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15-5一维谐振子问题 一、一维谐振子的定态薛定谔方程在经典力学中，简谐振动是物体在线性回复力f = -kx作用下发生的一种运动形式，其位移与时间的关系可以表示为.取平衡位置为坐标原点，并作为势能零点，则系统的势能可以表示为,(15-64)图15-5式中k是谐振子的劲度系数，m为谐振子的质量，是振动角频率。势能曲线如图15-5所示。我们曾经得到简谐振子的能量为 . (15-65)以上这些都是我们在经典力学中早已熟悉的结论。在量子力学中，谐振子问题是研究许多周期性运动的出发点，是一个重要的物理模型。诸如原子分子的振动、黑体辐射、晶格振动以及量子场论中的场量子化等都可以用谐振子这一物理模型来处理。现在让我们考虑微观粒子被束缚在形如图15-5所示的势阱内的情况。显然，粒子的运动规律应由定态薛定谔方程来确定。将一维谐振子的势能形式式(15-64)代入定态薛定谔方程(15-23)中，可以得到. (15-66)令, (15-67)将变量x变换为. (15-68)方程式(15-66)变为下面的形式.(15-69)求解这个方程，并使解满足束缚态条件，就可以得到一维谐振子的能量本征函数和能量本征值。二、一维谐振子的本征函数和能量本征值求解方程(15-69)，首先必须对方程进行函数变换，得到方程(15-69)的解，然后根据束缚态条件和波函数的有限性，求出波函数的一般形式，最后利用归一化条件，确定归一化系数。如果将时间因子也一起表示出来，那么一维谐振子的定态波函数为,(15-74)这是一维谐振子的定态波函数，也是能量en的本征函数。在得到解式(15-70)时，用到了束缚态条件和波函数的有限性，即当x时，应有y0，这在数学上就要求l必须是奇数，即(15-75)一维谐振子的能量本征值en就是从上式解出的，为(15-76)这表示一维谐振子的能量只能取一系列分立值，并且相邻能级是等间距的，等于。当一维谐振子处于基态(n = 0)时，其能量为,(15-77)此能量称为零点能，表示谐振子的最低能量不等于零，即使当温度接近绝对零度时，谐振子仍然进行着零点振动，或者说静止的谐振子是不存在的。这一结论已被实验所证实。如果将量子力学的结论与经典力学的结果进行比较，我们会看到一些有趣的现象。按照经典力学的结论，一维谐振子的能量如式(15-65)所表示，如果在势能曲线的纵轴上取与振子能量相应的e点，过e点作x轴的平行线，交势能曲线上m、n两点，如图15-6所示。m和n所对应的横坐标的绝对值就是振子的最大位移，振子只能处于x a的区域则是经典禁区，振子是不可能进入这个区域的。而在量子力学中，由于隧道效应，粒子可以到达经典禁区，也就是说，在所谓“经典禁区”内发现粒子的概率不等于零，不存在什么禁区。另外，按经典力学的规律，在平衡位置(x = 0)振子的速度为最大，停留的时间为最
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