为什么在高中数学课程中加入算法的内容.doc

42、为什么在高中数学课程中加入算法的内容？（1） 时代的需求 20世纪数学发生了很大的变化，有两个重要的标志，一个是数学的应用，这一点在前面我们已经作了介绍。另一个方面，就是数学与计算机科学的同步发展。数学对计算机科学发展的作用是毋庸置疑的，计算机之父有两个人，一个是冯.诺伊曼，一个是图灵，他们都是伟大的数学家。对于计算机来说，无论是软件还是硬件都离不开算法的设计，算法严格地说是数学的一个分支，它有自己的体系，它渗透到很多数学分支，尤其是应用数学分支。计算机的应用也是一样的，它离不开程序设计，程序设计就是算法设计。从另一个角度，计算机的飞速发展对数学的发展起了极大的推动作用，它开拓了数学研究的领域，丰富了数学研究方法，加强了数学与其他学科的联系，拓展了数学的应用范围。所有这一切，算法起了重要的作用。了解算法的基础知识和基本应用，对一个人的发展是非常重要的。（2） 与传统的内容有密切的联系算法并不是一个十分陌生的东西，虽然，在传统的数学内容中没有出现过这个名称，但是，它的思想反复体现在传统的数学内容中，可以说渗透到大部分内容之中。例如，求解一元一次方程，一元二次方程，二元一次方程组，求解不等式，求解线性规划问题，几何作图，几何证明，等等，都可以说是算法问题。了解了算法的基本知识，会对这些问题又一个新的认识。（3） 能引起学生的兴趣算法的特点是可以操作、可以检验，在条件允许的学校可以让学生在计算机上实现，这些都是受学生欢迎的，它会使学生产生成就感。四个实验省的很多教师告诉我们，学生对算法很喜欢，容易教，学生爱学，学生还有很多的创造；有一些学生过去不太喜欢数学，通过学习算法，经过操作，验证，渐渐地喜欢了数学，数学成绩也有了一定的提高。（4） 对教师没有太大的难度对教师来说，过去对算法不太熟悉，在大学的学习中没有专门学习过算法的知识，有一定的畏惧，这是很正常的。实际上，算法的内容对教师来说，难度不大，经过培训，不会有困难，有些地、市、县教研室采取了一些有效的措施，例如，分成小组，分工备课，集体研讨，教案共享，很好地解决了这个问题。很多教师告使我们，教了一遍下来，心里就踏实了，积累了一些经验，我们正在及时地总结这些经验，将通过一定方式，告诉大家。（5） 会对未来的数学课程产生很大的影响算法进入高中，这是一件大事，会产生一系列连锁的反映。我们估计下面的一些情况会引起数学教育工作者的关注和研究。我们已经了解到有一批硕士、博士研究生开始研究这些问题。这些研究成果一定会反映在下一轮数学课程改革中。1） 大学课程设计中，会对算法的内容给与更多的关注。有一些学校已经开设“算法”的选修课；有的学校把“算法”和相关的课程有机地结合起来，例如，计算方法课程融入的大量的算法内容；有一些学校在尝试把“算法”内容与计算机程序设计有机的结合起来。“算法”在大学数学教育中会成为关注的问题之一。在师范大学数学课程中必然会给与更为特别的关注。2）“算法”的内容会以某种方式渗透到初中和小学，这一点是需要认真研究的课题。3）“算法”的内容进入高中，给出一个明确的导向，数学教育将更加关注“通性通法”，强化基本技能（skill）,淡化技巧（trick）。4）“算法”是培养逻辑推理能力的非常好的载体。它与平面几何有很多相同的东西。例如，不需要很多的准备知识；可以产生丰富的问题；这些问题会很有趣的，也会有一定的挑战性。另外，还有几点好处是平面几何所不具备的。例如，算法的思想方法会渗透到几乎每一个数学内容中，不仅是中学，在大学数学教育中依然会发挥重要的作用。但是，平面几何在后继学习中有用的方法和结果不是很多的。又例如，“算法”强调了一种构造性的证明，突出“实现”，这种思想在数学上受到越来越大的重视，尤其在计算机的作用越来越大的时代更加重视。“算法”这种证明方式是通过框图的形式展示，一个问题的算法框图可以把解决这个问题的过程非常清晰的、非常直观的、非常简洁的、非常准确的表示出来。这对学习和掌握数学的思维过程是非常有用的。对“算法”在数学教育中的地位和作用应该成为数学教育研究的重要方面。43、如何理解算法在高中课程中的定位？在高中数学课程中，算法内容的设计分为两部分。一部分主要介绍算法的基础知识，可以称作算法的“三基”：算法基本思想，算法基本结构，算法基本语句。通过一些具体的案例介绍算法的基本思想，使学生了解：为了解决一个问题，设计出解决问题的系列步骤，任何人实施这些步骤就可以解决问题，这就是解决问题的一个算法。这是对算法的一种广义的理解。对算法的理解，更多地是与计算机联系在一起，计算机可以完成这些步骤。算法的基本结构一般有三种：顺序结构，分叉结构，循环结构。前两种结构很容易理解，循环结构稍微有点难，这里用到函数思想，难在理解反映循环过程的循环变量。在教学过程中，一定要通过具体的案例，结合具体的情境引入概念，会使问题变得很简单。介绍算法语句的时候，要区分算法语言和基本的算法语句。我们知道，现在使用的算法语言是很多的，例如，basic 语言，q-basic 语言，c-语言，等等。在高中的数学课程中，不要求介绍算法语言，仅仅需要了解基本语句，例如，输入语句，输出语句，赋值语句，条件语句，循环语句，等等。在不同的语言中，这些语句的表示可能不一样，数学课程要求采用公认的统一表示，称为伪代码。很容易把伪代码翻译成任何一种算法语言。描述算法有三种语言：自然语言、框图语言、基本算法语句。算法的另一部分设计，是把算法的思想融入相关数学内容中。实际上，算法思想是贯穿在高中数学课程始终的基本思想。例如 ，二分法求方程的解；点到直线的距离、点到平面的距离、直线到直线距离；立体几何性质定理的证明过程；一元二次不等式；线性规划；等等内容中，都运用了算法思想。用算法思想学习和认识数学对于提高数学素养是很有用的，希望老师予以重视。44、如何理解赋值？赋值是算法中的难点之一， 理解赋值对于理解算法是非常重要的。赋值就是把数值赋予给定的变量。例如，a:=5,就表示变量a被赋予的值是5，即a=5，这个被赋值的变量可以与其他的值进行运算。对于被赋值的变量a，还可以赋予其它的值取代原来的值。我们可以用磁带录音来比喻赋值，在我们录音时，是把磁带上旧的录音材料冲掉之后，才能把新的录音材料加载上去。同样的道理，我们这里的赋值也是先把原来的值清零之后，再把新的值赋上去。下面我们通过一个例子来说明如何设置变量和给变量赋值。 例：设计一个算法，从5个不同的数中找出最大数。 解：记这5个不同的数分别为a1,a2,a3,a4,a5,算法步骤如下： 1、比较a1与a2将较大的数记作b. （在这一步中，b表示的是前2个数中的最大数） 2、再将b与a3进行比较，将较大的数记作b. （执行完这一步后，b的值就是前3个数中的最大数） 3、再将b与a4进行比较，将较大的数记作b. （执行完这一步后，b的值就是前4个数中的最大数） 4、再将b与a5进行比较，将较大的数记作b. （执行完这一步后，b的值就是前5个数中的最大数） 5、输出b，b的值即为所求得最大数。 分析：上述算法的4个步骤中，每步都要与上一步中得到的最大数b进行比较，得出新的最大数。b可以取不同的值，b就称之为变量。在第1步到第4步的算法过程中，我们都把比较后的较大数记作b，即把值赋予了b，这个过程就是赋值的过程，这个过程有两个功能，第一，我们可以不断地对b的值进行改变，即把数值放入b中；第二，b的值每变化一次都是为下一步的比较服务。45、如何理解函数在循环结构中的作用？ （1）循环结构是算法的一种基本结构。例如，设计算法，输出1000以内能被3和5整除的所有正整数。解决这个问题，我们首先要引入变量a表示待输出的数，则a=15n (n=1,2,3,66).n从n从1变到66，反复输出a，就能输出1000以内的所有能被3和5整除的正整数。像这样的算法结构称为循环结构，其中反复执行的部分称为循环体。变量n控制着循环的开始和结束，称为循环变量。上述例子的算法中，需要反复进行相同的操作，如果按照顺序结构来描述，算法显得十分繁琐，不利于阅读，如果采取循环结构来描述，算法就显得简洁、清楚。所以，循环结构是一种简化算法叙述的结构。（2）循环结构是理解算法的另一个难点，难点在于对于循环变量的理解。循环结构中的循环变量分为两种形式，一种是控制循环次数的变量，例如，输出1000以内能被3和5整除的所有正整数这个循环结构中，n就是控制循环次数的循环变量。另一种是控制结果精确度的变量，例如用二分法算法求方程f(x)=0在区间0,1上的一个近似解的流程图，要求精确度为。在这个算法过程中，精确度就是控制结果精确度的循环变量。 循环变量使得循环体得以“循环”，循环变量控制了循环的“开始” 和“结束”，是刻画循环结构的关键。（3）循环结构中循环变量体现了函数的思想。“循环”的过程是依赖于循环变量取值的变化而一步步实现的，这种依赖关系体现了函数的思想。在算法设计中，选择适当的循环变量是得到好算法的关键。46、如何理解周期现象与三角函数的关系？（1）我们生活在周期变化世界中，大到地球、月亮，小到原子、电子都在周期地运动，时间在年复一年，月复一月，日复一日地变化，所有的生物都会生老病死，等等。研究周期变化规律是我们必须直面的问题。周期函数是定量地反映周期变化规律的基本概念，简单地说经过一定数量重复原来的变化。即 f (x+k) = f (x)时，函数y =f (x) 是一个周期函数。在教学中，教师应指导学生收集和整理其他学科、日常生活中的周期变化的实例。物理、化学、生物、地理等学科中，有很多生动的周期变化的实例，通过这些实例体会周期现象的规律性，对于理解相应学科的内容很有帮助，例如，交流电的变化等等。（2）三角函数本身是最基本的周期函数，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们是描述周期现象的一个重要工具，其中正弦函数和余弦函数更为重要，很多周期现象的规律都可以由它们直接描述。正如前面所说，三角级数可以表示的函数范围是很大的。三角级数的理论产生了很多重要的数学和应用数学的分支，例如，调和分析，小波分析，等等。小波分析已经成为图像压缩技术的基础，有巨大的应用前景。（3）在传统的数学课程中，三角学的内容占有很大的成分，早期三角学不是一门独立的学科，而是依附于天文学。直到15世纪，雷格蒙塔努斯在1464年完成的论各种三角形，这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作全书共5卷，前2卷论述平面三角学，后3卷讨论球面三角学，是欧洲传播三角学的源泉雷格蒙塔努斯还较早地制成了一些三角函数表。三角学一词的英文是，来自拉丁文最先使用该词的是文艺复兴时期的德国数学家皮蒂斯楚斯（，15611613），他在1595年出版的三角学：解三角形的简明处理中创造这个词其构成法是由三角形（）和测量（）两字凑合而成要测量计算离不开三角函数表和三角学公式，它们是作为三角学的主要内容而发展的 1722年英国数学家棣莫弗（ ）得到以他的名字命名的三角学定理 （），并证明了是正有理数时公式成立。他的工作是三角学的研究进入了新的时代。1748年欧拉（）证明了是任意实数时公式也成立，他还给出另一个著名公式 。 这个工作对三角学的发展起到了重要的推动作用。 近代三角学是从欧拉的无穷分析引论开始的他定义了单位圆，并以函数线与半径的比值定义三角函数，他还创用小写拉丁字母、表示三角形三条边，大写拉丁字母、表示三角形三个角，从而简化了三角公式使三角学从研究三角形解法进一步转化为研究三角函数及其应用，成为一个比较完整的数学分支学科而由于上述诸人及19世纪许多数学家的努力，形成了现代的三角函数符号和三角学的完整的理论传统的三角学主要研究测量、和三角形内的各种边角关系，反映“静态的关系”，传统三角学的内容随着时代的发展逐步消弱。在高中课程中，解三角形是属于三角学的内容。三角学与三角函数的定位不同，三角函数是动态的，研究周期变化。成为了“分析学”的主要内容。47、初中、高中三角函数有什么差异？（1）初中讲授的三角函数是静态的，主要讨论直角三角形的边角关系，通过边的比值反映角的大小，而不是从函数的角度来认识。正弦、余弦、正切都是在给定直角三角形中定义的，因此角度只限制在0到90度。可以说，解直角三角形是初中这部分内容的定位。（2）高中是从函数的角度来研究三角函数的，因此它强调的是变化规律。如何研究变化的规律？我们以正弦函数为例，有以下几个过程是需要特别注意。从一般角的概念给出正弦函数的定义；从单位圆正弦函数的图像；从正弦函数的图像理解反映正弦函数变化的基本性质：周期（频率）、单调区间、零点、极值点等；从研究正弦函数的两个基本图形：单位圆、正弦函数图像正弦函数的基本公式：例如，sinx = sin(x+ 2n)，等等；从对基本正弦函数y =sinx理解影响一般正弦函数y = Asin(x+)变化的参数：周期（频率），位相，振幅A等；从对一般正弦函数y = Asin(x+)变化的参数初步理解深入认识它们几何意义和物理意义。等等。对上述过程的理解并不完全在正弦函数学习中完成的。教师应该把三角函数的学习与高中课程其他内容学习有机地结合起来，例如，与物理的电学知识，与三角恒等变换，等等内容结合起来。（3）在高中三角函数的学习中，有两件事是非常重要的，一个是图形直观，一个是数形结合。例如，学习正弦函数时，图形直观通过两个图体现，单位圆，和正弦函数图像，两个图是贯穿始终的。单位圆在以往的教学中，没有引起足够的重视。欧拉在三角函数领域的工作就是从单位圆开始的，单位圆不仅仅是为说明定义和绘制图像，在学习三角函数的整个过程中，它都会为我们提供很好的几何直观。在讲授三角函数时，教师很重视数形结合，这是很好的教学传统。48、为什么弧度比角度难理解？ 有人说弧度是“糊涂”，为什么弧度比较难理解？(1) 角的大小是一个量，就像长度，重量，速度，温度等等量一样。物理中，我们知道，一个量的度量常常用不同的方法来测量，不同的测量方法最基本的差异是使用不同的测量单位。例如，温度有两种我们熟悉的度量单位，摄氏和华氏，中国人习惯使用摄氏温度，西方则习惯使用华氏温度，很多人甚至并不知道摄氏温度和华氏温度的单位是如何确定的。“角度”容易被接受的原因之一是用“自己”测量“自己”，并且日常生活中我们经常用这个单位，久而久之，就不太容易接受其他的角度单位了。（2）用“弧度”来度量角，需要一个过程。首先，需要确定长度单位，用这个长度单位做一个圆，我们知道圆弧是有长度的，例如，整个圆周的长度是2。接着用长度单位来测量弧的长，我们把长度为1的弧所对应的角作为角的弧度单位，称为一弧度角，这样我们就确定了度量角的新的单位。最后，我们还必须说明：选择的长度单位不同，但得到的一弧度角都是相同的，弧度指的是一个比值，它不依赖于圆半径的大小，这需要用到相似的概念。即，需要证明任何两个圆是相似的，这要用到极限的思想。对于这一点在中学是不要求的。（3） “弧度”与“角度的区别在于，角度是“自己”量“自己”，弧度是用“其它的东西”量角，用“长度”量角，这是容易造成不习惯的地方。也正是由于这一点，弧度给我们带来了很多好处。当我们用三角函数刻画很多自然现象时，例如，y=sinx，在这里，x不仅可以是角度，也可以是时间，或是其他什么量。在计算上也可以带来很大的方便，比如，当x趋于0时， = 1，我们知道这是非常重要的一个极限，它确保了三角函数的可导性。这个结果成立是由于我们使用了弧度，弧度把长度的单位和角度的单位统一起来。49、如何用解析几何思想理解三角函数定义？（1）在前面我们强调了单位圆在学习三角函数中的作用。首先，单位圆的作用反映在对任意角的理解，从锐角，直角，钝角，平角，周角，一直到任意角，它们会很清晰地反映在单位圆中。 （2）一般三角函数的定义是借助于单位圆给出的。如图所示：在单位圆中，给定一个角x，角的终边与单位圆相交于一点M，这一点M的坐标（a，b）就完全地确定了所有三角函数的值。即sinx = b，cosx = a，tanx = （a不为0），等等。点M的坐标蕴含着丰富的含义，包括代数的和几何的含义。如，b是一个数，它的符号表示点M所处的位置，当b大于0，点M处于一或三象限，当b小于0，点M处于二或四象限，b等于0，点M处在y轴上；这样，a、b都大于0，则M点位于第一象限，角是第一象限的角。数形结合在这里体现得十分清楚，正弦函数的几何意义就是点M纵坐标b的几何意义。它较正弦函数线更直接、更准确，因为，正弦函数线很难体现正负关系。对于正弦、余弦函数作图来说，运用解析几何的坐标思想也要方便一些。对正切函数，需要做一个转化，把点M（a，b）转换为点（1，），这个点的纵坐标就直接、准确的反映了正切的几何意义。而正切函数线很难体现正负关系。(3) 三角函数线的使用是历史的原因造成的，在前面介绍了一点历史，早期的三角学是“静态”数学，函数思想、解析几何的思想的产生比“静态”的三角学要晚。在现代的数学教育中，应该强化解析几何的思想，在一些教材中，淡化了三角函数线，强调了解析几何的思想，这将会变成趋势。50、在中学数学中为什么要引入向量？有人说，中学数学中引入向量，用向量来处理几何问题，是因为用向量比用综合几何的方法简单、容易。这种看法是不全面的。虽然有许多问题，用向量处理确实比用综合几何方法简单，但也可以找到用综合几何的方法处理更简单的问题。向量之所以被引入到中学，这是因为向量在数学中占有重要的地位。向量作为一个既有方向又有大小的量，在数学中是一个最基本的概念。在现代数学的发展中起着不可替代的作用。是代数、几何、泛函分析等基础学科研究的基本内容。向量是代数的对象。运算及其规律是代数学的基本研究对象。向量可以进行多种运算，如，向量的加法、减法，数与向量的乘法（数乘），向量与向量的数量积（也称点乘），向量与向量的向量积（也称叉乘）等。向量的这些运算包含了三种不同类型的代数运算。向量的运算具有一系列丰富的运算性质。与数运算相比，向量运算扩充了运算的对象和运算的性质。向量是几何的对象。向量可以用来表示空间中的点、线、面。如果，以坐标系的原点为起点，向量就与空间中的点建立了一一对应关系；一点和一个非零向量可以唯一确定一条直线，它通过这个点且与给定向量平行；同样，一个点和一个非零向量，可以唯一确定一个平面，它过这个点且与给定向量垂直。在高维空间中，这种表示十分有用，还可以表示曲线，曲面。因此，向量可以描述、刻画和替代几何中的基本研究对象点、线、面，它也是几何研究的对象。向量是几何研究对象，这种认识很重要。在立体几何中，可用向量来讨论空间中点、线、面之间的位置关系；判断线线、线面、面面的平行与垂直，用向量来度量几何体：计算长度、角度、面积等。随着数学视野不断拓展，这样的观念会给我们越来越多的用处。向量是沟通代数与几何的一座天然桥梁。它不需要什么过渡。在数学中，我们有两座沟通代数与几何的桥梁，一是向量，一是坐标系。坐标系依赖于原点的选择。向量的优越性在于可以不依赖于原点，空间中每一点的地位是平等的，它不依赖坐标，因此，它比坐标系更一般、更重要。一方面，通过向量的运算可以解决几何中的问题。比如，两直线是否垂直的问题，就可以转化为两个向量的点积是否为零的问题，这就实现了利用代数方法来解决几何问题。另一方面，对于代数问题，通过向量可以给予几何的解释。比如，两个向量的点积为零，那么就说明这两个向量所表示的直线是相互垂直的等等。向量具有丰富的物理背景。向量是连接数学和物理的一个桥梁。 物理学研究的基本量之一是矢量。物理学中的矢量既有大小和方向，又有作用点。如力、位移、速度、加速度、动量、电场强度等都是物理学中研究的矢量，这些量贯穿于物理学的许多分支。矢量是现实存在的，在日常生活中可以观察、感受到的。物理中的矢量是数学中的向量的现实原型，为数学中的向量提供了丰富的物理背景。物理中的矢量与向量的差别只在于，矢量不但有大小和方向，而且还要考虑作用点；而向量和作用点无关。向量是重要的数学模型。如果，用V表示向量的集合，则V对于向量的加法（+）运算满足结合律、交换律、有零元（存在零向量），有负元（每个向量都有与其方向相反、长度相等的向量），因此，V对于向量的加法运算构成交换群，即（V，+）是交换群。V中向量的加法、实数域R中的实数与向量的乘法（数乘.）运算满足线性空间的8条基本性质，因此，V、R对于对向量加法、数与向量乘法运算构成线性空间，即(V,R,+,.)是线性空间（向量空间）。V中向量的数量积运算可以刻画向量的长度，给V中的向量赋以长度（向量的长度用表示）后，V、R对于向量的加法、实数与向量的乘法（数乘.）运算构成线性赋范空间，即 (V， R，+，.，)是一个线性赋范空间。群、线性空间、线性赋范空间都是重要的数学模型，也是抽象代数、线性代数、泛函分析的重要研究对象。因此，向量为理解抽象代数、线性代数、泛函分析提供了基本的数学模型。向量有着广泛的应用。向量不仅在物理中有着大量的应用，而且高维向量被广泛地用来描述多指标的对象，从而在各个领域，包括社会科学，都有着广泛的应用。向量简单易懂。向量被引入中学还因为它适合中学生的认知水平。向量的概念有着清楚的物理背景，学生很容易懂；向量的运算并不复杂，学生掌握起来没有困难。学习向量非常有助于培养学生的数学能力和应用数学解决实际问题的能力。51、向量对于学生理解数学运算有哪作用？运算是数学学习的一个基本内容。运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索。从小学开始，学生所接触的运算对象就在不断地扩展，从整数到分数，从正数到负数，从有理数到实数、复数，从数到字母、到多项式等。数运算，字母、多项式运算，向量运算，函数、映射、变换运算，矩阵运算等是数学中的基本运算。从数运算到字母运算，是运算的一次跳跃。数运算可以用来刻画具体问题中的数量关系，解决一个一个的具体问题。而字母运算则可以刻画一类问题中的蕴涵的规律，解决一类问题。例如，a+(b+c)=(a+b)=c,就刻画了数运算的一个基本规律结合律。同时，字母运算也是表达函数关系、刻画普遍规律的工具。从数运算进入字母运算，是学生数学学习中的一次质变，学生对运算的理解也会产生一个跳跃。从数运算，到向量运算，是运算的又一次跳跃。在代数中，对于三个集合A、B、C，称映射ABC为AB到C的代数运算，特别地，称映射AAA为A中的二元代数运算。数运算、多项式运算都是AAA型的代数运算，数与多项式的运算属于ABB型的代数运算。向量的加法、减法运算的特征是两个向量通过加法、减法运算得到第三个向量，即属于AAA型的代数运算；向量的数乘运算的特征是一个数与一个向量通过数乘运算得到一个向量，即属于ABB型的代数运算；向量的数量积运算的特征是两个向量通过数量积运算得到一个数，即属于AAB型的代数运算。向量运算不同于数的运算，它涵盖了三种类型的代数运算。与数运算相比，向量运算扩充了运算的对象和运算的性质。向量的数量积运算可以刻画向量的长度，从而使得我们可以通过代数运算刻画长度、面积、体积等几何度量问题。向量运算更加清晰地展现了三种类型的代数运算的特征以及代数运算的功能，同时，向量运算具有与数运算不同的一些运算律，这对于学生进一步理解其它数学运算、发展学生的运算能力具有基础作用。因此，从数运算到向量运算，是学生数学学习中的又一次质变，学生对运算的理解也会更上一层楼。在以后的学习中，运算对象还要进一步拓展。向量的学习，为学生今后进一步学习其它数学运算，体会数学运算的意义以及运算在建构数学系统中的作用，奠定了基础。52、如何理解向量与物理中矢量的关系？数学与物理从本原上看有着天然的联系。物理学研究的基本量之一是矢量。物理学中的矢量既有大小和方向，又有作用点。例如，力、位移、速度、加速度、动量、电场强度等都是物理学中研究的矢量，这些量贯穿于物理学的许多分支。物理中的矢量是有固定起点（作用点）的有向线段，数学中的向量没有固定起点（作用点），是自由矢量。研究矢量既要用到有向线段，也要用到矢量的运算。数学中的向量及其运算是物理中矢量及其运算的抽象。如，两次接连的位移确定一个新的位移，这正是向量加法的原型之一；力所做的功是由力与位移两个矢量所唯一确定的一个数，这正是向量数量积的原型之一。因此，向量体现了数学与物理的天然联系。53、如何把握向量的教学？基于高中数学新课程中对向量的定位，应从以下几个方面来把握向量的教学。（1）突出物理背景向量具有丰富的物理背景。力、位移、速度、加速度等物理量是向量的原型，这些物理量是学生在日常生活中能够经常感受到的，为理解向量的概念、向量的运算提供了直观、现实的背景。在教学中，应注重突出向量的这些物理背景。例如，在引入向量的加法运算时，可以位移的合成为背景，这种方式比较直观。假设一个人从A位移到B（可表示为），再从B位移到C（可表示为），则这两次位移的结果就产生了从A到C的位移（可表示为）（如图1），这个位移是两次位移确定的总位移，把它看成前两个位移的和是自然的。这就引入了向量的加法以及加法的三角形法则，有了三角形法则很容易引出平行四边形法则；在引入数与向量的乘法运算时，可以位移的倍数或速度的倍数为背景。位移与速度的倍数仍然表示位移与速度，这样可使学生对于数与向量的数乘运算的结果仍然是一个向量有直观的认识；在引入向量的数量积运算时，可以力做的功为背景。一个物体受到力F的作用，如果在力的作用方向上发生一段位移S，我们就说这个力对物体做了功。如果力F的方向与位移S的方向相同，则功的大小就等于力F的大小与位移S大小的乘积，即 。如果力F的方向与位移S的方向成角（如图2所示），则与位移S方向相同的分力为，物体在力F1的方向上产生了位移S，因而对物体做的功为。总之，力所做的功是一个标量（即用一个数来表示），它是由两个向量力和位移所决定的，这正是向量的数量积的意义；在引入向量的一些运算律时，也可以以力做功为背景。当力扩大倍时，力所做的功也相应扩大倍，两个力的合力所做的功等于这两个力分别所做的功的和。由此可引出，向量的数乘运算与数量积运算满足结合律：（a）b =（ab），向量的数量积运算对于向量的加法运算满足分配律：a（b+c）= ab + a c。图2图1（2）注重向量的代数性质及其几何意义向量的代数性质主要表现在向量的运算及其运算律方面。运算是贯穿于中学数学中的一条主线，学生最先学习的运算是数的运算，向量的运算与数运算既有联系又有区别。例如，向量的加法运算与数的加法运算从代数运算的角度看是一致的，都是AAA型的运算。但是，向量的加法运算的法则是三角形或平行四边形法则，这与数的加法运算的法则不同。向量的数乘运算不同于数的乘法运算，它扩展了运算的对象与运算的类型，属于ABB型的运算。向量的数量积运算也不同于数的乘法运算，它是AAB型的运算。 在向量的教学中，应关注运算的意义和运算律。运算与运算律赋予向量集特定的结构，产生群、线性空间、线性赋范空间等不同的数学模型。例如，向量集V对于向量的加法（+）运算满足结合律、交换律、有零元（存在零向量），有负元（每个向量都有与其方向相反、长度相等的向量），这是构成交换群的基本性质；V中向量的加法、实数域R中的实数与向量的数乘运算满足数乘对向量加法的分配律（a+b）= a+b）、数乘对数加法的分配律（+）a = a + a）、数乘运算的结合律（）a = （a）等，这是构成线性空间的基本性质。在教学中，应引导学生在具体运算的基础上总结这些运算律，认识这些运算律对于研究向量和运用向量解决问题以及建构数学体系的重要意义。当然，群、线性空间、线性赋范空间等这些概念是不需要给学生介绍的，但老师应当清楚。在向量的教学中，特别要重视向量的数乘运算、数量积运算与数的乘法运算的区别与联系，应将向量的运算及运算律与数的运算及运算律进行比较，帮助学生理解向量运算的意义及其运算律，为进一步理解其它代数运算奠定基础。例如，对于数运算来说，0是唯一的加法“零元”， 1是唯一的乘法“单位元”，即0，1是两个特殊的数，它们满足以下运算律：对于任何数a，0+a=a，0a = 0，1a = a 。对于向量的加法运算来说，零向量0也是唯一的加法“零元”，对于任何向量a ，0+a = a 。但是向量的数乘运算与数量积运算则具有不同于数运算的运算律：对于任何向量a，0a = 0，1a = a，0a = 0。虽然也有单位向量的概念，但单位向量不是数量积运算的单位元，即eaa，而且单位向量也不唯一。若把单位向量的起点放在同一点，则所有单位向量构成一个单位圆（球）；数的乘法运算满足结合律、消去律，即对于任何数a，b，c，（ab）c = a（bc），若ab = ac ，且a0，则b = c。对于向量的数量积运算来说，（ab）c a（bc）。这是因为，ab，bc都是实数，（ab）c是与c方向相同或相反的向量，a（bc）是与a方向相同或相反的向量，而a与c不一定共线，即使共线，（ab）c 与 a（bc）也不一定相等。若向量a，b ，c是三个互相垂直的非零向量，则ab = ac= 0，且a0，但b c。因此，向量的数量积运算不满足结合律、消去律。在教学中，应让学生明确向量运算与数运算的这些区别，这样才能对向量运算乃至代数运算有深入的认识。在向量的教学中，还应注意揭示向量代数性质的几何意义。向量代数性质的几何意义对于运用向量刻画几何对象及其性质是非常重要的。例如，向量数乘运算a的几何意义是与a平行的向量，也可以表示一点和一个方向向量a所确定的直线。两个不共线向量a与b的线性组合a+b表示向量a与b所确定的平面等（这一点，标准中不要求）。这就把向量的线性运算与直线、平面联系起来； aa的几何意义就是向量a的长度的平方，这就把向量的数量积运算与向量的长度联系起来，从而，也就把向量的数量积运算与两点间的距离公式联系起来；ab = 0的几何意义是向量a与b垂直，这就把向量的数量积运算与向量的位置关系联系起来，从而，也就把向量的数量积运算与直线的位置关系以及点到直线的距离联系起来；设e是单位向量，则ae表示向量a在单位向量e上的投影的长度，这就把向量的数量积运算与向量夹角的三角函数联系起来。在教学中，应帮助学生将向量代数运算与它的几何意义联系起来，这样才能运用向量代数性质更好地刻画几何对象，从而体会代数与几何的联系。（3）关注向量在物理、数学、现代科学技术中的应用。物理中的矢量是向量的原型，向量及其运算是物理中矢量及其运算的抽象。因此，向量在物理中的广泛应用是不言而喻的。在教学中，应引导学生有意识地运用向量及其运算的性质刻画和解决物理学科中的问题。向量在数学中有着广泛的应用，向量及其代数运算可以刻画几何对象以及几何度量问题，可以表示三角函数、证明三角函数的公式，可以表示重要的不等式等。例如，向量的线性运算可以刻画直线与平面以及平行、共面等关系，向量的数量积运算可以刻画角度、长度、面积、体积等几何度量问题以及相交、垂直等关系；运用向量的数量积也可以定义三角函数（设（e1,e2）是平面上的标准正交基，a是平面上的向量，a与e1的夹角为，则可以定义三角函数如下：， ， ） ，运用向量的数量积也很容易推导出两角差的余弦公式；向量的数量积还蕴涵着一个重要的不等关系abab，这个不等关系可用来证明数学中的许多不等式。向量在机器人设计与操控、卫星定位、飞船设计等现代技术中也有着广泛的应用。因此，在向量的教学中，应注意体现向量在物理、数学、现代科学技术中的广泛应用性。特别应注意不能把向量的应用只局限在解决几何问题中。向量是解决几何问题的一种有效工具，但高中数学新课程中设置向量内容有着更为广泛的目的，而不仅仅是为了解决几何问题、简化几何证明。54、如何理解三角恒等变换的定位？ 恒等变换在数学中扮演重要的角色，它的主要作用是化简。在数学中，通过恒等变换，可以把复杂的关系用简单的形式表示出来。因此，恒等变换是数学学习中的基本功之一。三角恒等变形在后续学习中需要用到。例如，求三角函数的导数、积分时就需要用到。这些，在高中数学课程中是不要求的。三角函数中有许多恒等关系，这些关系大体上可分为三类。第一类是三角函数本身蕴涵的恒等关系。如，对于正弦函数，有sinx =sin(x+ 2k)，sin( - x)= - sinx, sin(2- x)= - sinx, sin(-x)=sinx, sin(+x)=- sinx, 等诱导公式。这些恒等关系反映了正弦函数的周期性、奇偶性等性质。第二类是边角关系中蕴涵的恒等关系。如， ，这些恒等关系反映了边角之间的联系以及同角的不同三角函数之间的联系。第三类是三角函数运算中蕴涵的恒等关系。如， ， 等，这些恒等关系映了 sinx ,cosx ,siny, cosy 与sin(x +y)、cos(x+y)之间的联系。三角恒等变换问题基本上属于第三类恒等关系。在高中数学课程中，三角恒等变换的的出发点是：，。三角恒等变换的逻辑体系是：首先 ，利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。当x,y都是锐角时，直接利用数量积可以证明，这比综合几何方法要简洁，突出了向量的作用；对于一般的情况，则需要分类讨论。然后，以， 作为出发点，利用以及诱导公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式；利用 以及上述两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式；再利用以及上述公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式。最后，利用上述公式推导出积化和差、和差化积、以及半角的正弦、余弦、正切公式，进行一些简单的恒等变换。上述内容是高中数学课程中所要求的三角恒等变换的所有内容。值得注意的是，三角恒等变换这部分内容与三角函数没有直接的关系。因此，学生学习三角函数后，可以先学习平面向量，最后再学习三角恒等变换。高中数学课程中对三角恒等变换的定位主要是两个方面。一是通过从一些基本公式出发推导出其它公式，体会演绎推理的作用以及三角恒等关系的逻辑体系。二是对学生进行恒等变形的训练。因此，在三角恒等变换的教学中，恒等变换的公式基本范围是：由两角差的余弦公式出发，推导出两角和余弦、两角和与差的正弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，积化和差、和差化积、半角公式。以此作为三角恒等变换的基本训练。本部分教学应特别注意避免在三角恒等变换上深挖洞。 55、如何理解解三角形的定位？解三角形问题是确定线段的长度和角度的大小。三角形中，有六个元素：三条边、三个角。解三角形通常是给出三个独立的条件（元素），求出其他的元素；如果是特殊的三角形，如直角三角形，两个条件（元素）就够了。 解三角形需要利用边角关系。正弦定理与余弦定理是刻画三角形边角关系的重要性质。正弦定理适用于已知两角一边，求其它要素；余弦定理适用于已知两边和夹角，或者已知三边求其它要素。在解三角形时，我们倡导使用向量的方法。在证明正弦定理和余弦定理时，可以用不同的方法，特别是向量的方法。解三角形中的题目不要太难。要关注解三角形的应用，鼓励学生用不同方法来解决问题，而不是硬套公式。56、如何理解数列在数学中的作用以及数列在中学数学中的定位？ 数列是一个重要的数学概念，教师需要对数列在数学中的作用和在高中数学课程中的定位有一个清晰的认识。以下的介绍仅仅是一个提纲携领的简介。 （1）数列在数学中的作用数列是特殊的函数。它的定义域一般是指非负的正整数，有时也可以为自然数，或者自然数的无限子集。自然数是离散的，数列通常称为离散函数，离散函数是相对定义域为实数或者实数的区间的函数而言的。数列作为离散函数，在数学中有着自己的重要地位。在高中和大学，除了专门研究数学之外，我们所遇到的函数都是“好的函数”，“好函数”不仅是连续的，而且是可导的，像幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等都是好函数，它们具有任意阶导数。数列在研究这些函数中发挥着重要作用。数列常常用来处理连续函数，即通过离散化的办法来研究一般的函数。例如，学习过高等数学的教师都知道：函数y = f(x)在x0处连续可以用数列来刻画，对任意一个以x0为极限的数列xn，数列f(xn)的极限为f(x0) 。反之也是正确的，即若错误！链接无效。则错误！链接无效。数列本身也是一个数学的研究对象。例如，斐夫那切数列就是数学中研究的一个非常重要的数列。数列的生成体现着递归思想。递归思想是研究数列的基本思想。例如，研究差分数列就依赖于递归思想。这是数学中的重要思想。在现代数学中起着巨大的作用。数列是刻画实际问题的重要模型。数列作为一类特殊的函数有着广泛的应用。例如，在我们日常经济生活中几乎许多经济问题都可以归结为数列模型，特别是等差数列、等比数列是最基本的模型。强调数列是应用的重要模型，就要让学生了解老百姓日常经济生活中的一些数列模型。例如，存贷款模型、教育储蓄模型、分期付款模型、商家返卷模型等等。这一点是非常重要的。数列中蕴涵着丰富的恒等关系。掌握数列的基本性质，例如，等差、等比数列的性质，熟悉等差、等比数列的常用公式，了解这些性质之间的关系，可以作为提高恒等变换能力的载体。（2）数列在中学数学的定位在高中数学课程中，不可能完整地体现数列的功能，即使学习数学的人也没有必要完整了解数列的所有的功能。数列在高中课程中，要突出两点。第一，强调数列作为一类特殊的函数有着广泛的应用。如前面所说，要让学生了解老百姓日常经济生活中的一些数列的经济模型。例如，存贷款模型、教育储蓄模型、分期付款模型、商家返卷模型等等。这一点是非常重要的。第二，它可以作为提高学生恒等变形的能力的载体，例如，学习“知三求二”等等。57、如何理解在等差、等比数列中知三求二的基本要求？ 等差（比）数列有五个参量：项数n，通项an，前n项和sn，首项a1，公差（比）d(q)。这五个参量有一定的联系，以等差数列为例，等差数列有两个基本的关系式： 由和可知，我们只要已知这五个参量中的任意三个，就可以求出其余的两个。因此，知三求二的问题，就是解和构成的方程组问题。 对于解和构成的方程组问题，标准的要求限制在直接用一元二次方程或二元一次方程组求解的范围。对于等差数列中可能出现的分式方程，等比数列中可能出现的高次方程不在的要求范围之内。58、如何理解数列的应用？ 前面我们已经谈到，在人们的日常经济生活中，等差数列、等比数列是刻画日常经济生活有关规律的基本数学模型。例如，存款、贷款、购物（房、车）分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关，它们都可以用等差数列和等比数列模型来刻画。我们具体以教育储蓄为例：2000年我国推出了一种新的储蓄方式教育储蓄，意在鼓励城乡居民以储蓄方式为子女教育储蓄资金，支持国家教育事业的发展。该储种储户特定，存期分别为1年、3年和6年，以零存整取的方式存入资金，以相对应年限同档次的整存整取的利率计付利息，利息免税。其起存金额最低为50元，本金合计最高限额为2万元，允许两次存足限额，即可约定每次最多存入1万元，到期一次性支取本利和。这个问题实际上是一个等差数列求和的计算。可以进一步抽象为：每月一次将a元存入银行，连续存n次，到3年期满后，能支取利息多少元，本利和是多少？设所得利息是x元，本利和是y元，那么Y=an+x =an+36(2.52%12)a+35(2.52%12)a+34(2.52%12)a+(36-n+1)(2.52%12)a =1.07665an-0.00105an2(元)这就是计算三年期教育储蓄本利和的等差数列数学模型。 在数列的应用中，关键是把实际问题转化成数学问题，就数学问题本身并不难。这种转化对于学习数学是非常重要的，它可以提高学生的数学阅读能力和数学建模能力。59、如何理解不等关系与恒等关系？（1）恒等关系是数学中最基本的一种关系，用它可以反映数学中的某些规律。例如，在直角三角形中，a、b、c分别表示三角形的三边，我们就可以用恒等式 ，来反映三角形三边的恒等关系。在中学数学中，有许多重要的、有意义的恒等关系。例如，；a0 ；等。（2）等量关系是恒等关系的一种，是建立方程的基础。代数方程是反映已知量和未知量之间的等量关系的一种数学模型，微分方程是反映已知函数、未知函数和导函数之间的等量关系的一种数学模型。它们都是数学中重要的研究对象，也是解决实际问题的基本数学模型。（3）恒等变形是我们研究问题的一项基本能力，其实质是充分利用各种不同的运算规律，改变等式的形式，通过不同的形式发现规律。恒等变形是锻炼学生运算和逻辑能力的一种载体。（4）在思考数学问题的过程中，我们总是有目的地进行恒等变形，例如，在解一元二次方程时，配方法就是一种恒等变形，用它可以实现降幂，把二次方程转化为一次方程。在讨论解线性方程组问题时，加减消元法（代入消元法）也是一种恒等变形，用它可以实现消元的目的，把二元一次方程组转化为一元一次方程。这些恒等变形构成了解决方程问题的通性通法。这样的例子在数学中很多。 在教学中，不要一味的追求技巧，而做形式上无意义的恒等变形训练。例如，因式分解是可以练习恒等变形的载体，像这种变形就是一种有意义的恒等变形的练习。但是如果人为的把几个多项式的乘积展开，再让学生去分解因式就毫无意义了。不能为了恒等变形而恒等变形。（5）不等关系同样是数学中最基本的一种关系，它不仅可以反映数学中的某些规律，也可以反映其它学科和日常生活的规律。例如，就是一个反映数学规律的基本不等式，这个不等式有很