理数集合： 无理数集合： 例2：判断正误（1）有理数包括整数、分数和零（）（2）无理数都是开方开不尽的数（）（3）不带根号的数都是有理数（）（4）带根号的数都是无理数（）（5）无理数都是无限小数（）（6）无限小数都是无理数（）变式：在数0.222；2.525252；-3；1.1351335；3.1416；(1)2；1.424224222其中无理数的个数为（ ）。 A1个 B.2个 C.3个 D.4个例3：比较大小：， _。变式：比较大小： ， 例4：的相反数是_；绝对值是_。例5：点A在数轴上和原点相距个单位，点B在数轴上表示的数为2，则A、B两点之间的距离是_。例6：若|a|=4，且ab0，则|a+b|=_。三、【同步练习】A组一、填空题1下列各数中：，3.14159，0，0.，2.121122111222其中有理数有_无理数有_2（1）在实数中绝对值最小的数是_，在负整数中绝对值最小的数是_（2）的相反数是_，的倒数是_，-的绝对值是_3已知一个数的相反数小于它本身，那么这个数是_4任何一个实数在数轴上都有一个_与它对应，数轴上任何一个点都对应着一个_6实数a，b在数轴上所对应的点的位置如图所示，则 (1) 2a_0， (2) ab_0， (3) 2aab_7已知实数x满足|x|=-x，则x的取值范围是_.4、 设实数a0，则a与它的倒数、相反数三个数的和等于_， 三个数的积等于_ 10.若|x2|与互为相反数，则xy=_。 11若a，b都是无理数，且a+b=2，则a，b的值可能是_12比较大小：（1）_；（2）-；（3）a_a13绝对值小于的所有整数之和是_；-的相反数比-的倒数大_14若a=，则-的相反数是_；的最小值是_，这时a=_15-的相反数是_，绝对值是_；比-大且比小的整数有_二、选择题1下列判断正确的是（ ） A一个数的相反数是负数 B最大的负数是-1 C非负数中最小的数是0 D比正数小的都是负数2两个无理数的和，差，积，商一定是（ ） A无理数 B有理数 D0 D实数3三个数-，-3，-的大小顺序是（ ） A-3- B-3- C-3- D-3-b2，则ab C若=（）2，则a=b D若=，则a=bB组1.已知a，b在数轴上的位置如图，化简：.2（过程探究题）在计算3+2时，小芳是这样计算的：3+2=（32）=6；小红是这样计算的：3+2=（3+2）=5=52=10； 小颖是这样计算的：3+2=（3+2）=53.已知的值.一、选择题：1、下列各式中，无论x为任何实数都没有意义的是（ ） A、 B、 C、 D、 2、设a=, b=, c=2, 则a、b、c之间的大小关系是（ ） A、abc B、acb C、bac D、 cba 3下列说法正确的是（ ） A两个无理数的和一定是无理数 B两个无理数的差一定是无理数C两个无理数的积一定是无理数 D两个无理数的商不一定是无理数（4） 填空题： 43.14的相反数是_, 绝对值是_. 5绝对值等于它本身的数是_，平方后等于它本身的数是_6、的整数部分是a, 小数部分是b, 则a= , b= .7、实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为，则代数式的值为 。三、解答题8、已知x是的整数部分，y是的小数部分，求(y-)X-1的平方根。9.已知实数a、b、c在数轴上的位置如图2所示，化简。第三讲 二次根式一、【基础知识精讲】1.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.分母中不含二次根式.2同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式. 3.合并同类二次根式：同类二次根式才可加减合并4.二次根式的双重非负性：4.二次根式加减：（1）把各个根式化成最简二次根式. （2）合并同类二次根式.5二次根式的乘法：（a0，b0）; =（a0，b0）6.二次根式的除法：（a0，b0）; （a0，b0）二、【例题精讲】例1：将下列各数化为最简二次根式。（1）=_；（2）=_；（3）=_；（4）=_变式：下列各式是最简二次根式的是：（ ）A. B. C. D.例2：下列二次根式中，哪些是同类二次根式？（1）； （2）； （3）；（4）；（5）；（6）。【变式】x取什么值时，最简二次根式是同类二次根式？例3：x,y，z都是实数，且,则2x-y+z=_变式：x、y都是实数，且，则xy的值为_例4：（1）2=_， （2）=_， （3） （4）（a，b为有理数） 例5： （1）=_，=_； （2）=_，=_ （3）=_，=_； （4）=_，=_三、【同步练习】A组1计算下列各题（1） （2） （3）.3 （4） （5） （6） （7） （8）2计算下列各题 （2）； （3）； 3三角形的三边长分别为cm、cm、 cm，这个三角形的周长是 _cm。4使式子有意义的实数x的取值范围是（ ） A、x0 B、x C、x D、x5下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A、 B、 C、 D、6下列运算正确的是（ ） A、； B、； C、；D、；B组1计算下列各题。（