高中数学教学论文 关于分式和的几个结论的证明及应用.pdf

关于分式和的几个结论的证明及应用 关于分式和的几个结论的证明及应用 在国内外各级各类的数学竞赛中 经常出现一些与分式和有关的不等式的证明问 题 本文总结了关于分式和的几个一般性结论 为了便于结论的证明 我们先将向量数 量积的概念进行合理的推广 1 1 向量数量积概念的推广 向量数量积概念的推广 对于平面向量m a b n c d m 与n 的数量积是 m n m n cos ac bd 为 m 与n 的夹角 其范围是 0 对于三维空间向量 m a b c n d e f 它们的数量积为m n m n cos ad be cf 为 m 与n 的夹角 其范围是 0 m n 分 别 是 向 量m 与n的 模 m 222 cba n 222 fd e 向量数量积的概念可推广到 n 维欧几里得空间 设m x1 x x 2n n y1 y y 2n m 与n 的夹角为 范围是 0 定义m 与n的 数量积为 m n m n cos x1y1 x y x y 22nn m n 分别 是向量m 与n的模 m 22 2 2 1 x n x x n 2 n 2 2 2 1 yyy 则 m n 22 2 2 1 n xx x 2 n y 2 2 y 2 1 y cos 当m 与n平行时 m n R 若 0 则m 与n同向 0 若 0 则m 与n反向 当m n时 m n 0 此时 2 2 向量数量积的应用 2 向量数量积的应用 在本文中 多处用到柯西柯西 CauchyCauchy 不等式 我们先用向量法证明此不等式 a a a b b a a a b b 2 2 b b 2 n a a1b b1 a a2b b2 a anb bn 2 2 1 2 2 2 n 2 1 证明 设m a a a 12n n b b b 12n m与n的夹角为 范围是 0 则m n a1b a2b2 anbn 1 22 2 2 1 n aaa 22 2 2 1n bbb cos 所以 a a a a a a b b b cos 2b2nbn 22 1 2 2 2 n 2 1 2 2 2 n 2 1b1 a a a b b b 下面我们用向量法来证明与分式和有关的几个结论 2 1 2 2 2 n 2 1 2 2 2 n 用心 爱心 专心 1 结论 1 x A 的非负实数 且 k 0 则 已知 x x x 是满足 x x 结论 1 x A 的非负实数 且 k 0 则 已知 x x x 是满足 x x 12n12n n n kx x 1 1 1 1kx x 2 2 1kx x kAn nA 证明 设 n n kx x 1 m 1 1 1kx x 2 2 1kx x n 1 11 kxx 且m 1 22 kxx 1 nn kxx 与 的夹角为n 则m n n n kx x 1 1 nn kxx 1 1 1kx x 1 11 kxx 2 2 1kx x 1 22 kxx x x x 12n n n kx x kx x kx x 111 2 2 1 1 22 2 2 121nn xxxkxxx cos n n kx x kx x kx x 111 2 2 1 1 22 2 2 1n xxxkA cos n x x x 1 1 1 x x x x x x x x 2 1 2 2 2 n 2 1 2 2 2 n12 xn 2 2 1 2 2 2 n n xxx n 2 21 n A2 当且仅当 x x x 取等号 此时 12n m 与 n 同向 即 cos 1 A n n kx x kx x kx x 111 2 2 1 1 n A kA 2 cos n n kx x kx x kx x 111 2 2 1 1 n A kA 2 n n kx x 1 1 1 1kx x 2 2 1kx x n A kA A 2 2 kAn nA 用心 爱心 专心 2 x x 1 y y 1 z z 1 4 3 例 正数 试证明已知x y z 满足 x y z 1 证明 n 3 A 1 k 1 由结论 x x 1 y y 1 z z 1 113 13 4 3 结论 已知 x x 是满足 x x A 的非负实数 且 k 0 kx 0 I 1 2 n 则 x结论 已知 x x 是满足 x x A 的非负实数 且 k 0 kx 0 I 1 2 n 则 x1 2n x x1 2n n n kx x 1 i 1 1 1kx x 2 2 1kx x kAn nA 证明 设 n n kx x 1 m 1 kx 1 1 x 2 1kx 2 x n m 与 n 1 1 1 22 kxx 1 n 1 kxx n 且kxx 的夹角为 则 x x m n x1 2 n n n kx x kx x 11 1 1 1 1 11nn kxxkxx cos n n kx x kx x 11 1 1 22 11nn xxkxx cos 因为 x x x 1 1 1 x x x n x x x 所以 x x x 2 1 2 2 2 n 2 1 2 2 2 n 12n 2 2 1 2 2 2 n n xxx n 2 21 n A2 所以 A n A kA 2 n kx11 1 n x kx x 1 cos n A kA 2 n n kx x kx x 11 1 1 则有 n n kx x 1 1 1 1kx x 2 2 1kx x n A k A A 2 2 kAn nA 例2 已知x y z 是满足x y z 1的正实数 证明 x x 1 y y 1 z z 1 2 3 用心 爱心 专心 3 x x 1y y 1z z 1 113 13 2 3 证明 k 1 论 n 3A 1 由结2 例 3 已知非负实数 i 1 2 3 n 满足 a a 1 求 aia1 2n 121 1 n n aaa a n aaa a 32 1 1 n aaa a 31 2 1 的最小值 解 原题可以转化为求 第 23 届 IMO 试题 1 2a 1 a 2 2a 2 a n n a 2 a 的最小值 为 n n a a 2 因 1 1 2a a 2 2 2a a 2 1 1 1 a 2 1 1a 2 2 2 1 1a a n n a a 2 1 1 n n a a 2 1 1 又 A 1 k 2 1 所以由 结论有 1 1 a 2 2 2 1 1a a 2 1 1a 1 2 1 1 n n 12 n 2n 从而 1 1 2a a 2 2 2a a n n a a 2 n n a a 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1a a 2 2 1 2 1a a 12 2 n n 12 n n 2 1 例4 已知 0 i 1 2 3 n 且 满足 a a S 证明 aia1 2n 1 2 n n n aaa S 31 121 n aaa S n aaa S 3 32 证明 原不等式可以转化为证明以下不等式 1 1 aS a 2 aS 2 a n aS n a 1 n 2 n n n aS a 即 1 1 a 2 2 aS a 1 2 n n n 1 n n aS 此变式为 1979 年英国数学竞赛试题 用心 爱心 专心 4 n n aS a n n a S a 1 1 因为 1 1 aS a 2 2 a aS S 1 1 1 a 1 1a S 2 2 a 1 1a S 又 A k n n a S a 1 1 S 1 所以 1 1a 1 1 S a 2 1a 2 1 S a 1 n nS S Sn nS 1 所以 n n aS a n n a S a 1 1 S 1 1 1 1 1a S a 2 2 1 1a S a 1 1 aS a 2 2 aS a S 1 1 n nS 1 n n n n aS a 1 1 aS a 2 2 aS a 1 2 n n 则 即 1 2 n n n aaa S 31 121 n aaa S n aaa S 3 32 结论 3 已知 x x 是满足 x x x A 的非负实数 且 kx 0 i 1 2 n 则 x结论 3 已知 x x 是满足 x x x A 的非负实数 且 kx 0 i 1 2 n 则 x1 2n12n n n kx x 1 2 i 1 2 x1 1kx 2 2 x kAn A 2 2 1kx 证明 设 n n kx x 1 m 1 1 1kx x n 1 1kx n kx 1 且与 的夹角为m n n n kx x 1 则m n 1 1 1kx x n kx 1 1kx 1 x x1 x 2n n n kx x kx x1 11 2 1 2 1n xx coskn 即 A n n kx x kx x 11 1 1 22 n n kx x 1 2 所以 1 2 1 1kx x 2 2 2 1kx x kAn A 2 kAn 例 5 已知正数 x y z 满足 x y z 1 试证明 x x 1 2 z z 1 2 y y 1 2 2 1 证明 因为 A 1 k 1 n 3 所以由结论 3 有 x x 1 2 z z 1 2 113 12 y y 1 2 2 1 用心 爱心 专心 5 用心 爱心 专心 6 结论 4 若非负实数 x x 满足 x x x A 且 x 0 i 1 2 n 则 x结论 4 若非负实数 x x 满足 x x x A 且 x 0 i 1 2 n 则 x1 2n12n n n x x 1 3 i 1 1x 3 1 x 2 1x 3 2 x nAn A 2 3 证明 设 n n x x 1 3 m 1 1x 3 1 x 2 1x 3 2 x n 1 11 xx 且m 与 n 1 22 xx 1 nn xx 的夹角为 n1 3 n x x 1 3 1 x 则m n 1 n x n x x 1 1 x 1 x 1x 2 1 x 2 n n n x x x x 1 3 1 3 1 1 2 nn xxx 2 11 x cos n n xx 1 3 xx 1 1 3 1 22 1n xxA x x 2 1 x 2 2 2 n n xxx n 2 21 n A2 x x x n n x x x x 11 3 1 3 1 n A A 2 2 1 2 2 2