三元一次方程组的解法举例.doc

三元一次方程组的解法举例 【目的与要求】 1.了解三元一次方程组的概念;熟练掌握简单的三元一次方程组的解法;能选择简便,特殊的解法解特殊的三元一次方程组. 2.通过用代入消元法,加减消元法解简单的三元一次方程组的训练及选择合理,简捷的方法解方程组,培养运算能力. 3.通过对方程组中未知数系数特点的观察和分析,明确三元一次方程组解法的主要思路是 消元,从而促成未知向已知的转化,培养和发展逻辑思维能力. 4.通过三元一次方程组消元后转化为二元一次方程组,再消元转化为一元一次方程及将一些代数问题转化为方程组问题的方法的学习,培养初步运用转化思想去解决问题,发展思维能力. 【知识要点】 1.三元一次方程组的概念: 含有三个未知数,每个方程的未知项的次数都是1,并且共有三个方程,这样的方程组叫做三元一次方程组. 例如: 都叫做三元一次方程组. 注意:每个方程不一定都含有三个未知数,但方程组整体上要含有三个未知数. 熟练掌握简单的三元一次方程组的解法 会叙述简单的三元一次方程组的解法思路及步骤. 思路:解三元一次方程组的基本思想仍是消元,其基本方法是代入法和加减法. 步骤:利用代入法或加减法,消去一个未知数,得出一个二元一次方程组; 解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值; 将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程,求出第三个未知数的值,把 这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解. 灵活运用加减消元法,代入消元法解简单的三元一次方程组. 例如:解下列三元一次方程组 分析:此方程组可用代入法先消去y,把代入,得, 5x+3(2x-7)+2z=2 5x+6x-21+2z=2 解二元一次方程组,得: 把x=2代入得,y=-3 例2. 分析:解三元一次方程组同解二元一次方程组类似,消元时,选择系数较简单的未知数较好.上述三元一次方程组中从三个方程的未知数的系数特点来考虑,先消z比较简单. 解:+得,5x+y=26 +得,3x+5y=42 与组成方程组: 解这个方程组,得 把代入便于计算的方程,得z=8 注意:为把三元一次方程组转化为二元一次方程组,原方程组中的每个方程至少要用一次. 能够选择简便,特殊的解法解特殊的三元一次方程组. 例如:解下列三元一次方程组 分析:此方程组中x,y,z出现的次数相同,系数也相同.根据这个特点,将三个方程 的两边分别相加解决较简便. 解:+得:2(x+y+z)=30 x+y+z=15 再-得:z=5 -得:y=9 -得:x=1 分析:根据方程组特点,方程和给出了比例关系,可先设x=3k,y=2k,由得:z=y,z=2k=k,再把x=3k,y=2k,z=k代入,可求出k值,进而求出x,y,z的值. 解:由设x=3k,y=2k 由设z=y=2k=k 把x=3k,y=2k,z=k分别代入,得 3k+2k+k=66,得k=10 x=3k=30 y=2k=20 z=k=16 2x+y-z=2 x+2y-z=5 x-y+2z=-7 2x+y-z=2- x+2y-z=5- x-y+2z=-7- -:x-y=-3- -:x+y=1- 解得:x=-1,y=2 再带入原方程组中的任一方程,解得z=-21.汽车在平路上每小时行30公里，上坡时每小时行28公里，下坡时每小时行35公里，现在行驶142公里的路程用去4小时三十分钟，回来使用4小时42分钟，问这段平路有多少公里？去时上下坡路各有多少公里？解：去时上坡x平路y下坡z x+y+z=142 x/28+y/30+z/35=4.5 z/28+y/30+x/35=4.7 答案：x=42 y=30 z=70 2.某校初中三个年级一共有651人，初二的学生数比初三学生数多10%，初一的学生数比初二的学生数多5%。求三个年级各有多少人？解：初一：x 初二：y 初三：z x+y+z=651 y=1.1z x=1.05y 答案：x=231 y=220 z=200 3.x+y=10 2x-3y+2z=5 x+2y-z=3解：x+y=10 -（1） 2x-3y+2z=5 -（2） x+2y-z=3-（3） （3）*2+（2）得 4x+y=11-（4） （4）-（1）得 3x=1 x=1/3 将x=1/3代入（1），解得 y=29/3 将x=1/3，y=29/3代入（3）解得 z=50/3 4.某校初中三个年级共有651人，初二的学生数比初三的学生数多10%，初一的学生数比初二的学生数多5%，求这三个年级各有多少人？解：解设初1 2 3人数分别为X Y Z X+Y+Z=651 Y=110%Z X=105%Y （解的过程中一定要换成Z来运算） 231/200 Z + 220/200 Z +200/200 Z=651 Z=200 Y=220 X=231 5.在代数式ax的平方+bx+c里,当x=1,2,-3时代数式的值分别是0，3，28，则这个代数式是？解：根据题意得到方程组： a+b+c=0 方程1 4a+2b+c=3 方程2 9a-3b+c=28 方程3 方程2-方程1,得: 3a+b=3 方程3-方程1,得: 5a-5b=25,即:a-b=5 得到新方程组： 3a+b=3 a-b=5 解方程组得: a=2 b=-3 把a=2,b=-3代入原方程得：c=1 所以原方程组解为：a=2,b=-3,c=1 6。在等式y=a*x的平方+bx+c中，当x=1时,y=-2;当x=-1时，y=20;当x=3/2与x=1/3时，y的值相等，求a,b,c的值解：当x=1时,y=-2;当x=-1时，y=20分别列出方程1.2 a+b+c=-2 .1 a-b+c=20 .2 a+b=0 .3 所以b=-11 a=11 c=-2 7.36块砖，36人搬，男搬4女搬3，两个小孩搬一块。问男人，女人，小孩各多少人？解： 设男的有a人，女的有b人，小孩有c人，依题意，列方程组得 4a+3b+0.5c=36， a+b+c=36. 求这个方程的整数解， 消去c,得7a+5b=36, 7a只能取7，14，21，28， 5b只能取5，10，15，20，25， 这些数中，只有21+1536，没有其它的情况了， 此时a=3，b=3，c=30. 即男3人，女3人，小孩30人.8.一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位、十位的数字大2，个位十位百位上数字的和是14，求这个三位数解：设个位数字 x