2_3逆矩阵.ppt

第3节逆矩阵 inversematrix 3 1逆矩阵的定义 3 2方矩阵可逆的充分必要条件 3 3可逆矩阵的性质 3 4用逆矩阵求解线性方程组 下页 3 6伴随矩阵的常用性质 3 5用逆矩阵求解矩阵方程 3 1逆矩阵的概念 解方程组 解 将其写成矩阵方程 两边都左乘矩阵F得 从而得方程组的解 下页 那么 F矩阵是怎么得到的呢 第3节逆矩阵 逆矩阵概念的引入 定义1对于n阶矩阵A 如果存在n阶矩阵B 使得AB BA E 那么矩阵A称为可逆的 而B称为A的逆矩阵 可逆矩阵的定义 这是因为 如果B和B1都是A的逆矩阵 则有 AB BA E AB1 B1A E 于是B B1 EB1 BA B1 B AB1 BE 如果矩阵A可逆 则A的逆矩阵是唯一的 逆矩阵的唯一性 下页 A的逆矩阵记为A 1 即若AB BA E 则B A 1 定义1对于n阶矩阵A 如果存在n阶矩阵B 使得AB BA E 那么矩阵A称为可逆矩阵 而B称为A的逆矩阵 可逆矩阵的定义 定理1如果矩阵A可逆 则A的逆矩阵是唯一的 由于A B位置对称 故A B互逆 即B A 1 A B 1 如 可以验证 下页 故B A 1 A B 1 3 2方阵可逆的充分必要条件 定义2由矩阵 称为矩阵A的伴随矩阵 记为A 即 的代数余子式构成的矩阵 下页 例1 求 的伴随矩阵A 解 同理A13 1 A21 2 A22 1 A23 1 A31 1 A32 2 A33 1 因此A的伴随矩阵 三阶矩阵A的伴随矩阵A 为 下页 定理2n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是 A 0 而且 其中A 为方阵A的伴随矩阵 所以 A 0 即A为非奇异 设A可逆 故 A A 1 E 1 使AA 1 E 即有A 1 证 必要性 定义3对于n阶矩阵A 若行列式 A 0 则称A是奇异的 或降秩的或退化的 否则称A为非奇异的 或满秩的或非退化的 下页 方阵可逆的充分必要条件 A E A 0 0 0 A 0 0 0 A 充分性 定理2n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是 A 0 而且 其中A 为方阵A的伴随矩阵 证 设A非奇异 则有AB 注意 E 同理可证BA E 因此A可逆 即AB E 下页 解 因为 2 0 所以A可逆 又因为 10 7 5 2 2 2 2 1 1 所以 A 1 A 下页 讨论 提示 a11a22 a12a21 下页 2 如何求对角矩阵的逆矩阵 1 2 推论设A B都是n阶矩阵 若AB E 则必有BA E 这一结论说明 如果要验证矩阵B是矩阵A的逆矩阵 只要验证一个等式AB E或BA E即可 若BA E 则必有AB E 例3 设n阶矩阵A满足aA2 bA cE O 证明A为可逆矩阵 并求A 1 a b c为常数 且c 0 又因c 0 故有 aA2 bA cE 解 由aA2 bA cE O 有 c 1 aA2 bA E 即 c 1 aA bE A E 因此A可逆 且A 1 c 1aA c 1bE 下页 例4 设三阶矩阵A B满足关系式 且 求矩阵B 解 由于A可逆 将等式 两端右乘 有 整理得 于是 故 下页 练习 解 1 由A2 A 2E O 得 所以A E可逆 正确选项为 2 由ABC E 可得BC为A的逆阵 所以BCA E 正确选项为 1 设n阶矩阵A满足A2 A 2E O 则必有 A 2E A E A E可逆 A不可逆 2 设A B C均n为阶方阵 且ABC E 则 ACB E CBA E BAC E BCA E 下页 3 3可逆矩阵的性质 3 若A B为同阶可逆矩阵 则AB亦可逆 且 AB 1 B 1A 1 因为 AB B 1A 1 A BB 1 A 1 AEA 1 AA 1 E 所以 AB 1 B 1A 1 2 若A可逆 数l 0 则lA可逆 且 lA 1 l 1A 1 1 若A可逆 则A 1也可逆 且 A 1 1 A 4 若A可逆 则AT也可逆 且 AT 1 A 1 T 因为 AT A 1 T A 1A T ET E 所以 AT 1 A 1 T 5 A 1 A 1 下页 应当指出 A B可逆 A B未必可逆 即使A B可逆 但一般地 例如 显然A B可逆 但因为 A B 0 故A B不可逆 当A B时 而不是 下页 线性方程组 的矩阵形式为 其中 当 A 0时 A 1存在 AX b两边左乘A 1 得X A 1b 这就是线性方程组解的矩阵表达式 下页 3 4用逆矩阵求解线性方程组 例5 利用逆矩阵求解方程组 解 将方程组写成矩阵形式 计算得 故A可逆 因而有 即 下页 解 X 下页 X A 1CB 1 为什么 3 5用逆矩阵求解矩阵方程 解 X A 1CB 1 注 求解矩阵方程 下页 1 AA A A A E 3 若 A 0 则 A A n 1 2 若 A 0 则