华中科技大学大学物理6章导体介质电容器.pdf

张雁滨张雁滨 第第6章章 静电场中的静电场中的 导体和电介质导体和电介质 第二篇第二篇 电磁学 静电场中的导体和电介质静电场中的导体和电介质 一 静电场中的导体一 静电场中的导体 1 1 导体静电平衡条件 导体静电平衡条件 导体内部任何一点的场强等于导体内部任何一点的场强等于 0 导体表面任何一点的场强都垂直表面导体表面任何一点的场强都垂直表面 导体是等势体导体是等势体 导体表面是等势面 导体表面是等势面 本章节讨论金属导体和电介质对场的影响本章节讨论金属导体和电介质对场的影响 静电平衡 静电平衡 带电系统中 电荷静止不动 从而电场带电系统中 电荷静止不动 从而电场 分布不随时间变化 则该系统达静电平衡状态 分布不随时间变化 则该系统达静电平衡状态 注 注 a 达静电平衡 导体内部无净电荷 达静电平衡 导体内部无净电荷 电荷只分布在表面上 电荷只分布在表面上 2 导体上电荷分布导体上电荷分布 体内无净电荷体内无净电荷 0 电荷只分布在导体外表面上 电荷只分布在导体外表面上 2 2 体内有空腔 腔内无其它带电体体内有空腔 腔内无其它带电体 电荷全分布在导体外表面上 电荷全分布在导体外表面上 1 体内无空腔体内无空腔 例例1 一块金属平板一块金属平板 面积为面积为S带电带电Q 在其旁放置第二在其旁放置第二 块同面积的不带电金属板 求块同面积的不带电金属板 求 1 静电平衡时静电平衡时 电荷分布电荷分布 及空间电场分布 及空间电场分布 2 若第二块板接地 若第二块板接地 忽略边缘效应忽略边缘效应 b 不考虑边缘效应 电荷是均匀分布 不考虑边缘效应 电荷是均匀分布 Q 解 解 1 设四个面上电荷面度为设四个面上电荷面度为 1 2 3 4 1 2 3 4 由电荷守恒有 由电荷守恒有 S Q 21 0 43 如图取高斯如图取高斯 柱面可得 柱面可得 0 SdE 0 i q 0 32 即 即 P 导体内任意一点导体内任意一点P 其电场 其电场 E 0 0 2222 4321 oooo 则有 则有 联联 立立 求求 解解 可得 可得 S Q 2 21 S Q 2 3 S Q 2 4 按场叠加原理可求得 按场叠加原理可求得 S Q E S Q E S Q E o C o B o A 222 ABC E 2 第二板接地第二板接地 则则与大地构成一导体与大地构成一导体 4 0 4 Q 3 求求 1 达静电平衡时 电荷分布及空间电场分布 达静电平衡时 电荷分布及空间电场分布 o E 2 例例2 半径为半径为R的金属球与地相连接 在与球心相距的金属球与地相连接 在与球心相距 d 2R 处有一点电荷处有一点电荷q 0 问球上的感应电荷 问球上的感应电荷q o R q R 解 解 利用金属球是等势体利用金属球是等势体 球体上处处电势球体上处处电势U 0 球心处球心处U0 0 0 244 0 R q R qd o q o 即 即 2 q q 4 2 第二板接地第二板接地 0 4 同理可得 同理可得 S Q 21 0 32 0 321 联立求解 联立求解 0 1 S Q 2 S Q 3 S Q EEE o BCA 0 1 2 3 4 P ABC Q q q U0 Uq Uq 电荷守恒 电荷守恒 P点点E 高斯 高斯 则则与大地构成一导体与大地构成一导体 4 3 导体表面上各处的导体表面上各处的电荷密度电荷密度 与电场强度与电场强度E的关系的关系 在导体表面上任取面积元在导体表面上任取面积元 S 该处电荷面密度 该处电荷面密度 作底面积为作底面积为 S的高斯圆柱面的高斯圆柱面 轴线垂直轴线垂直 S 侧侧下下上上 则有 则有 SdESdESdESdE 00 上上 SdE SE o i o S q 1 o E 即 导体表面上一点的场强即 导体表面上一点的场强 E 与与 该点的电荷面密度该点的电荷面密度 成成正比 正比 2 该点处的电场该点处的电场E 是所有电荷产生的 是所有电荷产生的 注 注 1 并不给出并不给出 的分布 的分布 o E 方向方向n 5 E n 1 S 2 S 的分布一般的分布一般 比较复杂比较复杂 如 避雷针等如 避雷针等 4 电荷面密度与导体表面曲率的关系电荷面密度与导体表面曲率的关系 一般导体电荷的分布与一般导体电荷的分布与 导体形状有关导体形状有关 与附近其它带电体有关与附近其它带电体有关 对孤立导体对孤立导体电荷分布有如下定性规律 处于静电平衡电荷分布有如下定性规律 处于静电平衡 时 它的表面各处的面电荷密度与各处表面的曲率有时 它的表面各处的面电荷密度与各处表面的曲率有 关 关 曲率越大的地方 面电荷密度越大曲率越大的地方 面电荷密度越大 实验结论 面电荷密度正比于表面曲率实验结论 面电荷密度正比于表面曲率 较大较大曲率曲率 R 1 R 1 表面凸起处表面凸起处 较大较大 较小较小曲率曲率 R 1 表面凹进处表面凹进处 更小更小 表面较平坦处表面较平坦处 较小较小 为负为负曲率曲率 R 1 E 尖端处尖端处E较大较大 E较小较小 E最弱最弱 当曲率很大的尖端当曲率很大的尖端E 很强很强 尖端放电尖端放电 point charge 6 动画动画 动画动画 5 导体壳与静电屏蔽导体壳与静电屏蔽 空腔内有带电体的导体壳空腔内有带电体的导体壳 证明 证明 在导体壳内作一高斯面在导体壳内作一高斯面S 由高斯定理 由高斯定理 0 i i q 0 内内 qqq i i qq 内内 即 即 得证得证 由电荷守恒 由电荷守恒 qQq 外外讨论 讨论 1 腔内腔内 q所处位置不同 对内外所处位置不同 对内外 表面电荷分布及电场分布的影响表面电荷分布及电场分布的影响 改变改变 内内 E 改变改变 内内 不变不变 内内 qq 不变不变 外外 E 不变不变 外外 不变不变 外外 qQq 2 若将腔内带电体与导体壳连接 若将腔内带电体与导体壳连接 会是什么情况 会是什么情况 3 若将导体壳接地 又如何 若将导体壳接地 又如何 腔内无电荷分布 腔内无电荷分布 E内 内 0 屏蔽外场屏蔽外场 q Q S q q Q q 屏蔽内场屏蔽内场 0 SdE 7 设导体带电荷设导体带电荷Q 空腔内有一带电体 空腔内有一带电体 q 则 则导体壳内表导体壳内表 面所带电荷与腔内电荷的代数和为面所带电荷与腔内电荷的代数和为0 0 外外 q 导体壳外导体壳外 E外 外 0 动画动画 静电屏蔽静电屏蔽 electrostatic shielding 在静电平衡的条件下 在静电平衡的条件下 在外电场中 在外电场中 导体壳内和腔内无电场 导体壳内和腔内无电场 腔内物体不会受外界影响 腔内物体不会受外界影响 屏蔽外场屏蔽外场 E 0E 0 当腔内有带电体时 当腔内有带电体时 将壳接地 腔内带电体将壳接地 腔内带电体 的电场对壳外无影响 的电场对壳外无影响 q 屏蔽内场屏蔽内场 8 空腔导体壳接地与否 外界空腔导体壳接地与否 外界 均对壳内电场无任何影响均对壳内电场无任何影响 CU 外界不影响内部外界不影响内部 腔内有无电荷对腔外有不同的影响腔内有无电荷对腔外有不同的影响 动画动画 二 静电场中的电介质二 静电场中的电介质 1 电介质的电结构电介质的电结构 电介质电介质绝缘体绝缘体 不导电不导电 在外电场中在外电场中E内 内 0 每个分子每个分子 带负电的电子带负电的电子 束缚电子束缚电子 带正电的原子核带正电的原子核 分布在分布在10 10m范围范围 一般分子内正负电荷一般分子内正负电荷 不集中在同一点上不集中在同一点上 所有负电荷所有负电荷 负负重心重心 所有所有正电荷正电荷 正重心正重心 两类电介质 两类电介质 重心不重合重心不重合 重心重合重心重合 p 有极分子有极分子 0 p 无极分子无极分子 两种电介质放入外电场 其表面上都会出现电荷两种电介质放入外电场 其表面上都会出现电荷 电 极 化 电 极 化 电介质的电极化与导体有本质的区别 电介质的电极化与导体有本质的区别 E 0 内内 E 0 内内 E E 9 E 动画动画 动画动画 2 电极化现象电极化现象 1 有极分子有极分子 0 i p E p EpM 可见 可见 E外 外 强 强 排列越整齐排列越整齐p 端面上束缚电荷越多 电极化程度越高 端面上束缚电荷越多 电极化程度越高 取向极化取向极化 2 无极分子无极分子 电中性电中性 E 0p 同样同样E外 外 强 强 位移极化位移极化 说明 说明 a 取向极化取向极化 有极分子有极分子 位移极化位移极化 无极分子无极分子 两种介质两种介质 b 对均匀电介质体内无净电荷 束缚电荷只出现在表面上对均匀电介质体内无净电荷 束缚电荷只出现在表面上 c 束缚电荷与自由电荷在激发电场方面 具有同等的地位束缚电荷与自由电荷在激发电场方面 具有同等的地位 一般地 一般地 E外 外不同 则介质的极化程度不同 不同 则介质的极化程度不同 p 10 0 外外 E 0 外外 E 动画动画 p 大大 端面上束缚电荷越多端面上束缚电荷越多 电极化电极化 程度越高 程度越高 动画动画 动画动画 动画动画 3 电极化强度矢量电极化强度矢量 P V p P i 单位 单位 C m2 显然 显然 E外 外 0 0 i p 0 P 2 成正比成正比与与EP 对各向同性的电介质有 对各向同性的电介质有 实验结论 实验结论 EP ro 1 1 re e 电极化率电极化率相对介电常数相对介电常数 r EP oe EEE 外外外外 E r 1 即 即 3 电击穿电击穿 电介质的击穿电介质的击穿 当当E 很强时 分子中正负电荷被拉开很强时 分子中正负电荷被拉开 自由电荷自由电荷 绝缘体绝缘体 导体导体电介质击穿电介质击穿 电介质所能承受不被击穿的最大电场强度电介质所能承受不被击穿的最大电场强度 击穿场强击穿场强 例 尖端放电时 即空气被电击穿例 尖端放电时 即空气被电击穿 E 3 kV mm 单位体积内所有分子单位体积内所有分子 的电偶极矩矢量和的电偶极矩矢量和 1 P 的定义 的定义 11 4 有电介质存在时的静电场的计算有电介质存在时的静电场的计算 有介质存在时的高斯定理 有介质存在时的高斯定理 注 在电介质存在空间的电场由注 在电介质存在空间的电场由 自由电荷自由电荷 束缚电荷束缚电荷 共同产生共同产生 以两个平行导体平板为例 以两个平行导体平板为例 设两平板间充满相对介电常数设两平板间充满相对介电常数 r的均匀各向同性介质 的均匀各向同性介质 并且导体板带电面密度为并且导体板带电面密度为 Eo为自由电荷产生的电场 为自由电荷产生的电场 S 如图取高斯面如图取高斯面S 按高斯定理 按高斯定理 i o o qSdE 1 EEEE roo r 或或 1 实验结论 实验结论 自自 qSdE o r 1 则有 则有 即 即 自自 qSdE or 引入 引入 介质介电常数介质介电常数 ED 电位移矢量电位移矢量 自自 qSdD 12 EEE o r Eo E 有介质空间的高斯定理有介质空间的高斯定理 D的单位 的单位 C m2 说明 说明 a ED 处处对应 且方向一致处处对应 且方向一致与与ED b 与与 qq SdE o 束束自自 1 等价 等价 c 以上讨论对任何形状的电介质都成立 以上讨论对任何形状的电介质都成立 环路定理环路定理 束缚电荷束缚电荷q束 束产生的电场与 产生的电场与 自由电荷自由电荷q自 自产生的电场 产生的电场相同相同 保守力场保守力场 0 l dE 归纳归纳 a 有介质存在时 出现三个物理量有介质存在时 出现三个物理量DPE EP oe ED or PED o b 四个常数之间的关系四个常数之间的关系 or er 1 c 解题一般步骤解题一般步骤 由由q自 自 自自 qSdD D D E EP oe 自自 qSdD 自自 qSdD 13 R q 例例3 一个带正电的金属球 半径为一个带正电的金属球 半径为R电量为电量为q 浸在一个 浸在一个 大油箱中 油的相对介电常数为大油箱中 油的相对介电常数为 r 求 求E U r P 分析 分析 电荷电荷q及电介质呈球对称分布及电介质呈球对称分布 则则E D也为球对称分布也为球对称分布 解 取半径为解 取半径为r的高斯同心球面的高斯同心球面 r R i qSdD 0 0 D Rr 2 4 rDSdD qqi r r q D 2 4 则有 则有 D E r R Rr 0 E r r q E or 2 4 p l dEU r R Rr R rR drE U 0 R q or 4 r q U or 4 2 0 4r q E 由由q自 自 自自 qSdD D D E EP oe 14 R q r r q r 2 4 1 1 R D R E r R UR o 2 2 0 2 0 44r q r q E r r 1 减弱 减弱 球面处的介质油面上出现了束缚电荷球面处的介质油面上出现了束缚电荷q q 3 空间某点处的 空间某点处的E仅与该点的仅与该点的 电介质有关 电介质有关 而该处的而该处的U与积分路径上与积分路径上 所有电介质有关 所有电介质有关 r RB RA 板间充满电介质板间充满电介质 假定极板带电假定极板带电Q l A B 方向沿半径向外方向沿半径向外 6 3 球形电容器的电容球形电容器的电容 极板间电场是极板间电场是 球对称的 球对称的 2 4r q E 极板间电势差 极板间电势差 B A B A R R R R AB dr r q EdrU 2 1 4 BA AB RR RR q 4 方向 沿半径向外方向 沿半径向外 AB BA AB RR RR U q C 4 两个半径两个半径RA RB同心金属球壳带同心金属球壳带 有等量异号电荷有等量异号电荷 中间充满电介质中间充满电介质 RA RB q q 归纳 归纳 求电容器电容的方法求电容器电容的方法 特别当特别当 B R ArR C 04 求求C的步骤 由的步骤 由 q自 自 D E U U q C BA R q R q 44 7 注 为求出注 为求出 U 可先假设极板带电 可先假设极板带电 2 在电路中 一个电容器的电容量或耐压能力不够时 在电路中 一个电容器的电容量或耐压能力不够时 可采用多个电容连接 可采用多个电容连接 如增大电容 可将多个电容并联 如增大电容 可将多个电容并联 1 C 2 C k C C k CCCC 21 若增强耐压 可将多个电容串联 若增强耐压 可将多个电容串联 1 U 2 U k U U 耐压强度 耐压强度 K UUUU 21 但是电容减小 但是电容减小 k CCCC 1111 21 1 衡量一个实际的电容器的性能主要指标衡量一个实际的电容器的性能主要指标 C的大小的大小 耐压能力耐压能力 常用电容 常用电容 100 F25V 470pF60V 8 注 注 例例2 一平行板电容器 两极板间距为一平行板电容器 两极板间距为d 面积为 面积为S 其 其 中放置一厚度为中放置一厚度为t 的平板均匀电介质 其相对介电常数的平板均匀电介质 其相对介电常数 为为 r 求该电容器的电容求该电容器的电容C d r t 解 根据定义解 根据定义 U q C 设极板面密度为设极板面密度为 由高斯定理可得 由高斯定理可得 空气隙中空气隙中ED o E 则 则 介质中介质中 or E 则 则 l dEUUU l dE t o tt t d tt 11 11 t d rr or 1 U q C t d S rr or 1 td S r r o 1 d S o 与与t的位置无关的位置无关 t C t d d S C or 9 D 3 电容器电容的计算电容器电容的计算 例例 如图 一电容器两极板都是边长为如图 一电容器两极板都是边长为a的正方形金属的正方形金属 平板 但两板不严格平行有一夹角平板 但两板不严格平行有一夹角 证明 当 证明 当 时该电容器的电容为 时该电容器的电容为 a b b a b a C o 2 1 2 忽略边缘效应 忽略边缘效应 a b 证明 证明 整体不是平行板电容器整体不是平行板电容器 但在小块面积但在小块面积 adx 上 可认为上 可认为 是平行板电容器是平行板电容器 其电容为 其电容为 x dx sinxb adx dC o dCC a o o sinxb adx sin b a ln sin a o 1 a b a b sin 1 sin b a 则 则 2 2 1 1 sin b a sin b a sin b a ln sin b a b a C o 2 1 1 2 b a b a o 2 1 2 证毕证毕 d S C 10 小平行板电容器并小平行板电容器并 联 其电容之和 联 其电容之和 四 电容器的能量和电场的能量四 电容器的能量和电场的能量 1 电容器的能量电容器的能量 K C R ab 电容器带电时具有能量 实验如下 电容器带电时具有能量 实验如下 将将K倒向倒向a端端 电容充电电容充电 再将再将K到向到向b端端 灯泡发出一灯泡发出一 次强的闪光次强的闪光 能量从哪里来 能量从哪里来 电容器释放电容器释放 计算当电容器带有电量计算当电容器带有电量Q 相应的 相应的 电压为电压为U时 所具有的能量时 所具有的能量W 利用放电时电场力作功来计算 利用放电时电场力作功来计算 放电到某放电到某t时刻时刻 极板还剩有电荷极板还剩有电荷q 极板的电势差 极板的电势差 C q U 将将dq的正电荷 从的正电荷 从正极板正极板 负极板负极板 电场力作功为 电场力作功为 dq C q Udq dAA 0 Q C Q 2 2 1 即电容器带有电量即电容器带有电量Q时具有的能量 时具有的能量 C Q W 2 2 1 2 2 1 CU QU 2 1 可见 可见 C也标志电容器储能的本领 也标志电容器储能的本领 11 放电时增量放电时增量dq为负值为负值 这些能量存在何处这些能量存在何处 2 电场的能量电场的能量 以平行板电容器为例 以平行板电容器为例 U Q C d S EdU 并且并且 2 2 1 CUW 22 2 1 dE d S SdE 2 2 1 VE 2 2 1 VEWe 2 2 1 记为 记为 能量储存在电场中能量储存在电场中 电场能量密度电场能量密度 单位体积内所储存电场能量 单位体积内所储存电场能量 V W w e e 2 2 1 E ED e w DE 2 1 ED 2 1 电场能量电场能量 任何带电系统的电场中所储存的总能量为 任何带电系统的电场中所