圆的补充题(教师).docx

创思教育70期圆综合补充练习1、（2013年紫荆二模）如图，在ABC中，AB=AC，A=30，以AB为直径的O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交O于点P，连结CP、OP，OP交AC于点G（1）BD=DC吗？说明理由；（2）求BOP的度数；（3）求证：CP是O的切线； 解：（1）BD=DC理由如下：连接AD，AB是直径，ADB=90，ADBC，AB=AC，BD=DC；2、（2013文园3模）如图1，O是ABC的外接圆，AB是直径，ODAC，且CBD=BAC，OD交O于点E（1）求证：BD是O的切线；（2）若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；（1） 证明：AB是O的直径，BCA=90，ABC+BAC=90，又CBD=BAC，ABC+CBD=90，ABD=90，OBBD，BD为O的切线；（2）证明：连CE、OC，BE，如图，OE=ED，OBD=90，BE=OE=ED，OB=BE=OE，OBE为等边三角形，BOE=60，又ACOD，OAC=60，又OA=OC，AC=OA=OE，ACOE且AC=OE，四边形OACE是平行四边形，而OA=OE，四边形OACE是菱形；3、（2012文园二模）如图，在等腰梯形ABCD中，ADBCO是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E过E作EHAB，垂足为H已知O与AB边相切，切点为F（1）求证：OEAB； （1） 证明：在等腰梯形ABCD中，AB=DC，B=C，OE=OC，OEC=C，B=OEC，OEAB（2）证明：连接OFO与AB切于点F，OFAB，EHAB，OFEH，又OEAB，四边形OEHF为平行四边形，EH=OF，4、（2013香洲一模）如图，ABC内接于O，BAC=60，BC，AB边上的高AE，CF相交于点H试证明： （1）FAH=CAO；（2）四边形AHDO是菱形 10（2） 过点O作OMAC于M，AC=2AM，CFAB，BAC=60，AC=2AF，AF=AM，在AFH与AMO中，FAH=CAO，AF=AM，AFH=AMO，AFHAMO，AH=OA，OA=OD，AH平行且等于OD四边形AHDO是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），又OA=OD，平行四边形AHDO是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）5（2013文园一模2012苏州）如图，已知半径为2的O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2x4）（1）当x= 时，求弦PA、PB的长度；（2）当x为何值时，PDCD的值最大？最大值是多少？考点：切线的性质；二次函数的最值；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质（2）过O作OEPD，垂足为E，PD是O的弦，OEPD，PE=ED，又CEO=ECA=OAC=90，四边形OACE为矩形，CE=OA=2，又PC=x，PE=ED=PC-CE=x-2，PD=2（x-2），CD=PC-PD=x-2（x-2）=x-2x+4=4-x，PDCD=2（x-2）（4-x）=-2x2+12x-16=-2（x-3）2+2，2x4，当x=3时，PDCD的值最大，最大值是2点评：此题考查了切线的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键6（2014实验二模）（9分）如图，点D是O的直径CA延长线上一点，点B在O上，且DBA=BCD（1）根据你的判断：BD是O的切线吗？为什么？（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且BEF的面积为10，AFC的面积为20，试求BFA的度数考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有分析：（1）连结BO，则可得BAO=ABO，由AC为直径结合已知DBA=BCD，可得DBO=90可证得结论；（2）可证得BFEAFC，可得出，可求得AFB为45解：（1）BD是O的切线，理由如下：连结BO，如图BO=AOBAO=ABOAC为直径BAO+ACB=90DBA=BCDDBA+ABO=90即DBO=90OBDBBD是O的切线（2）由圆周角定理可知BEF=ACF，EBF=CAFBFEAFC，AFB=45点评：此题主要考查切线的判定方法及相似三角形判定和性质的应用，其中第二问是难点，解决的关键是利用三角形相似找到AF和BF之间的关系，结合三角函数求得7（2014年实验一模）（9分）已知：如图，在RtABC中，C=90，BAC的角平分线AD交BC边于D（1）以AB边上一点O为圆心，AD为弦作O（要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）判断直线BC与O的位置关系，并说明理由；（3）若（1）中的O的半径为2，O与AB边的另一个交点为E，BD=2，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积（结果保留根号和）考点：圆的综合题；平行线的判定与性质；切线的判定；扇形面积的计算；特殊角的三角函数值菁优网版权所有解答：解：（1）作线段AD的垂直平分线，交AB于点O，以点O为圆心，OA为半径作O，如图1，O即为所求作（2）直线BC与O相切证明：连接OD，如图2OA=OD，OAD=ODAAD平分CAB，BAD=CADODA=CADODACODB=ACBACB=90，ODB=90，即ODBC直线BC与O相切（3）连接OD，如图3，则ODBC（已证），阴影部分的面积就是所求图形的面积在RtODB中，OD=2，BD=2，tanDOB=DOB=60S扇形ODE=SODB=ODDB=22=2，S阴影=SODB=S扇形ODE=2线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积为2点评：本题考查了线段垂直平分线的作法、切线的判定、平行线的判定与性质、扇形的面积公式、特殊角的三角函数值、等腰三角形的性质、角平分线的定义等知识，有操作、有计算、有证明，具有一定的综合性，是一道好题8（2015文园一模）（2014河北）图1和图2中，优弧所在O的半径为2，AB=2点P为优弧上一点（点P不与A，B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A（1）点O到弦AB的距离是1，当BP经过点O时，ABA=60；（2）当BA与O相切时，如图2，求折痕的长：（3）若线段BA与优弧只有一个公共点B，设ABP=确定的取值范围考点：圆的综合题；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；切线的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出ABA（2）根据切线的性质得到OBA=90，从而得到ABA=120，就可求出ABP，进而求出OBP=30过点O作OGBP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长（3）根据点A的位置不同，分点A在O内和O外两种情况进行讨论点A在O内时，线段BA与优弧都只有一个公共点B，的范围是030；当点A在O的外部时，从BA与O相切开始，以后线段BA与优弧都只有一个公共点B，的范围是60120从而得到：线段BA与优弧只有一个公共点B时，的取值范围是030或60120解答：解：（1）过点O作OHAB，垂足为H，连接OB，如图1所示OHAB，AB=2，AH=BH=OB=2，OH=1点O到AB的距离为1当BP经过点O时，如图1所示OH=1，OB=2，OHAB，sinOBH=OBH=30由折叠可得：ABP=ABP=30ABA=60故答案为：1、60（2）过点O作OGBP，垂足为G，如图2所示BA与O相切，OBABOBA=90OBH=30，ABA=120ABP=ABP=60OBP=30OG=OB=1BG=OGBP，BG=PG=BP=2折痕的长为2（3）若线段BA与优弧只有一个公共点B，当点A在O的内部时，此时的范围是030当点A在O的外部时，此时的范围是60120综上所述：线段BA与优弧只有一个公共点B时，的取值范围是030或60120点评：本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识，考查了用临界值法求的取值范围，有一定的综合性第（3）题中的范围可能考虑不够全面，需要注意9（2015紫荆一模）（2012兰州）如图，RtABC中，ABC=90，以AB为直径的O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE（1）判断DE与O的位置关系并说明理由；（2）求证：BC2=2CDOE；（3）若tanC=，DE=2，求AD的长考点：切线的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形菁优网版权所有专题：计算题；证明题分析：（1）连接OD，BD，求出ADB=BDC=90，推出DE=BE=CE，推出EDB=EBD，OBD=ODB，推出EDO=EBO=90即可；（2）BD=x，CD=2x，在RtBCD中，由勾股定理得出（x）2+（2x）2=16，求出x，求出BD，根据tanABD=tanC求出AD=BD，代入求出即可；（3）根据tanC=设BD=x，CD=2x，DE=2，在RtBCD中根据勾股定理得出BD的长，再根据两角互补的性质得出ABD=C，故可得出tanABD=tanC，即tanABD=，由此即可得出结论解答：解：（1）DE与O相切，理由如下：连接OD，BD，AB是直径，ADB=BDC=90，E是BC的中点，DE=BE=CE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），EDB=EBD，OD=OB，OBD=ODB，OBD+DBE=ODB+EDB，即EDO=EBO=90，ODDE，OD是半径，DE与O相切（2）证明：E是BC的中点，O点是AB的中点，OE是ABC的中位线，AC=2OE，ACB=BCD，RtABCRtBDC，=，即BC2=CDAC，BC2=2CDOE；（3）tanC=，可设BD=x，CD=2x，DE=2，在RtBCD中，BC=2DE=4，BD2+CD2=BC2（x）2+（2x）2=16，解得：x=（负值舍去）BD=x=，ABD+DBC=90，C+DBC=90，ABD=C，tanABD=tanC，tanABD=，AD=BD=答：AD的长是点评：本题综合考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线性质，切线的判定等知识点，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，注意：证切线的方法，方程思想的运用10（2015实验一模）（2011广安）如图所示，P是O外一点，PA是O的切线，A是切点，B是O 上一点，且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q（1）求证：PB是O的切线；（2）求证：AQPQ=OQBQ；（3）设AOQ=，若，OQ=15，求AB的长考点：切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形菁优网版权所有专题：几何综合题；压轴题分析：（1）连接OP，与AB交于点C欲证明PB是O的切线，只需证明OBP=90即可；（2）根据相似三角形的判定定理AA证明QAOQBP，然后由相似三角形的对应边成比例求得=，即AQPQ=OQBQ；（3）在RtOAQ中根据勾股定理和三角函数的余弦值的定义解得QB=27，利用（1）的结论求得PQ=45，即PA=36，又由勾股定理知OP=12；然后由切线的性质求AB的长解答：（1）证明：连接OP，与AB交于点CPA=PB，OA=OB，OP=OP，OAPOBP（SSS），OBP=OAP，PA是O的切线，A是切点，OAP=90，OBP=90，即PB是O的切线；（2）证明：Q=Q，OAQ=QBP=90，QAOQBP，=，即AQPQ=OQBQ；（3）连OP并交AB于点C，在RtOAQ中，OQ=15，cos=，OA=12，AQ=9，QB=27；=，PQ=45，即PA=36，OP=12；APO=APO，PAO=PCA=90PACPOA，=，PAOA=OPAC，即3612=12AC，AC=，故AB=点评：本题综合考查了切线的判定与性质、相似三角形与全等三角形的判定与性质、解直角三角形以及勾股定理图形中的线段的求法，可以通过特殊角的三角函数值、切线的有关知识及勾股定理求解11（十中月考改编版）（2015大连模拟）如图，RtABC中，C=90，D在AB上，BE平分ABC交AC于点E，以BD为直径的圆经过点E，交BC于点F（1）求证：AC为O的切线；（2）若AB=10，BC=6，求BF的长考点：切线的判定菁优网版权所有分析：（1）根据切线的判定定理，垂直经过半径外端直线是圆的切线，连接OE，只要得出EOEC即可得出；（2）由勾股定理求得AC，根据平行线的性质，求得AOEABC，从而求得AE：OE：OA=AC：BC：AB=4：3：5，设AE=4x，则OE=3x，OA=5x，由OE=OD=3x，求得AD=OAOD=2x，进而求得AD=2x=，BD=10=，连接DF，根据DFAC，求得=，即可求得BF的长解答：（1）证明：连接OE，BE平分ABC交AC于点E，ABE=E