高中数学基本定理证明.doc

1三角函数的定义证明.已知锐角ABC中，AB=c，AC=b,BC=a，利用三角函数的定义证明：c=acosB+bcosA解：作CDAB于点D在RtBCD中，由cosB=BD/BC，得BD=acosB,在RtACD中，由cosA=AD/AC，得AD=bcosA，所以c=AB=BD+AD=acosB+bcosA 逐步提示：1、根据待证明的条件中存在三角函数，而题目本身图形为锐角三角形，所以要在原图形中通过添加辅助线来构造直角三角形。2、根据求【c的表达式，既是求AB的三角函数表达式】，因此添加辅助线时考虑【将AB线段变为直角三角形的边】，可以作【CDAB于点D，】接下来考虑如何在在直角三角形中利用直角三角形三角函数来求解边角关系。3、接下来分别在RtACD和RtBCD中利用三角函数来表示AD的长度向待证靠近 2点P为ABC内任意一点，求证点P到ABC距离和为定值 点P为ABC外时,上述结论是否成立,若成立，请证明。若不成立h1,h2,h3与上述定值间有何关系【设点p到AB,BC,CA三边距离为h1,h2,h3】证明：连接、，过作上的高，交于。过作、的重线交、于、三角形面积三角形面积三角形面积AB*PD/2+BC*PE/2+CA*PF/2=AB(PD+PE+PF)/2故：AB*CG/2=AB*(PD+PE+PF)/2CG=PD+PE+PF即：点P到ABC距离和为三角形的高，是定值。（）若在三角形外，不妨设h1h3,h2h3，则有：h1+h2-h3=三角形边上的高 3棱长为 的正四面体内任意一点到各面距离之和为定值，则这个定值等于多少？简证如下：设为正四面体-内任一点，到面，面，面，面的距离分别为1，2，3，4由于四个面面积相等，则-（1/3）（1234）而(3/4)a2，-(2/12)a3，故12343/3a（定值）4正弦定理的证明过程步骤1. 在锐角ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CHAB垂足为点H CH=asinB CH=bsinA asinB=bsinA 得到 a/sinA=b/sinB 同理，在ABC中， b/sinB=c/sinC 步骤2. 证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交O于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以D等于C. 所以c/sinCc/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。5余玄定理证明、平面向量证法：如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）cc=(a+b)(a+b)c2=aa+2ab+bbc2=a2+b2+2|a|b|Cos(-)（以上粗体字符表示向量）又Cos(-)=-CosCc2=a2+b2-2|a|b|Cos（注意：这里用到了三角函数公式）再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC同理可证其他，而下面的CosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。平面几何证法：在任意ABC中做ADBC.C所对的边为c，B所对的边为b，A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC2=AD2+DC2b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2b2=sinB²c²+a2+cosB²c2-2ac*cosBb2=(sinB2+cosB2)*c2-2ac*cosB+a2b2=c2+a2-2ac*cosBcosB=(c2+a2-b2)/2ac如图,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角,它们的终边与单位圆O的交点分别为A,B,则向量OA=(cos,sin),向量OB=(cos,sin),由向量数量积的坐标表示,有向量OA*向量OB=(cos,sin)*(cos,sin)=coscos+sinsin(1)如果-0,那公向量OA与向量OB的夹角就是-,由向量数量积的定义,有向量OA*向量OB=向量OA*向量OBcos(-)=cos(-)于是cos(-)=coscos+sinsin(2)当-不0,设向量OA与向量OB的夹角为,则向量OA*向量OB=向量OA*向量OBcos=cos=coscos+sinsin另一方面.由图可知=2k+,kZ,所以cos(-)=cos也有cos(-)=coscos+sinsin所以,对于任意角,有cos(-)=coscos+sinsin两角差的余弦公式cos(-)=coscos+sinsin由两角差的余弦公式cos(-)=coscos+sinsin,得两角和的余弦cos(+)=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=coscos-sinsin,得两角和的余弦公式cos(+)=coscos-sinsin,两角差的正弦公式推导,则可由余弦公式及诱导公式很快得出;sin(-)=cos/2-(-)=cos(/2-)+)=cos(/2-)cos-sin(/2-)sin=sincos-cossin两角和的正弦公式推导sin(+)=sin-(-)=sincos(-)-cossin(-)sincos+cossin注：诱导公式证明 6证明三角形的角平分线定理三角形ABM面积S=(1/2)*AB*AM*sinBAM, 三角形ACM面积S=(1/2)*AC*AM*sinCAM, 所以三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=AB:AC 又三角形ABM和三角形ACM是等高三角形，面积的比等于底的比， 三角形ACM面积S=BM:CM 所以ABAC=MBMC7射影定理证明直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式 如图，RtABC中，BAC=90，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）2=BDDC，（2）（AB）2=BDBC ，（3）（AC）2=CDBC 。证明：在 BAD与ACD中，B+C=90，DAC+C=90，B=DAC，又BDA=ADC=90，BADACD相似， AD/BDCD/AD，即（AD）2=BDDC。其余类似可证。注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得：（AB）2+（AC）2=BDBC+CDBC =（BD+CD)BC=（BC）2，即 （AB）2+（AC）2=（BC）2。8证明:表面积相等的球和正方体,球的体积大于正方体的体积球体的表面积s=4r2；体积v=(4/3)r3立方体的表面积=L2*6;体积=L3假设球体和立方体的体积相等(4/3)r3=L3 = r=3/(4)的立方根乘以L如果实际的r大于3/(4)的立方根乘以L，球的体积将大于立方体的体积由球和正方体的表面积相等得到：4r2=l2*6 = r=3/(2)的平方根乘以L现在只需要比较3/4的立方根和3/2的平方根的大小3/4的立方根1所以3/(2)的平方根乘以L大于3/(4)的立方根乘以L，球的体积大于立方体的体积。9已知。a.b.c都是正实数，且ab+bc+ca=1求证：a+b+c大于等于根号3ab(a2+b2)/2 bc(b2+c2)/2 ca(c2+a2)/2 三个相加得ab+bc+ca=1a2+b2+c2a2+b2+c21不等式两边同时加上2(ab+bc+ca)所以(a+b+c)21+2=3所以a+b+c310已知a大于0,b大于0,求证2ab/a+b小于等于根号ab小于等于a+b/2小于等于根号下a平方加b平方/2按均值不等式：a+b2(ab)，则：2ab/(a+b)(ab)(ab)(a+b)/2又(a-b)20则a2+b2-2ab02aba2+b2故(a+b)/2)2=(a2+2ab+b2)/4(a2+a2+b2+b2)/4=(a2+b2)/2故（a+b)/2(a2+b2)/2)2ab/(a+b)(ab)(a+b)/2(a2+b2)/2) 11设a,b,c属于R+,求证根号(a2+b2)+根号(b2+c2)+根号(c2+a2)=根号2(a+b+c)根号(a2+b2)+根号(b2+c2)+根号(c2+a2)(a+b)2/2+(b+c)2/2+(c+a)2/2=(a+b)+(b+c)+(c+a)/2=2(a+b+c)/2=2*(a+b+c)12已知a，b,c,d都是实数，且a2+b2=1,c2+d2=1,求证|ac+bd|=1令a=cos，b=sinc=cos，d=sin那么：|ac+bd|=|coscos+sinsin|=|cos(-)|=113已知|x|=1,|y|=1,求证：|(x+y)/(1+xy)|0,b0,则(a3+b3)/2 (a+b)/23证明：(a3+b3)/24(a+b)/8(a+b)/83(a+b)/8(a+b)/8+3(ab)(aabb)/8(a+b)/83(ab)ab/8 (原理：ab2ab，当且仅当ab时取等）a+b3ab3ba/8(a+b)/8(a+b)/216已知X,Y,Z为3个互不相等的实数,且X+1/Y=Y+1/Z=Z+1/Z求证(xyz)2=1由x+1/y=y+1/z得x-y=(y-z)/yz (1),再由x+1/y=z+1/x得x-z=1/x-1/y=(y-x)/xy,再将(1)代入得xy=(z-y)/(x-z) (2) 同理,yz=(x-y)/(y-z) (3),xz=(z-x)/(x-y) (4) x2*y2*z2=117已知a,b均为正数求证：a3+b3a2b+ab2a+b-(ab+ab) =(a-b)(a-b)=(a-b)(a+b) a0,b0 a+b0又(a-b)0， (a-b)(a+b)0即a+b-(ab+ab)0 a+bab+ab18已知实数a大于等于3,求证:根号a-根号（a-1） 0 a2-3aa2-3a+3即 a(a-3)(a-1)(a-2) a(a-3)(a-1)(a-2) 2a-3+2a(a-3) 2a-3+2(a-1)(a-2) 即 a+2a(a-3)+a-3(a-1)+2(a-1)(a-2)+(a-2) a+(a-3)2(a-1)+(a-2)2 a+(a-3)(a-1)+(a-2) a-(a-1)=0 所以a3+b3+c3=3abc成立20求证基本不等式公式a+b/2大于等于根号ab由于a、b是正数，则ab2(ab)=(a)2(ab)(b)=ab0，即ab2(ab) ，就是(ab)/2(ab)21 a,b为正数，证明根号ab大于等于2/(1/a+1/b)(用基本不等式证明）a+b=2(ab)1/(a+b)0,b0两边同时乘上2ab)2ab/(a+b)=(ab)2/(a+b)/ab=(ab)2/(1/a+1/b)0,则k20,(想得通吧）,设A(1,k1),B(1,k2),则三角形OAB为直角三角形，根据射影定理，k1k2的绝对值=12=1,因为k1k20,所以k1k2=-124: a(1) = a, a(n)为公差为r的等差数列。1-1，通项公式，a(n) = a(n-1) + r = a(n-2) + 2r = . = an-(n-1) + (n-1)r = a(1) + (n-1)r = a + (n-1)r.可用归纳法证明。n = 1 时，a(1) = a + (1-1)r = a。成立。假设 n = k 时，等差数列的通项公式成立。a(k) = a + (k-1)r则，n = k+1时，a(k+1) = a(k) + r = a + (k-1)r + r = a + (k+1) - 1r.通项公式也成立。因此，由归纳法知，等差数列的通项公式是正确的。1-2，求和公式，S(n) = a(1) + a(2) + . + a(n) = a + (a + r) + . + a + (n-1)r = na + r1 + 2 + . + (n-1) = na + n(n-1)r/225: a(1) = a, a(n)为公比为r（r不等于0）的等比数列。2-1，通项公式，a(n) = a(n-1)r = a(n-2)r2 = . = an-(n-1)r(n-1) = a(1)r(n-1) = ar(n-1).可用归纳法证明等比数列的通项公式。（略）2-2，求和公式，S(n) = a(1) + a(2) + . + a(n) = a + ar + . + ar(n-1) = a1 + r + . + r(n-1)r 不等于 1时，S(n) = a1 - rn/1-rr = 1时， S(n) = na. 26: 和差化积公式： sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2cos-cos=2sin(+)/2sin(-)/2和差化积公式由积化和差公式变形得到。积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。推导过程：sin(+)=sincos+cossin，sin(-)=sincos-cossin把两式相加得到：sin(+)+sin(-)=2sincos所以，sincos=sin(+)+sin(-)/2同理，把两式相减，得到：cossin=sin(+)-sin(-)/2cos(+)=coscos-sinsin，cos(-)