北航《电磁场理论》实验课(一).doc

北京航空航天大学 电磁场理论实验课 实验课（一）实验课（一）为静态电磁场问题的科学计算和图形演示的综合实验，涵盖了静态电磁学的基本理论和静态电磁学问题的基本计算公式，以及镜像法、分离变量法、矩量法等工程电磁场分析方法。本实验课将借助专业数学软件Mathematica 对电磁学问题进行编程求解和形象化图形展示, 以综合培养学生应用数学软件进行科学计算和形象化演示的能力和意识。实验要求：1. 熟悉静态电场和磁场的基本理论和计算公式；2. 掌握经典静态电磁场问题的计算方法及求解步骤；3. 了解专业数学软件(Mathematica)的编程和图形演示功能。实验内容： 实验1、多个点电荷的电位场分布空间假设真空中有位于xoy平面内的2个点电荷，电荷1和电荷2的初始电荷量为q1= -q2=q=10(-10)C，初始位置分别位于(-1,0)和(1,0) ,试用Mathematica软件编写程序，动态演示该两电荷所激发的电位场在点(-2,-2)到点(2,2)所围矩形空间的分布随电荷大小和电荷位置的变化情况。电荷1电荷量的变化范围为（-2*q, 2*q）, 电荷2电荷量的变化范围为（-3*q, 3*q），两电荷位置在点(-1,-1)到点(1,1)所围矩形空间内任意变化。解：设无限远处的电位为零，则这两个点电荷激发的电位场为：程序代码：ClearAllGlobal*;eps=8.854*10(-12);q=10(-10);ManipulateContourPlot(q1/Normx,y-p1+q2/Normx,y-p2)/(4*Pi*eps),x,-2,2,y,-2,2,Contours-10,ContourStyleBlack,ContourLabelsTrue,q1,q,-3*q,3*q,Appearance-Open,q2,-q,-3*q,3*q,Appearance-Open,p,-1,0,1,0,-1,-1,1,1,Locator,Deployed-True输出结果：注意：可以通过鼠标调节电荷量和电荷位置。练习题：若由2个电荷改为 3个电荷，该如何编程？其中，q3=10(-10)C，初始位置为(0,0) ,电荷大小的变化为（-4*q, 4*q）。实验2、线电荷的电位和电场分布设真空中有一沿x轴放置的长为L=2m的有限长线电荷，电荷线密度为, 求其在xOy平面内某点P(x,y)的电位和电场强度分布，并用等值线图展示xOy平面上的电位场分布、用三维曲面图演示xOy平面上的电场强度大小分布。解：线电荷在点P(x,y)处的产生的电位可以通过积分求得：然后由，可以求出电场强度的空间分布。求解过程中应利用Mathematica的积分函数Integrate来求出电荷分布在xoy平面内产生的电位，再利用微分函数D求出电场强度的分量表达式。程序代码：ClearGlobal*;L=2;lambda=4*Pi*eps0;Vx_,y_=1/(4*Pi*eps0)*Integratelambda/Sqrt(x-l)2+y2,l,-L/2,L/2,Assumptionsx0&y0&L0;PrintV=,Vx,yExx_,y_=-DVx,y,x/FullSimplify;Eyx_,y_=-DVx,y,y/FullSimplify;Emx_,y_=SqrtExx,y2+Eyx,y2;PrintEm=,Emx,yContourPlotVx,y,x,-2,2,y,-2,2,Contours-Tablen,n,0.5,10,0.5,AxesLabel-x,y,AspectRatio-Automatic,ContourLabels-TruePlot3DEmx,y,x,-2,2,y,-2,2,PlotRange-0,32,PlotPoints-30,AxesLabel-x,y,Em输出结果： 练习题：若线电荷的电荷密度为非均匀分布，随x的变化关系为：，尝试通过修改程序重新求解该题。实验3、金属丝上的电荷分布设真空中有一沿轴放置的长为的金属丝，半径为, 在其上引入电荷Q=1pC,求达到平衡后该线上的线电荷密度分布及其在xOy平面内某点P(x,y)的电位分布。解：设无限远处的电位为零，则金属丝在任意点处的产生的电位可以通过积分求得： 假设金属丝表面处的电位为，如上图所示，将该金属线的分为N段， 每段长度为。当N很大时，每段上的电荷密度近似均匀，设第n段上的电荷密度为， 则金属丝表面处的电位可以近似表达为：式中， 。选择金属丝表面N个位置点为，则可以得到N个方程：。写成矩阵的形式：，即式中，：，。另外，金属线上的总电荷为由上式以及上面的N个方程，可以求解出V0和，。程序代码：ClearGlobal*;eps0=1/(36*Pi)*10(-9);Q=1*10(-12);L=2;a=0.001;Nd=100;dx=L/Nd;xb=n*dx;xa=(n-1)*dx;xm=(m-1/2)*dx;Z=Table Log(xb-xm)+Sqrt(xb-xm)2+a2-Log(xa-xm)+Sqrt(xa-xm)2+a2,m,1,Nd,n,1,Nd;b=Table1,m,1,Nd;rho=4*Pi*eps0*V0*LinearSolveZ,b;solV0=SolveTotalrho*dxQ,V0;rho=rho/.solV01;figure=Tablen*L/Nd,rhon,n,1,Nd;ListPlotfigure,PlotRange-0,2,0,1*10(-12),Joined-True,Mesh-All,AxesLabel-x,chargedensitypC/mVx_,y_=Sum1/(4*Pi*eps0)*rhon*dx/Sqrt(x-n*dx)2+y2,n,1,Nd;ContourPlotVx,y,x,-1,3,y,-2,2,Contours- 7,AxesLabel-x,y,AspectRatio-Automatic,ContourLabels-Trueeps0=1/(36*Pi)*10(-9);输出结果： 思考题：为什么金属线上的电荷分布是非均匀的？电位场与实验2的结果有什么差别？实验4、导体球的镜像法（教材P136）如图所示设一点电荷q=100*0库仑位于一个半径为a=1.5m的接地导体球外，与球心的距离为d=3m，试用等值线图展示导体球外的电位分布，并求出导体球外表面上的感应电荷密度和总电荷量。解：根据镜像法原理和球体对称性，假设镜像电荷为q，位于球心和点电荷q的连线上且与球心的距离为d, 则由q和q产生的电位场表达式为： 导体球接地，在处，对于任何，均有，可以求得 ， 因此，球外的电位函数为： 球上的感应电荷面密度为导体球面上的总感应电荷为： 程序代码：ClearGlobal*;rPq=Sqrtr2+d2-2*r*d*Costheta;rPql=Sqrtr2+dl2-2*r*dl*Costheta;V=1/(4*Pi*eps0)*(q/rPq+ql/rPql);eq1=Seriesq2*(dl2+r2-2*dl*r *Costheta)-ql2*(d2+r2-2*d*r*Costheta),Costheta,0,1/.r-a;sol1=SolveSeriesCoefficienteq1,0=0,SeriesCoefficienteq1,1=0,ql,dl;V=V/.sol11/FullSimplify;phos=Simplify-eps0*DV,r/.r-a, Assumptions-a0,d0;Print表面电荷密度,phosqin=IntegrateIntegratephos*a2*Sintheta,theta,0,Pi,Assumptions-da0,q0,phi,0,2*Pi;Print总电荷,qinq=100*eps0;d=3;a=1.5;V1=V/.r- Sqrtx2+y2,Costheta- x/Sqrtx2+y2;VVx_,y_:=V1/;Sqrtx2+y2a;VVx_,y_:=0/;Sqrtx2+y215,ContourStyle-Black,ContourLabels-True,GraphicsGray,Disk0,0,a输出结果：练习题：观察点电荷附近区域电位场分布随导体球半径的变化情况。试验证：若a趋于零，电位场分布趋近于点电荷的电位场分布。实验5、无穷长平行导线的磁场分布如图所示，设真空中有2条无穷长平行直导线相隔距离为d=2m，载有大小相同而方向相反的稳恒电流I1A, 空间任意一点P(x,y)的矢位A和磁感应强度B，并用图形直观地展示B的方向和大小的空间分布。解：设两导线所在的平面为x-O-z平面，以两导线距离相等的O点作为原点，设z轴与两导线平行，x轴与两导线相交，根据对称性，矢位和磁感应强度都与z无关，故可以取z=0平面内的任意一点P(x,y)作为场点计算和。P点处的矢位为两导线在在该处所产生的矢位之和，即其中，a和b为P点到两线的距离, 。由上式求出P点处的矢位后，再根据公式即可求的P点出的磁感应强度。程序代码：ClearGlobal*;Az=mu0*i/(4*Pi)*(Integrate1/Sqrtl2+a2,l,-z,z,Assumptions-z0,a0-Integrate1/Sqrtl2+b2,l,-z,z,Assumptions-z0,b0);A=FullSimplifyLimit0,0,Az,z- Infinity,Assumptions-a0,b0,a0,b0;Cond=a-Sqrt(x-d/2)2+y2,b- Sqrt(x+d/2)2+y2;A=A/.Cond/Simplify;PrintA=,ANeedsVectorAnalysis;SetCoordinatesCartesianx,y,z;B=CurlA/FullSimplify;PrintB=,BBm=SimplifySqrtB.B,i0,mu00,d0;PrintBm=,Bmd=2;mu0=4*Pi*10(-7);i=1;Bxx_,y_:=B1;Byx_,y_:=B2;Bax_,y_:=Bm;NeedsVectorFieldPlots;VectorFieldPlotBxx,y,Byx,y,x,-2,2,y,-2,2,PlotPoints- 18Plot3DBax,y,x,-2,2,y,-2,2,BoxRatios-1,1,0.5,PlotPoints-30,PlotRange-0,0.000001输出结果： 实验6、空心磁介质圆柱的分离变量法（教材P156）如图所示，在外加均匀恒定磁场，有一磁导率为的磁介质构成的无限长圆柱形空腔，内外半径分别为a=1m和b=2m，求圆柱形空腔内外的磁场和屏蔽系数，并用图形展示标量磁位线和横截面的磁场大小三维图。解：将介质空间分为、三个区域，设其对应的标量磁位分别为,。参考教材第153页，可以知道圆柱坐标系中的分离变量法的通解为：再根据待求解问题的对称性，可以知道 ,的实际表达式形式为:其对应区域的磁场强度为:; ; 在圆柱形空腔的内外表面处，磁场强度H切向分量连续，磁感应强度B在界面上法向方向连续，因此有；求解以上方程，即可求得F1, F2, F3的表达式，进而求得圆柱形空腔内外的磁场H1,H2,H3。所以屏蔽系数为： 。程序代码：ClearGlobal*;Vm1=F1*rho*Cosphi;Vm2=F2*rho*Cosphi+F3*Cosphi/rho;Vm3=-H0*rho*Cosphi+F4*Cosphi/rho;NeedsVectorAnalysis;SetCoordinatesCylindricalrho,phi,z;H1=-GradVm1;H2=-GradVm2;H3=-GradVm3;eq1=(H12/.rho-a)=(H22/.rho-a);eq2=(H22/.rho-b)=(H32/.rho-b);eq3=(mu0*H11/.rho-a)=(mu*H21/.rho-a);eq4=(mu*H21/.rho-b)=(mu0*H31/.rho-b);coeff=Solveeq1,eq2,eq3,eq4,F1,F2,F3,F4/Simplify;F1=F1/.coeff1;PrintF1=,F1F2=F2/.coeff1;PrintF2=,F2F3=F3/.coeff1;PrintF3=,F3F4=F4/.coeff1;PrintF4=,F4(*屏蔽系数*)screen=F1/H0;Print磁屏蔽系数=,screena=1; b=2; H0=12;mu=10*mu0;Vm1=Vm1;Vm2=Vm2;Vm3=Vm3;H1=H1;H2=H2;H3=H3;(*转换为直角坐标*)Vmd1=SimplifyVm1/.phi-ArcTany/x,rho-Sqrtx2+y2;Vmd2=SimplifyVm2/.phi-ArcTany/x,rho-Sqrtx2+y2;Vmd3=SimplifyVm3/.phi-ArcTany/x,rho-Sqrtx2+y2;Vmdx_,y_:=Vmd1/;x2+y2a2;Vmdx_,y_:=Vmd2/;a2x2+y2b2;Hd1=SimplifyH1/.phi-ArcTany/x,rho-Sqrtx2+y2Hd2=SimplifyH2/.phi-ArcTany/x,rho-Sqrtx2+y2Hd3=SimplifyH3/.phi-ArcTany/x,rho-Sqrtx2+y2Hdx_,y_:=NormHd1/;x2+y2a2;Hdx_,y_:=NormHd2/;a2x2+y2b2;aa=ContourPlotVmdx,y,x,-4,4,y,-4,4,ContourShading- False,Contours-40;bb=ShowGraphicsCircle0,0,1,Circle0,0,2,AspectRatio- Automatic;Showaa,bbPlot3DHdx,y,x,-4,4,y,-4,4,PlotPoints-50,AxesLabel-x,y,H输出结果：思考题：为了提高磁介质材料圆柱的磁屏蔽作用，应调整哪些结构和电磁参数。尝试通过修改上述程序中的参数，观察磁屏蔽效果的变化。附加实验：实验7、平行板电容器的金属板电荷密度分布和实际电容如图所示，有一由两个平行金属薄板构成平行板电容器连接到某电压源上，上、下板电压分别为正、负1.5V，金属板的长度为a=0.04m，宽度为b=0.04m ，两板的间距为d=0.02m,。板间电介质为空气，介电常数为0。考虑忽略和不忽略边缘效应两种情况下，试求金属平板上的面电荷密度和电容器的电容。解：如果忽略边缘效应，并假设板上的电荷以及板间的电场是均匀的，则有表面电荷密度为：式中，S为板的面积。可以得到均匀电场强度：则该平行板电容器的电容（理论值）：若不忽略边缘效应，则金属板上的电荷分布是不均匀的，以上的电场分布在边缘处也是非均匀分布的，必须根据计算面电荷的电位场积分公式，然后对上下金属板进行空间进行离散，采用矩量法的方法求解处电荷密度分布和总电荷量。程序代码：ClearGlobal*;eps0=1/(36*Pi)*10(-9);V1=1.5;V2=-1.5;a=0.04;b=0.04;d=0.001;Cap1=eps0*a*b/d;Print理论电容=,Cap1rhos1=Cap*(V2-V1)/(a*b);Print理论电荷密度=,rhos1(*矩量法求解*)Ndx=20;Ndy=20;dx=b/Ndx;dy=a/Ndy;NT=Ndx*Ndy;ym1=(Modm-1,Ndy+1/2)*dy-a/2;xm1=(Quotientm-1,Ndy+1/2)*dx-b/2;yn1=(Modn-1,Ndy+1/2)*dy-a/2;xn1=(Quotientn-1,Ndy+1/2)*dx-b/2;ym2=(Modm-NT-1,Ndy+1/2)*dy-a/2;xm2=(Quotientm-NT-1,Ndy+1/2)*dx-b/2;yn2=(Modn-NT-1,Ndy+1/2)*dy-a/2;xn2=(Quotientn-NT-1,Ndy+1/2)*dx-b/2;lZ=TableBoole(mNT)&(nNT)&(nNT)*Sqrt(xm2-xn2)2+(ym2-yn2)2/(dx*dy)+Boole(m