数学竞赛中证明不等式的几种技巧.pdf

3 6 中学数学研究 2 13 0 4 年第5 期 数学竞赛中证明不等式的几种技巧 广东省惠州市第八中学 5 1 6 o o o 张海滨 证明不等式一般没有固定的程序 方法因题而 1 6 1 l 7 异 灵活多变 技巧性强 有时一个不等式的证明方法 一k l k 不止一种 而一种证法又可能要用到好几个技巧 但基 本思想总是一样的 即把原来的不等式变为明显成立 的不等式 下面介绍几种证明不等式的技巧 1 放缩法 通过舍掉式子中的一些正 负 项而使各项之和 变为小 大 或在分式中扩大或缩小分式的分子 分 母 或在乘积中扩大或缩小其中因式 从而证明不等 式 例l 求证 11 6 1 1 7 1 9 9 2 年 全 国 高 中 例l 求 证 1 9 9 2 年 全 国 高 中 数学联赛 分析 求证的不等式实质是要估计数列 1 前 者8 0 项和的范围 考虑到这种倒数形式的数列求和常 常通过裂项相消 故采用放缩法 证明 由 得 2 k 1 故 c 从而 2 一 1 2 一 2 而 一 2 一 1 m n 取 n s 0 m 得 6 取 n 8 0 m 2 得 8 0 l 1 2 一 1 l 0 求 证 a 2 O b c a b e D c a C 一 上海市中学生竞赛题 ff u J 由待证不等式的对称性 不妨设 n b c 则 詈 1 1 詈 1 n 一 6 0 6 一 c 0 n c 0 n c 一6 c c 6 一 f c 6 一 a c c c r 一 詈 詈 l 4 叠加法或连乘法 将待证不等式分解为若干个简单不等式 然后通 过相加或连乘 得到待证不等式 例4 设 n b c 0 且 n b c 1 求证 1 n 1 b 1 c 8 1 一n 1 一b 1 一c 第 f J 匕 届全俄中学生数学竞赛题 分析 由欲证不等式中的常数8 2 2 2 启发 我们考虑将不等式分解成三个形如 Y 2 例 5 已知 n 6 c R 求证 2 2 c n b c 厂 第二届 友谊杯 国际数学邀请赛题 证 明 构 造 函数 一瓜 D c 一 一 x c n a 一 6 D c 一 2 n b c 2 n b c 厂 0 0 即 4 4 2 n b c 0 a b c R n b c d 6 c l6 一 6 对称性分析法 的不等式来证 对称性分析就是将数学的对称美与题目的条件或 证明 n b c 0 且 n b c 1 结论相结合 再凭借知识经验与审美直觉 从而确定解 1 一n 0 1 一b 0 1 一c 0 题的总体思想或人手方向 1 n 2 一b c 1 一b 1 一c 2 1 一b 1 一c 同理可证 1 b 2 1 一n 1 一c 1 c 2 二 以上三式相乘即得 1 n 1 b 1 c 8 1 一n 1 6 1 一c 5 构造法 以已知条件为原料 以所求结论为方向 构造出一 例 6 设 n n 2 3 n 为正数 它们的和等于 1 证明 n1 n2 l 证 明 令 a 5 a2 a3 n l n n1 n f z n3 C l i i一1 n 一1 n l n Y n1 n 2 n 2 n3 维普资讯 3 8 中学数学研究 2 0 0 4年第5 期 a n i l 1 fl J 于 Y Y n 勺 结构没仃本质 卜的 f 同 因而猜想 应 有Y l 目 m 求 证Y 口 f 矢 l应 有 Y l 下 面就来验 Y i 三 二 堕 0 旦 L 1 z 2 z 3 1 2 l 7 逐步调整法 为 r 解决M题 可以从较宽的要求开始 逐步加强 要求 渐次逼近原 题 卣至最后解决 这就是逐步渊 整的基本含义 对于有限元素的系统来说 系统的状念 是有限的 因而 经过有限玖调整之后 常能达到所要 求的状怠 例7 AA B C巾 求m c o s A c o s B c o s C 分析 对于似端情肜 B C 6 0 时 欲 的 式子取等号成直 曼 的式子就是 c o s A J c o s C C O S 6 0 o s 6 0 C 0 3 6 0 可以尤固定 曰 的某一个 如 B 月 逐步捌整法 把 c调整列 6 0 证明 不妨没 B C 于是 A 6 0 C 6 0 我们缩小A 增J J u C 保持和 A c 不变 即固定 B 使这两个角 f J 一个被调整为6 0 另一个为 C一 6 0 证明此时 c o c o s C的值不会减少 即证明 c o s A c o s C c o s 6 0 c o s A C一6 1 意 刮 A C 2 一 CO S c 6 0 c f C一6 0 2 c 4 6 0 A 1 2 0 一 4 A C 1 2 0 一 A C C 6 0 C 1 2 0 一 C A C A C 一 1 2 0 f4一 C I l 2 一 A C I 4一 C A C l 2 一 从而 1 式成立 c o s B C O S A C一6 1Y B C 一6 1 Y A C B 一 6 1Y COS 一 一COS 一 C B 一6 巾 1 2 得 c c s c s c 3c o s 6 0 3 8 引入参数法 证日 J J 某些小等式时 可通过巧妙地引入参数 使该 参数在不等式证明过程中起到桥梁的作用 侈 0 8 设 n 6 C d R I I n b C d 1 求证 v 厂 0 则 l 4 j 1 4 n 1 川理町僻 1 1 4 6 1 4 4 1 一 一 二 立 一 一 一 L 二 一 n n n 一 盛 维普资讯 2 0 0 4 年第5 期 中学数学研究 3 9 4 4 d 1 以上四式相加得 1 4 l l l 4 k 4 n 4 6 4 c 4 d 4 2 k 2 4 当且仅当k I 1 I 时 即 6 c d 时 卜 式 等号成立 于是在 L 式中令 k 2 得 1 l r j 4 20 0 j l Y l 一 0 X 2 一 0 的实数 1 X Y l l 不等式 s l X 2 l 2 一 l 1 1 I I z 1 一 X2 一 Y 2 一 一 成立 第十一届罔际奥林匹克竞赛试题 证明 记D l l Y l 一 D X 2 J 2 一 贝 0 l Y l D 1 X 2 Y 2 D 从而 l 2 l 2 一 l DI D2 l Y 2 J l一2 Z l Z 2 I DI D2 x3 x 2 Y 2 xI l ly D l D 2 D 一