3.3商空间.doc

德州学院数学系 点集拓扑教案3.3 商空间在第一章讨论过等价关系和商集的概念.所谓商集乃是在一个集合中给定了一个等价关系之后相对于这个等价关系而言的等价类所构成的集合，通俗地说便是分别将每一个等价类的所有点“粘合”为一个点后得到的集合。在定义1.5.6中我们也曾说起过在一个集合X中给定了一个等价关系R之后，从集合X到商集有一个自然的映射p：X，使对每个x，p(x)=xR .它是一个满射.有了这一点，我们就可以给出商拓扑和商空间的概念了.一 商拓扑及其性质 定义3.3.1 设(X,T )是拓扑空间，Y是一个集合，f：XY是一个满射.容易验证Y的子集族T 1=UY | f-1(U)T 是Y的一个拓扑.我们称T 1为Y的（相对于满射f而言的）商拓扑.也叫“粘合”拓扑.推论 Y的一个拓扑是Y（相对于满射f：XY而言）的商拓扑在(X, )中，F Y是闭集的充要条件是f-1(F)是X中的闭集.证明 根据上面的定义可直接验证.其实就证：“在(X, )中，U Y是Y的开集的充要条件是f-1(U)是X中的开集.”.据定理1.5.2（ f-1保差运算），这是显然的.定理3.3.1设(X,T )是拓扑空间，Y是一个集合，f：XY是一个满射.则 如果T 1是Y的商拓扑,则f：XY是一个连续映射； 如果是Y的一个拓扑，使得对于这个拓扑而言映射f是连续的，则 .这也就是说商拓扑是使满射f连续的最大的拓扑.证明 有商拓扑的定义立即可知. 如果U,由于f对于来说连续，所以f-1(U)T ，因此UT 1，这证明.命题： 设T 1是Y的商拓扑.如果是Y的一个拓扑，使得对于这个拓扑而言满射射f：XY是开映射，则. 注： 在T 1下，f不一定是开映射，所以不能说T 1是使f为开映射的最小拓扑.证明 设UT 1 ，则f-1(U)是X中的开集，因为f：XY对于而言是开映射，所以f(f-1(U) =U .所以. 证毕.二 商映射及其应用定义3.3.2 设X,Y是两个拓扑空间，f：XY如果是一个满射且Y的拓扑是相对于f而言的商拓扑，则称f为一个商映射.也叫粘合“映射.注 设(X,T ),(X,T 1)是两个拓扑空间，f：XY是满射.则f是商映射 T 1是商拓扑. 商映射一定是连续的. 商映射不一定是开（闭）映射. 这是因为f-1(U)T ，则UT 1 ,但推不出：对每个VT ，有f(V)T 1 .即f：XY是满射，Y的拓扑是其商拓扑T 1 推不出f是开映射.例如 X=a,b,c，T =a,b,c,X,，Y=1,2， f：XY使得f(a)=f(b)=1，f(c)=2，则T 1 = X,. X中开基a的像f(a)=1不是Y中的开集.定理3.3.2 设X,Y,Z都是拓扑空间，且f：XY是一个商映射，则映射g：YZ连续映射gf ：XZ连续.证明 “”因为商映射连续，又g连续，所以gf连续.“”设 gf连续，若W为Z中的开集，则（gf）-1(W)是X中的开集.然而（gf）-1(W)=f-1g-1(W)，因为f：XY是一个商映射，所以Y的拓扑为商拓扑，于是由商拓扑的定义知，g-1(W)是Y中的开集.这证明了g连续. 证毕.根据定理3.3.2可知，我们可以利用商映射来验证一类映射的连续性，因此，为了应用该定理，判断Y的拓扑是商拓扑就成为必要了.下面的定理给出了一个充分条件.定理3.3.3 设X,Y是两个拓扑空间，如果映射f：XY是一个连续的满射，并且是一个开映射（闭映射）.则Y的拓扑便是相对于满射f而言的商拓扑.（这时f是商映射）.证明 假设f是一个开映射.设V是Y中的一个开集，因f连续，所以f-1(V)是X中的开集，因此V是Y中对于商拓扑而言的开集.反之，若V是Y中对于商拓扑而言的开集，则f-1(V)是X中的开集，由于f是一个开的满射，所以ff-1(V)=V是Y中的开集.综上证明了Y的拓扑是商拓扑.当f为闭映射时，用到fX- f-1(V)=f(X)-V=Y-V，（略）.说明 定理3.3.3即：f满、连、开f是商.但反之不成立，见定义3.3.2后的注. 本定理的证明还可这样：由定理3.3.1的和其后的命题，Y的拓扑和Y的商拓扑有关系.所以 . 由上节最后补充的定理知，同胚映射一定是商映射.三 商空间及举例定义3.3.3 设(X,T )是拓扑空间，R是X中的一个等价关系.商集的 （相对于自然投射p：X而言的）商拓扑称为的（相对于等价关系R而言的）商拓扑，拓扑空间（，）称为拓扑空间(X,T )的（相对于等价关系R而言的）商空间.说明 若X是拓扑空间，R是X中的一个等价关系，若无特别说明，总认为商集的拓扑是商拓扑，即商集认作拓扑空间时，指的就是商空间.因此投射p：X是一个商映射.因此连续. 通过在一个拓扑空间中给定等价关系的办法来得到商空间是构造新的拓扑空间的一个重要手法.下面给出例子：例3.3.1 在实数空间R中给定一个等价关系 = (x,y)R2 | 或者x,y Q ；或者x,y Q .商集 =有理点，无理点=1R R .对于自然投射P：R，P-1(1R )= Q ，P-1(R)=R Q ，P-1( )= 开，P-1() = R 开，所以T R = ，故商空间(，T R )是平庸空间.我们常通俗地简单陈述为这个商空间是“在实数空间中将所有有理点和所有无理点分别粘合（或等同）为一点所得到的空间”例3.3.2 在单位闭区间I=0,1中给定一个等价关系 = (x,y)I2 |或x=y,或x,y=0，1.即 是I中的一个等价关系，它使0 1；对于任意x0，1，xyx=y. 我们得到一个商空间 0，1/ . 习惯上将这个商空间说成是“在单位闭区间I中粘合两个端点所得到的商空间.”这个商空间与单位圆周S1同胚.证明 设P：0,10,1/ ，h：0，1使x0,1 , h (x)= ,易知h连续.首先可知，hP-1 是由 0,1/ 到S1 的一个关系.因为x 0,1/ ，若 x 0 ，则hP-1（ x ）=h(x)= ；若 x = 0 ，则hP-1（ 0 ）=h(0，1)=（1，0），所以hP-1是映射：0,1/ S1 .易知hP-1：0,1/ S1 是一一的.因为（hP-1）P=h( P-1P)=h 连续，所以由定理3.3.2知hP-1连续.因为h-1连续，P连续，所以（hP-1）-1 =P h-1连续.所以hP-1是0,1/ 到S1的同映射.所以0，1/ 与单位圆周S1同胚. 0101hPhP-1S1利用上述粘合的方法或说利用构造商空间的方法我们可以构造出许多拓扑空间.例如在单位正方形I2=0,12 中将它的一对竖直的对边上每一对具有相同的第二坐标的点（0，y）和（1，y）粘合，得到的商空间将同胚于一截“管子”，而将它的一对竖直对边的每一对点（0，y）和（1，1-y）粘合，得到的商空间通常叫做Mobius带.数学中许多重要的对象如环面、Clein瓶、射影平面和射影空间等也都可以作为商空间而给出。详见教材和余玄冰编著的点集拓扑p106-10 。本章总结：掌握内容：子空间、积空间定义；子空间、积空间的基和子基；投射的性质。理解内容：商拓扑、商空间，重点：子空