教案编号2(1.4极限的概念).doc

教案编号:NO:2课 题: 1.4 极限的概念教学时间: 教学班级: 授课类型:讲授新课教学目的的要求:1理解数列极限的定义，并能用定义求解一些简单数列的极限；2了解函数极限的描述性定义；3. 理解函数左右（无穷型）极限的概念，以及函数极限存在与左、右（或）极限之间的关系；4.了解极限的性质。教学重点:1 函数极限的定义及性质；教学难点:1. 函数左右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系；2. 函数无穷型极限的概念，以及函数极限存在与极限之间的关系。教学思路：极限是研究微积分的基本工具，本次课将带领学生从特殊函数数列入手，分析函数中自变量在某一变化趋势下函数的变化的趋势，引出极限概念。再从数列过渡到一般函数，从自变量的变化“路径”得到左右极限，无穷型极限等概念。最后带领同学探讨极限的性质。教学过程：一、新课引入：极限方法：讨论当自变量在某一变化过程中，函数的变化趋势。并用这种变化趋势解决问题的方法叫做极限方法。 极限是研究微积分的基本工具。为了更好地描述极限概念，我们先从特殊函数数列入手，引入极限的概念。二、 新课讲授：1. 数列的极限 定义1 按一定顺序排列的一串数， 称为无穷数列，简称数列，记作。通常称为数列第一项，为数列第二项，为数列第项，亦称通项或一般项。例如（1） 数列：，。其通项为；（2） 数列：，。其通项为；（3） 数列：，。其通项为；（4） 数列：，。其通项为。上述各例中我们不难看出，当项数无限增大时，每个数列都有一定的变化趋势。有的无限趋于某一固定常值，有的是在某两个常数间跳动，有的随着项数无限增大而增大等。对于数列是否有一个确定的变化趋势，是否向着某个常值趋近是我们本章节讨论的重点。定义2 对于数列与常数，如果当无限增大时，无限接近于（即对任意小的正数，有），则称常数为数列的极限，记作 或 读作：当趋于无穷大时，趋于,亦称数列收敛于，反之，称数列是发散的。注：对于数列项数来说，只能取正整数。在以后讨论数列极限时，不再说明。讨论引例中数列的敛散性。（1）当无限增大时，无限接近于0,即，故数列是收敛的；（2）当无限增大时，无限增大,即极限不存在，通常也写成，故数列是发散的；（3）当无限增大时，在1和0之间跳跃,即极限不存在，故数列是发散的；（4）当无限增大时，无限接近于1,即，故数列是收敛的；2函数的极限上面我们讨论数列的极限，数列可看作自变量为，定义域为正整数集的函数 。若不囿于数列中自变量只取正整数，扩展自变量的定义，可以由此引出实数自变量的函数的极限概念，以下分两种情况讨论。（1 ）当时，函数的极限定义3 设函数在 （为某个正实数)时有定义，如果当时，相应的函数值无限接近于某一个的常数（即对任意小的正数，有），则称在这个变化过程中极限存在，且是以为极限的，记作 或亦称当时函数收敛于，反之，若极限不存在，则称发散的。如果上述定义中，我们限制取正，取负时，可以引出和时极限定义。定义4 设函数为某个实数)内有定义，如果当时，相应的函数值无限接近于某一个的常数，则称在此变化过程中极限存在，且是以为极限，记作 或定义5 设函数(为某个实数)内有定义，如果当时，相应的函数值无限接近于某一个的常数，记作 或由上述定义，注意到当时，意味必须同时考虑和。从而我们容易得到下面定理： 定理1 极限存在，且等于的充要条件是：与都存在且等于，即（2）当时，函数的极限 满足不等式（其中为大于0的常数）的一切，称为点的领域，记作。它的几何意义为：以为中心，为半径的开区间。对于满足不等式（其中为大于0的常数）的一切，称为点的去心领域，记作。定义6 设函数在点的去心邻域内有定义，如果当时，相应的函数值无限接近于某一个的常数（即对任意小的正数，有），则称在此变化过程中极限存在，且是以为极限，记作 或亦称当时函数收敛于，反之，若极限不存在，则称发散的。在上述定义中，如果我们限制趋近于的方式，即可以引出和相应极限定义。定义7 设函数在点的左半邻域内有定义，如果当时，相应的函数值无限接近于某一个的常数，则称为当趋近于时函数的左极限，记作 或定义8 设函数的右半邻域内有定义，如果当时，相应的函数值无限接近于某一个的常数，则称为当趋近于时函数的右极限，记作 或一般地，左极限和右极限我们又统称为单侧极限，它考虑的是自变量趋近于的方向，所以应注意：左、右极限不能写成和。由上述定义，注意到当时，意味必须同时考虑和。从而我们容易得到下面定理： 定理2 极限存在，且等于的充要条件是：和都存在，且等于，即3极限的性质 在本教材中，凡不标明自变量六种变化过程的，符号均表示适用于 各种情形。下面我们仅以极限形式为代表不加证明给出极限的性质： 性质1(唯一性) 若极限存在，则其极限是唯一的。性质2(有界性) 若极限存在，则函数在某去心邻域内有界。性质3(保号性) 若极限存在，且A0（或A0)，则函数在某去心邻域内恒有0（或0)。推论1 若极限存在，且0（或0)，则恒有A0（或A0)性质4(夹逼准则) 若当时，有，且，则性质5（数列单调有界原理）单调有界数列必有极限。三、例题讲解例1 已知函数，画出函数的图形，求，并讨论是否存在。图1-1解 的图形（图1-4），由图形不难看出：=即：所以，不存在例2 已知函数画出函数的图形，求，并讨论是否存在。图1-2解 的图形（图1-4），由图形不难看出：=即：=所以，存在，且等于0。即例3 解 例4 解 例5 已知函数（图1-6）所示，求，并讨论是否存在。解 根据的分段表达式，并观察图形得：=1图1-3=1即：=1所以，存在，且等于1即=1例6 已知函数画出函数的图形，求，并讨论是否存在。解 的图形（图1-7），且=-1=1即：图1-4所以，不存在.四、课堂练习 练习：1. 2当n时，下列数列极限是否存在，若存在，求其极限值 3计算下列数列极限： 4习题1-4 1、2、3、4五、课时小结： 1.函数的极限（1）极限思想（2）极限的计算方法六、课后作业（习题1-4 5、6、7）七、板书设计：第四节 极 限一、数列极限二、函数极限例题与练习（副板书）八、课后分析：数列是特殊的函数，项数为自变量，项为函数，通项（公式）为函数关系式。其中定义域为正整数集。A 为常数注意：函数在某点处的极限与函数在该点是否有定义、函数值是多少无关.例3,4，5和6说明了下列几种重要现象：(