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第十九章一次函数 19 3课题学习选择方案 R 八年级数学下册 新课导入 某单位要制作一批宣传材料 甲公司提出 每份材料收费20元 另收3000元设计费 乙公司提出 每份材料收费30元 不收设计费 学习目标 1 能熟练列函数关系式表示实际问题中的数量关系 2 能运用一次函数的知识帮助分析 确定和选择最佳方案 重点 运用一次函数的知识确定最佳方案 难点 在不同情况下对自变量x的范围的确定 学习重 难点 推进新课 思考两家公司收费额的计算方法 列出相应的函数关系式 某单位要制作一批宣传材料 甲公司提出 每份材料收费20元 另收3000元设计费 乙公司提出 每份材料收费30元 不收设计费 设共有x份材料 两家公司的收费分别为y1 元 y2 元 则有 y1 20 x 3000 y2 30 x 当y1 y2时 x 300 当y1 y2时 x 300 当y1 y2时 x 300 由此可以看出 选取哪家公司付费y元是由材料的份数x决定的 怎样选取上网收费方式 下表给出A B C三种上宽带网的收费方式 选取哪种方式能节省上网费 该问题要我们做什么 选择方案的依据是什么 在A B两种方式中 影响上网费用的变量是 方式C中的上网费用是 上网时间 常量 A B C三种收费方式的函数表达式分别是什么 设月上网时间为xh 方案A 方案B 方案C的收费金额分别为y1 y2 y3 则有 三个函数的图象如下 由函数图象可知 1 当上网时间不超过 选择方案A最省钱 31小时40分 2 当上网时间为 选择方案B最省钱 31小时40分至73小时20分 3 当上网时间 选择方案C最省钱 超过73小时20分 1 写出国庆节这天停车场的收费金额y元与小车停放辆次x辆之间的函数关系式 并指出自变量的取值范围 某汽车停车场预计 十一 国庆节这一天将停放大小汽车1200辆次 该停车场的收费标准为 大车每辆次10元 小车每辆次5元 根据预计 解答下面的问题 用x表示小车停放辆次 则大车停放的次数为1200 x 收费金额y关于x的解析式为 y 5x 12000 自变量的取值范围是0 x 1200 2 如果国庆节这天停放的小车辆次占总停车辆次的65 85 请你估计国庆节这天该停车场收费金额的范围 估计国庆节这天该停车场收费金额的范围是由什么来确定 小车停放辆次 某学校计划在总费用2300元的限额内 租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动 每辆汽车上至少要有1名教师 现在有甲 乙两种大客车 它们的载客量和租金如下表 1 共需租多少辆汽车 分析 要保证240名师生有车坐 要使每辆汽车上至少要有1名教师 租车费用与租车种类有关 设租用x辆甲种客车 则租车费用y 单位 元 是x的函数 即 y 400 x 280 6 x 化简为 y 120 x 1680 2 给出最节省费用的租车方案 在考虑上述问题的基础上 你能得出几种不同的租车方案 为节省费用应选择其中的哪种方案 试说明理由 4两甲种客车 2两乙种客车 5两甲种客车 1辆乙种客车 y1 120 4 1680 2160 y2 120 5 1680 2280 应选择方案一 它比方案二节约120元 方案一 方案二 解决含有多个变量的问题时 可以分析这些变量之间的关系 从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量 然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数 以此作为解决问题的数学模型 选择方案的基本步骤 1 理解题意并建立函数模型 2 利用不等式 组 或方程 组 确定自变量的取值范围或取值 3 结合实际确定最佳方案 误区诊断 某市20个下岗职工开了50亩荒地 这些地可以种蔬菜 棉花 水稻 如果种这些农作物每亩地所需的劳动力和预计的产值如下表 怎样安排 才能使每亩地都种上作物 所有职工都有工作 而且农作物的预计总产值达到最高 错解 设种植蔬菜 棉花 水稻各x亩 y亩 50 x y 亩 由题意有 x y 50 x y 20 即 y 90 3x 再设预计总产值为P元 则 P 1100 x 750 90 3x 600 50 x y 50 x 43500 x取最大值50 P取最大值 为 40500 50 50 46000 安排20个职工种50亩蔬菜可使产值最高 为46000元 设种植蔬菜 棉花 水稻各x亩 y亩 z亩 总产值为P 依题意有 解得 x y z 20 x y z 50 x y z 0 正解 正解 20 x 30 则有P 1100 x 750y 600z 43500 50 x 所以当x 30时 P取最大值45000 此时y 0 z 20 所以安排15个职工种30亩蔬菜 5个职工种20亩水稻 可使产值最高 为45000元 错因分析 根据题意 设三个未知数 先列方程组 再用含某一个未知数的式子表示出另外两个未知数 以达到消元的目的 从而找出预计总产值与其中一个未知数的一次函数解析式 要注意 通过三个未知数的实际意义x 0 y 0 z 0来确定自变量x的取值范围 随堂演练 基础巩固 1 某商店需要购进一批电视机和洗衣机 根据市场调查 决定电视机进货量不少于洗衣机进货量的一半 电视机与洗衣机的进价和售价如下表 计划购进电视机和洗衣机共100台 商店最多可筹集资金161800元 1 请你帮助商店算一算有多少种进货方案 不考虑除进价之外的其他费用 解 设电视机进货x台 则洗衣机进货 100 x 台 则由题意得 1800 x 1500 100 x 161800 解得x 39 又 x 100 x x 34 34 x 39 商店一共有6种进货方案 2 哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多 并求出最多利润 利润 售价 进价 设利润为y元 则由题意得 y 2000 1800 x 1600 1500 100 x 100 x 10000 34 x 39 当x 39时 ymax 100 39 10000 13900 当商店购进电视机39台 洗衣机61台时 获得的利润最多 为13900元 2 某饮料厂为了开发新产品 现有A B两种果汁原料各19千克 17 2千克 试制甲 乙两种新型饮料50千克 下表是实验的相关数据 类别 每千克含量 1 假设甲种饮料需配制x千克 请你写出满足题意的不等式组 并求出其解集 类别 每千克含量 2 设甲种饮料每千克成本为4元 乙种饮料每千克成本为3元 这两种饮料的成本总额为y元 请写出y关于x的函数表达式 根据 1 的运算结果 确定当甲种饮料配制多少千克时 甲 乙两种饮料的成本总额最少 y关于x的函数表达式为 y 4x 50 x 3 x 150 28 x 30 当x 28时 ymin 28 150 178 当甲种饮料配制28千克时 甲 乙两种饮料的成本总额最少 为178元 综合应用 3 康乐公司在A B两地分别有同型号的机器17台和15台 现要运往甲地18台 乙地14台 从A B两地运往甲 乙两地的费用如下表 目的地 出发地 解 如果从A地运往甲地x台 则从A地运往乙地 17 x 台 从B地运往甲地 18 x 台 从B地运往乙地 x 3 台 则由题意得 y 600 x 500 17 x 400 18 x 800 x 3 500 x 13300 1 如果从A地运往甲地x台 求完成以上调运所需总费用y 元 关于x 台 的函数关系式 完成以上调运所需总费用y 元 关于x 台 的函数关系式为y 500 x 13300 3 x 17 x 0 x 3 0 17 x 0 18 x 0 解得3 x 17 3 x 17 当x 3时 ymin 500 3 13300 14800 当从A地运3台机器到甲地 运14台到乙地 从B地运15台到甲地时 所需的总费用最少 为14800元 2 若康乐公司请你设计一种最佳调运方案 使总费用最少 则该公司完成以上调运方案至少需要多少费用 课堂小结 选择方案的基本步骤 1 理解题意并建立函数模型 2 利用不等式 组 或方程 组 确定自变量的取值范围或取值 3 结合实际确定最佳方案 爱心 帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲 乙两市 两厂原来每周生产帐篷共9千顶 现某地震灾区急需帐篷14千顶 该集团决定在一周内赶制出这批帐篷 为此 全体职工加班加点 总厂和分厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1 6倍和1 5倍 恰好按时完成了这项任务 1 在赶制帐篷的一周内 总厂和分厂各生产帐篷多少千顶 解 设总厂原来每周生产帐篷x千顶 则分厂原来每周生产帐篷 9 x 千顶 在赶制帐篷的一周内 总厂生产帐篷1 6x千顶 分厂生产帐篷1 5 9 x 千顶 由题意得 1 6x 1 5 9 x 14 解得x 5 9 x 4 则在赶制帐篷的一周内 总厂生产帐篷5 1 6 8 千顶 分厂生产帐篷4 1 5 6 千顶 2 现要将这些帐篷用卡车一次性运送到该地震灾区的A B两地 由于两市通住A B两地道路的路况不同 卡车的运载量也不同 已知运送帐篷每千顶所需的车辆数 两地所急需的帐篷数如下表 请设计一种运送方案 使所需的车辆总数最少 说明理由 并求出最少车辆总数 设从甲市运y千顶帐篷到A地 所需车辆总数为z辆 则从甲市运 8 y 千顶帐篷到B地 从乙市运 9 y 千顶帐篷到A地 从乙市运 y 3 千顶帐篷到B地 由题意得 z 4y 7 8 y 3 9 y 5 y 3 68 y 当y 8时 zmin 68 8 60 当从甲市运8千顶帐篷到A地 从乙市运1千顶帐篷到A地 从乙市运5千