变异数分析的认识与应用.doc

變異數分析的認識與應用張忠樸1. 分合之間用直交表來作實驗，它最大的好處就是可減少實驗次數，其奧妙之處全在於妥善地使用了合字訣，將各種因子的影響都擠壓在同一個樣本上，若說天下事 分久必合，合久必分之理也可應用在實驗計劃（D.O.E）上，那麼，直交表只能解決分久必合的問題，而實驗之後的數據如何能夠合久必分再還原成各因子本來的面目？這個時候就要靠分字訣的變異數分析法（Analysis of Variance簡稱ANOVA）了。 2. 剪得斷，理不亂要將合在一起的東西分開不難，難的是如何分得恰到好處，分開之後脈絡更加分明，頭緒更加清楚，這才是重點，也才是分字訣的精髓所在。ANOVA為何能掌握此一精髓呢？其根本原因在於ANOVA是奠基在經得起搖撼的偏差平方和的理論基礎上。長久以來，統計學家就證實了當一元配置時： ST=SA+SeST:總偏差平方和SA:A因子各水準之偏差平方和Se:誤差平方和這種統計理論甚至可以圖1表示。透過圖1的幫助我們可更容易明白，當任何一組數據在未被分解之前，其ST就已經存在了，故分解之目的主要就是希望能看出到底ST主要是由SA造成的？還是由Se造成的？如果ST主要是由SA造成的，那麼基本上我們可以認為：A因子對最後結果有相當大的影響，反之，A因子對結果的影響則不顯著了。3. 變異數分析的基本想法以上這種邏輯雖然是ANOVA的基礎，但是卻並非ANOVA的全貌，若回到偏差平方和的原點我們可以得知若樣本（n）愈多，S一定會水漲船高，因此，若只從SA或Se來判斷A因子是否顯著，而不問樣本大小（n）之影響，則有失其公允性，統計學家為了讓人們能心服口服，因此，又導出不偏變異數的理論，其公式如下：VA=SA/AVA:A因子的不偏變異數（所謂不偏變異數，就是指不受到樣本大小影響之變異數）SA：A因子之偏差平方和A：A因子之自由度（通常是A因子的水準數減1）同理：Ve=Se/e由於VA及Ve都分別過濾掉了呼朋引伴n的膨漲效應，因此，可以作出更公平的比較。此一比較可表示如下：FA=VA/Ve以上之FA愈大就表示A因子影響愈顯著，若我們設定冒險率（通常取5%或1%），那麼查F分配表就可以獲得F0值，只要FA大於F0那就表示A因子對結果有顯著影響。以上這種推理過程就是ANOVA的基本想法。 4. 變異數分析的步驟以上變異數分析，將原始實驗數據逐步分解的過程，可以圖示如下：步驟一：透過數據構造模型將總偏差平方和分解成各因子之偏差平方和（實例如表1）ST=SA+SB+SC+.+Se表1步驟二：將偏差平方和（Si）修正還原成不偏變異數（Vi）VA=SA/AVB=SB/B:Ve=Se/e步驟三：進行變異數檢定（F檢定）FA=VA/VeFB=VB/Ve步驟四：找出顯著因子若FAF0(0.05)則FA為顯著因子(*)FAF0(0.01)則FA為極顯著因子(*) 5. 變異數分析表上述之變異數分析的步驟，其實也就是電腦程式的流程圖，因此近幾年來有許多統計程式集（如STATGRAPHIC , SPSS等）只要求將實驗數據輸入，它就會幫使用者產生ANOVA表，例如某一實驗其原始配置及數據如下：表2以上數據輸入PC程式集後，則會產生ANOVA表（如表3）。（合併後之ANOVA，合併原則請參考第九章）表3 ANOVA RESULT透過ANOVA表，那些因子該是主角？而那些因子只是龍套？就可一目瞭然了，因此ANOVA分析其功用非常像實驗室中的離心機，經過高速離心後，顯著因子就自然被篩選出來了，上例中各因子之貢獻率帕拉圖如下圖所示。 6.由ANOVA導出KNOW-HOW根據上述之ANOVA分析，我們可以獲得下列KNOW-HOW：1. 對結果影響最顯著因子是：因子對結果之影響程度（貢獻率）高達52.91%。 2. 對結果影響之顯著因子是：因子對結果之影響程度（貢獻率）為10.39%。 3. 經此實驗證實A/G/D/F/I等五個因子對結果之影響均無足輕重，因此可從成本孰低，成效孰高之原則來選擇A/G/D/F/I在生產上該用那一水準，（例F1水準成本甚低，F2水準成本很高，則經此實驗後因證明F1/F2對結果之差異很小，所以可以大膽來使用F1作量產條件。） 4. 本個案之初步較佳條件為C2,B1,A1,D2,F1,G1,H2（若要獲得更嚴謹之最適條件則可進行第二階段之後續實驗）。 5. 由於誤差項（e）之貢獻率高達26.44%，這顯示在原始實驗的A/B/C/D/F/G/H等因子之外，還有一些可能被遺漏之因子，值得在後續實驗中再加以探索證實。 以上五點都是透過ANOVA而得到的重要技術情報，也就是一般俗稱的KNOW-HOW。用D.O.E的方式來做實驗為什麼一定比傳統試錯法的方式更有效呢？其原因之一是可透過直交配列表（請參考第六章，第七章）而大量減少實驗次數，降低實驗成本，而更大的好處是透過變異數分析（