原件和系统运动方程的建立.doc

22 元件和系统运动方程的建立用解析法列写元件或系统微分方程的一般步骤是：(1) 根据具体工作情况，确定各元件或系统的输入、输出变量。(2) 从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理（或化学）定律，列写出各元件、各部件的动态方程。(3) 消去中间变量、写出元件或系统输入、输出变量之间的微分方程。(4) 标准化。将与输入有关的各项移至等式右侧，与输出有关的各项移至等式左侧，并按降幂排列。最后将系数归化为具有一定物理意义的形式。下面举例说明建立微分方程的步骤和方法。【例21】 机械振动系统（弹簧质量阻尼器系统），如图2-1所示。弹簧常数为k ，质量为m ，阻尼系数为f ，设系统的输入量为外作用力，输出量为质量块的位移，试写出外力，与质量位移之间的动态方程。解根据机械系统中的基本定律牛顿定律，则有或 （2-1）假定m 、k 、f均为常数，则上式就是二阶常系数线性微分方程。等式两边同除以k ，将方程中的最低阶导数项的系数化为“1”，则有（2-2）令，或，（2-3）将式（2-3）代入（2-2）式，得（2-4）式中T具有时间量纲，称为时间常数时间常数的倒数，称为系统的自然频率或无阻尼自由振荡频率（或无阻尼振荡频率）。，为一个无量纲参量，称为相对阻尼系数当=1时，有，这时的阻尼系数称为临界阻尼系数，常用表示；机械系统处于“临界状态”。若1.即，系统具有振荡性质。当1,即时，机械系统不再具有振荡性质。而为系数实际阻尼系数与临界阻尼系数之比值，因此称为相对阻尼系数（或系统的阻尼比）。显然不可能有量纲。，有时也简称为阻尼比（阻尼系数）。可见，方程（2-4）的系数已归一化成具有一定物理意义的形式。因此，常常把输出量的最低导数项的系数化为“1”的方程称为标准形式。这时方程每一项的系数均具有时间量纲，且时间量纲的幂次等于对应项导数的阶次。式（2-4）还可以表示成另一种标准形式，即将输出的最高阶导数项的系数化为“1”，并令，则有（2-4a）究竟采用哪一种形式，要以研究方便为原则来进行选择。【例22】RLC无源网络如图2-2所示。试求输出电压与输入电压之间的运动方程。解根据电路理论中的克希荷夫定律，可写出 （2-5） （2-6）消去上两式的中间变量i，稍加整理，即可得（2-7）假定R、L、C都是常数，则上式即为二阶常系数线性微分方程。同样，可令，或， （2-8）将式（2-8）代入式（2-7）并整理，可得如下标准形式（2-9）同样若令，可将上式表示为另一种标准形式（2-9a）【23】试写出图2-3所示扭转弹簧系统的运动方程。图中为外作用扭矩(输入)，为输出角位移。解 由图示可见，一个惯性矩为J的圆盘，在一根扭转弹簧（弹簧常数为）的约束下自由运动。当转角朝正向增大时，弹簧缠紧，产生一个与输入力矩相反的力矩。同样，负方向的转动使弹簧放松也会产生一个相反的力矩恢复力矩。此恢复力矩与角位移成正比。象直线运动的系统一样，转动系统也出现由粘阻系数引起一个与角速度成正比例的阻尼力矩。根据机械系统中的基本定律牛顿定律，则有或（2-10）式中、均为常数，则上式为二阶常系数线性微分方程。将上式（2-10）写成标准形式，即的最低阶导数项的系数化为“1”，并令，或， （2-11）将方程（2-11）代入式（2-10），得标准形式（2-12）或（2-12a）将式（2-4）、（2-9）和（2-12）进行比较可知，虽然系统的物理性质不同，但描述其运动的微分方程却有相同的形式。因此，它们具有相同的运动特性，从研究运动的角度出发，它们并没有本质区别。可见，用微分方程来研究系统的运动是具有普遍意义的。另外，微分方程描述了输入和输出在运动状态下的关系。如果系统已进入稳态，即输入、输出都不再变化，那么它们的各阶导数都应为零，则方程（2-4）、（2-9）和（2-12）就分别为并把它们称为稳态方程（或静态模型），稳态方程是动态方程的特殊形式。通常把稳态下输出与输入之比称为放大系数，或增益。【例24】他激直流电动机如图2-4所示，电机输入电压为，激磁电流为常值。试求电机输入电压与输出量（转子的角速度）之间的关系解电动机是由电气元件和机械元件组合而成的。因此，列写方程时，既要用到电路理论中的定律，也要用到力学定律。一台电动机从输入量（电压）到输出量（转速）之间的物理过程大致如下：输入电压在电枢回路中产生电枢电流，电枢电流与激磁磁通相互作用产生主动转矩，主动转矩克服负载转矩（包括摩擦转矩），使电机轴获得角加速度，于是电机轴就开始转动产生角速度（有关电动机工作原理参见第2-4节之四）。因此，可以按照上述过程列写方程。根据克希荷夫定律：楞次定律：安培定律：牛顿定理：为了求得输入电压与转速之间得关系，消去中间变量、和，稍加整理，就可得 （2-13）可见，方程（2-13）为一个二阶微分方程。考虑到电机中电枢绕组的电感一般较小，其影响可以忽略不计，因此式（2-13）可简化为 （2-14） 令 ，则有 （2-15）式中具有时间量纲，称为电动机的机电时间常数。的量纲为（），表示每单位输入电压产生的稳态转速。的量纲为（），表示负载转矩对转速的影响，前面的负号表示当负载转矩增加时转速下降。若、和均为常数时，则式（2-15）就是一阶常系数线性微分方程。另外，在随动系统中，常常以电机的转角作为输出量这时方程（2-15）则有如下形式 （2-16）在一般小功率随动系统（如仪表随动系统）中，折算到电机轴上的负载转矩很小，可略去不计。于是就有 （2-17）【例25】系统运动方程的列写。以图17所示的随动系统中为例。首先将随动系统原理图画成方框图，如图2-5所示。这样，系统的组成元、部件及其相互关系，信号的传递及变换过程就很清楚了。然后，就可依次列写各元、部件的方程。比较元件 （2-18a）电位器 （2-18b）放大器（2-18c）电动机（2-18d）减速器（2-18e）在方程组（2-18ae）中，消去中间变量，和，并稍加整理即得式中，量纲为，将上式写成标准形式，即有若其中和均为常数，则图17所示的随动系统的运动方程也是一个二阶常系数线性微分方程。同样，可令，或，则有（2-19）或（2-19a）比较前面所举例子，可以看到，虽然它们的物理性质各不相同，但是描述它们运动的数学模型都是二阶常系数线性微分