初高中数学衔接班讲义.doc

初高中衔接班数学讲义第1课时 数与式(一)一、绝对值 |a|绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离x0OaA图11(1)|a|x0OaA图11(2)|a|绝对值的性质：两个互为相反数的绝对值相等即|a|a|两个数的差的绝对值的几何意义：|ab|表示在数轴上，数a和数b之间的距离BxaA|ab|图12(1)bAxbB|ab|图12(2)a例1 解方程：（1）|x1|2 （2）|x1|x3|4练 习1填空：(1)若|x|5，则x_；若|x|4|，则x_(2)如果|a|b|5，且a1，则b_；若|1c|2，则c_3化简：|x5|2x13|(x5)4解方程：(1)|x2|1； (2)|x2|x1|4； (3)|x2|2x3|6二、乘法公式 (1)立方和公式： (ab)(a2abb2)a3b3；(2)立方差公式： (ab)(a2abb2)a3b3；(3)三数和平方公式 (abc)2a2b2c22ab2bc2ca；(4)两数和立方公式 (ab)3a33a2b3ab2b3；(5)两数差立方公式 (ab)3a33a2b3ab2b3例1 化简：(x1)(x+1)(x2x1)(x2x1)例2 若x3，求x2和x的值例3 已知abc4，abbcca4，求a2b2c2的值练 习1 (1)a2b2(ba)( )； (2)(4m )216m24m( )； (3)(a2bc)2a24b2c2( )2(1)若x2mxk是一个完全平方式，则k等于 ( )(A)m2 (B)m2 (C)m2 (D)m2(2)不论a，b为何实数，a2b22a4b8的值( )(A)总是正数 (B)总是负数(C)可以是零 (D)可以是正数也可以是负数三、二次根式1分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程2二次根式的意义 |a|也可以写成|a|例1 将下列式子化为最简二次根式：(1)；(2)(a0)；(3)(x0)例2 计算：(3)例3 试比较下列各组数的大小：(1)和；(2)和2例 4 化简：(1)；(2)(0x1)练习1(1)_；(2)若(x3)，则x的取值范围是_；(3)4632_；(4)若x，则_2等式成立的条件是 ( )(A)x2 (B)x0 (C)x2 (D)0x23若b，求ab的值4比较大小：2 (填“”，或“”)5(1)(2)18(2)19_；(2)若2，则a满足的条件是_；(3)_第2课时 数与式(二)一 、分式例1 若对于一切不为0且不为2的实数x，求常数A，B的值例2 (1)试证：(其中n是正整数)；(2)计算：；(3)证明：对任意大于1的正整数n，有；例3 设e，且e1，2c25ac2a20，求e的值练 习1对任意的正整数n， ()2若a，b，则_3若x2xy2y20，xy0，则_4正数x，y满足x2y22xy，求的值5计算：(1)；(2)6试证：对任意的正整数n，有二、分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例1 分解因式：(1)x23x2； (2)x24x12； (3)x2(ab)xyaby2； (4)xy1xy2提取公因式法与分组分解法例2 分解因式：(1)x33x23x9； (2)2x2xyy24x5y63关于x的二次三项式ax2bxc(a0)的因式分解若关于x的方程ax2bxc0(a0)的两个实数根是x1，x2，则二次三项式ax2bxc(a0)就可分解为a(xx1)(xx2)例3 把下列关于x的二次多项式分解因式：(1)x22x1；(2)x24xy4y2 练 习1多项式2x2xy15y2的一个因式为 ( )(A)2x5y (B)x3y (C)x3y (D)x5y2分解因式：(1)x26x8； (2)8a3b3；(3)x22x1； (4)4(xy1)y(y2x)3分解因式：(1)a31； (2)4x413x29； (3)b2c22ab2ac2bc； (4)3x25xy2y2x9y44在实数范围内因式分解：(1)x25x3； (2)x22x3； (3)3x24xyy2； (4)(x22x)27(x22x)125ABC三边，满足a2b2c2abacbc，试判定ABC的形状6分解因式：x2x(a2a)第3课时 一元二次方程一、一元二次方程根的判别式对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，有当0时，方程有两个不相等的实数根x1，2；(2)当0时，方程有两个相等的实数根x1x2；(3)当0时，方程无实数根例1 判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根(1)x23x30； (2)x2ax10；(3)x2ax(a1)0； (4)x22xa0 二、根与系数的关系(韦达定理)若一元二次方程ax2bxc0(a0)有两个实数根x1x2；x1x2特别地，对于一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1x2p，x1x2q，所以，方程x2pxq0可化为x2(x1x2)xx1x20例2 已知方程5x2kx60的一个根是2，求它的另一个根及k的值例3 已知关于x的方程x22(m2)xm240有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值例4 已知两个数的和为4，积为12，求这两个数例5 若x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根(1)求| x1x2|的值；(2)求的值；(3)求xx的值说明 设x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0(a0)，则|x1x2|例6 若关于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围练习：1若关于x的方程mx2(2m1)xm0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 _2(1)若方程x23x10的两根分别是x1和x2，则 (2)方程mx2x2m0(m0)的根的个数情况是 (3)以3和1为根的一元二次方程是 3已知|b1|0，当k取何值时，方程kx2axb0有两个不相等的实数根？4设方程x23x10的两根分别为x1和x2，求(x13)(x23)的值第4课时 二次函数的三种表示方法1一般式：yax2bxc(a0)；2顶点式：ya(xh)2k(a0)，其中顶点坐标是(h，k)3零点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标例1 已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线yx1上，并且图象经过点(3，1)，求二次函数的解析式例2 已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式例3 已知二次函数的图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次函数的表达式练习1函数yx2x1的图象与x轴的交点的个数是_2(1)已知二次函数的图象与x轴交于点(1，0)和(2，0)，则该函数的解析式可设为ya (a0)(2)二次函数yx22x1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 3根据下列条件，求二次函数的解析式(1)图象经过点(1，2)，(0，3)，(1，6)；(2)当x3时，函数有最小值5，且函数的图象经过点(1，11)；(3)函数图象与x轴交于两点(1，0)和(1，0)，并与y轴交于(0，2)习题：1(1)已知某二次函数的图象与x轴交于A(2，0)，B(1，0)，且过点C(2，4)，则该二次函数的表达式为 (2)已知某二次函数的图象过点(1，0)，(0，3)，(1，4)，则该函数的表达式为 2已知某二次函数图象的顶点为A(2，18)，它与x轴两个交点之间的距离为6，求该二次函数的解析式3某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5km以内，票价2元；(2)5km以上，每增加5km，票价增加1元(所增加的里程，不足5km的按5km的按5km计算)已知两个相邻的公共汽车站间相距1km，如果沿途(包括起点站和终点站)有21个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式，并画出函数图象4已知二次函数ya(x)225的最大值为25，且方程a(x)2250两根的立方和为19，求函数表达式第5课时 二次函数的图象与性质 例1 求二次函数y3x26x1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值)，并指出当x取何值时，y随x的增大而增大(或减小)？并画出该函数的图象练习：1下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 ( ) (A)y2x2 (B)y2x24x2(C)y2x21 (D)y2x24x2(1)二次函数y2x2mxn图象的顶点坐标为(1，2)，则m ，n (2)已知二次函数yx2(m2)x2m，当m 时，函数图象的顶点在y轴上；当m 时，函数图象的顶点在x轴上；当m 时，函数图象经过原点(3)函数y3(x2)25的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x 时，函数取最 值y 3用配方法把下列函数式化成的形式，并指出开口方向，对称轴和顶点坐标：（1）（2）4画出下列函数的大概图象，并说出为何值时随增大而增大，为何值时，随增大而减小（1）； （2） （3）yx22x3； （4）y16 xx2例2求把二次函数yx24x3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位例3求把二次函数y2x24x1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：（1）直线x1；（2）直线y1练习：1把函数y(x1)24的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为_2把函数y2(x3)23的图象关于直线x1对称后，所得图象对应的函数解析式为 _3把函数y2(x3)23的图象关于直线y2对称后，所得图象对应的函数解析式为 _4把二次函数y2x2+4x1的函数图象向 平移 单位后，得到的图象所对应的解析式为y2x27；再向 平移 个单位后，得到的图象所对应的解析式为y2x21；再将其关于 对称后得到的图象所对应的函数解析式为y2x25例4某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间关系如下表所示：x /元130150165y/件705035若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？图1x1x2Oyx第6课时 一元二次不等式观察图1，可以看出，一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集就是二次函数yax2bxc的图象(抛物线)位于x轴上方的点所对应的所有的x值因此，求解一元二次不等式可以先解相应的一元二次方程，确定抛物线与x轴的交点坐标，再根据图象写出不等式的解例1 解下列不等式：(1)x27x120； (2)x22x30；(3)x22x10； (4)x22x20例2 解下列不等式：(1)2x25x30； (2)3x2x40；(3)2x24x30； (4)9x26x10例3 解关于x的不等式x2(a3)x3a0练习：1解下列不等式：（1）3x2x40； （2）x2x120；（3）x23x40； （4）168xx20 2解关于x的不等式x22x1a20（a为常数）例4 已知不等式ax2bxc0的解集为区间(1，3)，你能分别写出下列不等式的解集吗？如果能，你能说出你这样写的理由吗？(1)ax2bxc0的解集为_；(2)ax2bxc0的解集为_；(3)cx2bxa0的解集为_练习： 已知不等式ax2bxc0（a0）的解是求不等式bx2axc0的解例5 不等式3x2bx20的解为全体实数，求b的取值范围例6 解不等式(x2)(x1)2(x1)2(x2)0第7课时 函数综合应用例1 已知反比例函数y与一次函数ykx3的图象相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）（1）求k的取值范围；（2）试用k表示| x1x2|；（3）若x12x225，求k的值和A，B两点的坐标练习：已知反比例函数y与一次函数yx6的图象相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且2x1x26（1）求k的值；（2）求AOB的面积小结：（1）函数与方程；（2）待定系数法例2 在同一坐标系中，利用描点法画出下列函数图象 （1）y；（2）y；（3）y练习：利用图象平移画出函数y2的草图小结：（1）平移变换规律；（2）函数y的草图ACBDP例3 如图所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD移动一周后，回到A点设点A移动的路程为x，PAC的面积为y（1）求函数y的解析式；（2）画出函数y的图像；（3）求函数y的取值范围练习：5432某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5km以内，票价2元；（2）5km以上，每增加5km，票价增加1元（所增加的里程，不足5km的按5km的按5km计算）已知两个相邻的公共汽车站间相距1km，如果沿途（包括起点站和终点站）有21个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式，并画出函数图象小结：分段函数的概念练习：1已知函数 则当x4时，y ；当x4时，y 2作出函数y|x2|(x1)的图象3通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，下面函数表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（y越大，表明学生注意力越集中），y （1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ （2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？ （3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？第8课时 分式方程与无理方程问题 甲乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个和乙做60个用到的时间相等，求甲乙每小时各做多少个？例1 解方程 1例2 解下列分式方程：（1）2； （2）x23x50练习：解下列分式方程：（1）1； （2）7小结：解分式方程的步骤：例3解下列无理方程：（1）x1； （2）； （3）练习：解下列无理方程：（1）1； （2）x1（3）2小结：解无理方程的步骤：习题：1解方程 2解方程 *3解方程 第9课时 三元一次和二元二次方程组的解法例1 解下列三元一次方程组：（1） （2）练习：解方程组：（1） （2）例2解方程组例3解方程组 练习：解下列方程组:（1） （2）（3） （4）习题：1在等式yax2bxc中，当x1时y0；当x2时，y3；当x5时，y60求a、b、c的值2解方程组：第10课时 平行线分线段成比例定理引例： 已知线段AB，求作：线段AB的四等分点平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.例1在ABC中，D，E为边AB，AC上的点，DEBC，求证：结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.练习：1如图，下列比例式正确的是（ ）A B C D.2如图，求.3如图，D是ABC的边AB上的一点，过D点作DE/BC交AC于E.已知AD：DB=2：3，则SADE：S四边形BCDE等于_4若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是，则梯形的上、下底长分别是_.5如图，已知ABC周长为1，连结ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为_EABDCO例2如图，ABO中，点C是B关于点A的对称点，点D是靠近点B的线段BO的一个三等分点，DC，AO交于点E求OE：OA例3在ABC中，AD为BAC的平分线，求证：角平分线性质定理：角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.练习：1如图，在ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD=CE，DE延长线交BC的延长线于F.求证：.2如图，BD、CE是ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ：BC_3如图，已知ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F，则的值为_4如图，梯形ABCD中，AD/BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF/AD（1）求证：OE=OF；（2）求的值；（3）求证：.例4在ABC中，D，E为边AB，AC上的点，求证：DEBC结论：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边例5如图，梯形ABCD中，ABCD，M为AB的中点，分别连结AC、BD、MD、MC，且AC与MD交于E，DB与MC交于F，（1）求证：EFCD；（2）若AB2a，CDb，求EF. 第11课时 三角形例1如图，在直角三角形ABC中，BAC为直角，ADBC于D.求证：（1）AB2BDBC，AC2CDCB； （2）AD2BDCD注：该题结论称为射影定理例2 在正方形ABCD中，已知E，F分别为BC，CD边的中点，求证：AEBF练习：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且ECBC，求证：AFE90.三角形的“四心”：重心，内心，垂心，外心例3求证：三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.例4 若三角形的内心与重心为同一点，求证：该三角形为等边三角形概念：等边三角形四心合一，该点称为等边三角形的“中心”例5已知等边三角形ABC的边长为a，求其外接圆半径R和内切圆半径r例6已知等边三角形ABC和其内部一点P，设点P到三边AB，AC，BC的距离分别为，三角形ABC的高为，求证：思考：当点P在ABC外的其它位置时，还有可能得到其它的结论?提醒：面积法例7在ABC中，ABAC3，BC2，求（1）ABC的面积SABC及AC边上的高BE；（2）ABC的内切圆的半径r；（3）ABC的外接圆的半径R.练习：1若ABC的面积为S，且三边长分别为，则三角形的内切圆的半径是_；2若直角三角形的三边长分别为（其中为斜边长），则三角形的内切圆的半径是_，外接圆半径是_；3在ABC中，G是重心，ABC的面积为1，则GBC的面积是_；第12课时 圆一、直线与圆相交时研究弦的相关问题1圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等 推论2：直径所对的圆周角等于90，90的圆周角所对的弦为直径2圆内接四边形的对角互补例1 圆内接四边形ABCD的三个内角A：B：C3：2：7，求A，B的度数3垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧 垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧在RtOMA中，OA为圆的半径r，OM为圆心到直线的距离d，MA为弦长AB的一半，根据勾股定理，有r2d2()2例2 如图，已知O的半径OB5，弦AB6，D是弧AB的中点，求弦BD的长度例2 已知圆的两条平行弦的长度为6和2，且这两条线的距离为3，求这个圆的半径练习1圆内接四边形ABCD的四个内角A：B：C：D的可能取值是（ ） A1：2：3：4 B2：3：4：5 C5：4：3：1 D5：4：2：32已知弓形弦长为4，弓形高为1，则弓形所在圆的半径为_3在半径等于4的圆中，垂直平分半径的弦长为_ 4AB为O的直径，弦CDAB，E为垂足，若BE=6，AE=4，则CD等于_5如图，O的半径为17，弦AB30，AB所对的劣弧和优弧的中点分别为D，C，求弦AC和BD的长6如图，已知在RTACB，C90，AC5，BC12以C为圆心，CA为半径的圆交斜边于D，求AD7已知四边形ABCD是O的内接梯形，ABCD，AB8，CD6，O的半径等于5，求梯形ABCD的面积二、直线与圆相切1当圆心到直线的距离dr时，直线和圆相离；当圆心到直线的距离dr时，直线和圆相切，当圆心到直线的距离dr时，直线和圆相交2切点与圆心的连线与圆的切线垂直，同时过切点且与圆的切线垂直的直线过圆心3相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等4切割线定理：从圆外一点引圆的一条切线和一条割线，切线长是这一点到割线与圆的两个交点的线段的等比中项例3 如图，O的直径AB和弦CD相交于点E，AE1，EB5，DEB60，求CD的长练习1O的直径AB与弦AC的夹角为30，切线CD与AB的延长线交于点D，若O的半径为3，则CD的长为_2如图，在O中，E是弦AB延长线上的一点，已知OB10，OE12，OEB30，求AB三、圆与圆例4 设O1与O2的半径分别为3和2，O1O24，A，B为两圆的交点，试求两圆公共弦AB的长度例5 设O1与O2的半径分别为2和7，O1O213，求O1与O2的外公切线长练习1设O1与O2的半径分别为3和8，O1O213，求O1与O2的公切线长第13课时 分类讨论一、几何量的位置关系或数量关系不确定引起的分类讨论例1平面上A、B两点到直线k距离分别是2与2，则线段中点C到直线k的距离是 二、数学概念和公式引起的分类讨论有些数学性质、公式或定理在不同条件下有不同的结论，或是结论在一定限制条件下才成立，这就要在教学的过程中逐步体现分类讨论思想。例2 化简： 练习：解方程|x+2|+|3x|=5三、参变量的不同取值引起的分类讨论例3判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根（1） x2ax(a1)0； （2）x22xa0练习：1关于x的方程(m4)x2(2m1)xm0，当m为何值时，方程有实根？例4 解不等式(a1)xa21练习：2解关于x的一元二次不等式x2ax10（a为实数).例5 如图（1）边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标为（0，2），一次函数yxt的图象l随t的不同取值变化时，位于l的右下方由l与正方形的边围成的图形面积为S（阴影部分）（1）当t取何