非线性方程组的数值求解.doc

第四章 非线性方程组的数值求解习题4.11考虑，讨论的4种情况下的解各等于什么？2用图解法研究方程组的解大致等于什么？3先用图解法大致判断解的位置，再用消元法求解。4查阅数学手册，用卡丹方法分别求解。5解4次分圆方程。6证明实系数次代数方程的共轭根必定成对出现。习题4.21用Gerschgorin圆盘定理作方程和的实根的定位，求出根的隔离区间。2设为矩阵的谱半径，用圆盘定理直接证明3若阶矩阵不可约，有一特征值在的一个圆盘的边界上，证明：的个圆盘的边界均通过。4用Gerschgorin圆盘定理隔离矩阵的特征值，再用实矩阵特征值的性质，改进得出的结果。5用二分法求函数的零点。初始有根区间长度为1，问迭代6次后有根区间的长度为多少？需要用函数表达式吗？若在初始区间上函数有符号变化，问二分法的收敛速度与要求是单根还是重根有关系吗？ 6应用二分法求方程在区间0， 1上误差不超过的近似根，应对分多少次，并求其根。7对的根进行隔离，并用二分法计算所有的实根。8在1，2上用二分法解，精度要求和，对分各多少次数？9用二分法求在0，4上的根，精度要求和，对分各多少次数？10用二分法求的一个正根和一个负根，精度要求。11在求根问题上，为了讨论根对方程系数的敏感性，应采用绝对条件数还是相对条件数？为什么？12对题7，设一次项的系数受扰动影响变为3.01，试研究用二分法求解的结果变化情况，你有什么认识？习题4.31用不动点迭代求解非线性方程的解，在下列两种情况下，哪一个收敛更快？(1)在处函数有水平切线；(2) 在处函数有垂直切线。请给出理由。2设，选择初始值，用迭代格式 (1)；(2)求解实根，并判定迭代格式的收敛性，对收敛的格式计算10步，给出误差估计。3确定求方程的正根的不动点迭代格式的收敛区间，并求出满足的近似根。如果要求近似根的误差，最少应迭代几步？4求的近似值。5在1.4，1.6内有一根，有3种迭代格式：(1)；(2);(3)。判断它们是否满足迭代收敛的条件，哪一个最好？取，求出方程的根，要求准确到5位有效数字。6用不动点迭代求在区间内的零点，并用松弛法和Aitkin 法加速。7求在1，1.5内的根，如果不收敛，能否用Aitkin 法加速？8求的根。如果收敛很慢，分别用松弛法和Aitkin法加速。9用迭代法证明：函数满足积分方程。10设不动点迭代函数在不动点*处的导数值，证明此迭代产生的序列至少超线性收敛。11用收敛的不动点迭代法求解下列方程的根(1)；(2)，并分别用松弛法和Aitiken方法加速，比较两者的结果。（准确到小数点后第5位。）12将改写为，为常数，若是方程的根，且 欲使收敛于,该如何选取常数c。13证明：Aitiken加速迭代法的收敛阶至少为2。14证明下列5个函数有相同的不动点，且这些不动点恰好是的零点： ；。已知的零点为2，3，4，对于得每一个零点，验证用上述5个函数中的哪个不动点迭代能收敛到相应的零点.15已知的满足，如何利用构造一个收敛的不动点迭代函数，使其构成的不动点迭代收敛。16设不动点迭代 是满足定义域与Lipschitz的条件的迭代，*是其不动点，L为Lipschitz常数，为第k次迭代的误差，证明：.17设是函数的不动点，且。若迭代线性收敛，证明：Steffensen迭代为二阶收敛。习题4.41用Newton 法求的最大根，先用MATLAB 画出函数图像，由图像得出初始值。如用不动点迭代，能否收敛？如果收敛，哪个更快？为什么？2分别用不动点迭代，Aitkin 加速法和Newton 迭代法求的正根并作比较，误差不超过。3用Newton法求的值，使与相切，要求计算结果不少于4位有效数字。4用Newton 法和割线法求在区间1，2内的根，精确到5位有效数字。5是的几重零点？取，分别用Newton 法和球重根的Newton 法求，精确到。6用割线法解题5中的方程，取，精度要求相同。7分别对下列函数讨论Newton 法的收敛性和收敛速度：(1)，(2)。8写出Newton法解的迭代式，讨论收敛性和收敛速度，并研究对初始值的要求。9写出Newton法解和，分别导出求的迭代公式，讨论它们的异同，研究收敛性及其收敛速度，并求。你有什么体会？10证明迭代法与求解方程的割线法等价，并研究在浮点运算时，该公式与割线法迭代式相比，有何优缺点？11用Newton法求解，每步迭代都要计算的导数。假设用一个常数代替导数，迭代格式为。(1)满足什么条件的，可使迭代格式局部收敛? (2)收敛速度为多少？ (3)是否存在使收敛速度达到二阶的？12下列解的迭代公式中，哪一个是正确的？ 1）； 2）； 3）； 4）。13用割线法求解的根的过程中，若某次迭代有或（不同时），则。14考虑方程的最小正根问题。给定(1)Newton法；(2); (3)。研究它们的收敛性及其收敛速度。15将单位长度的均匀杆一端固定，另一端为自由状态，其振动频率满足，选择合适的方法，求其最小的正根。16由中子迁移理论，燃料棒临界长度为的根选择合适的方法，求其最小的正根。17伞兵打开降落伞前下落的垂直距离满足方程，其中为下落时间，是重力加速度，是与空气阻力有关的常数。求下落1km所需时间。综合习题四1设为实对称矩阵，则其特征值问题可以写成如下非线性方程组形式；记，证明：若是的单特征值，则Jacobi 矩阵非奇异。2用圆盘定理对的根定位，分别用不动点迭代法，Newton法，割线法求解，并作比较。取。3 证明由定义的函数在0，1是压缩的，但是不存在不动点。如果，又将如何？又，你的结论又如何？4如果阶实矩阵的所有Gerschgorin圆盘互不相交，则是实数。5证明用二分法求解得到的迭代序列线性收敛，且。6设阶实矩阵为严格对角占优或不可约弱对角占优，其对角元均为正，则7 设连续函数在内只有一个根，将区间3等分，得中间2个分点，加上2个端点。试仿照二分法，设计三分法，给出计算步骤；分析算法的特点，与二分法比较，有何优劣？8方程有多少个根，分别用二分法，不动点迭代和牛顿法求这些根，精确到4位有效数字。9用二分法在区间1，2上解，要求。10设，欲使迭代收敛到，问得取值范围为（ ）。11确定求方程的正根的不动点迭代格式的收敛区间，并求出满足的近似根。如果要求近似根的误差，最少应迭代几步？12写出求方程的最大根的保证收敛的不动点迭代格式，给出收敛的理由，并求出这个最大根，精确到。13验证在1，2内有唯一的实根，能否肯定对任意初始值，Newton 迭代序列都收敛于？14是光滑函数的不动点，且，证明：当初值充分接近时，迭代至少二阶收敛。15 Newton法与割线法求解(1) 的正根，(2)的一切正根; (3) 的至少2个根（精确到小数点后第3位）。16若初始有根区间为0，2，用二分法求方程的解，估计精确到4位小数时迭代次数。17在许多求根方法的推导过程中，都隐含着孤立零点的假定。如果存在一个只包含这个零点的开区间，称函数的某个零点时是孤立的。研究函数在区间（0，1）内有多少个零点？每个零点都孤立吗？18利用Newton 法导出下列各式的迭代格式：(1)，不使用除法；(2)，不使用开方和除法。19求解，用消元法求出关于的方程，用二分法解之，给出几何意义。20将方程，改写为，且有迭代格式，。证明：(1) 它有一实根在(1,2)中；(2) 对任意初值，由此迭代格式，产生序列收敛于。21设迭代函数满足条件(1)在上有根；(2)；(3)，证明：由出发，所得的迭代序列单调递增收敛于方程在原问题最小根。22设初值及迭代格式，为常数。(1)若收敛，求此极限。(2)证明：迭代序列收敛的充要条件是。23迭代法，对任意初始值收敛否？如收敛，收敛于何值？如不收敛，说明理由。24考虑迭代格式，显然是一个不动点。证明时，迭代不收敛，但是用Steffensen加速迭代是收敛的。25设为正实数，导出用Newton法求的公式，并证明迭代序列有以下性质：(1) ；(2)序列严格单调递减；(3)误差，满足。26设在上有根，且。证明：对任意，迭代格式，当时都收敛。并求出使收敛最快的。27设在上有根，又将方程等价地写成,假定对任何实数都容易得到方程在区间中的一个根.于是可建立迭代格式。假设对所有的都有，而且。证明该迭代格式收敛。28证明：(1)用割线法求解的迭代域为，； (2)如或，必有；(3)对任意，上述迭代公式产生的序列均收敛于。29推广第28题，把改为。30设有迭代公式，。（1）证明：；（2）当时，则有，且；当时，则，且；（3）均收敛于，并给出收敛阶。31证明：迭代式，, 三次收敛于根。32设，由，可知，但序列收敛很慢，试用外推加速技术，计算，使误差。33用Aitken法对迭代公式 k =0,1,2,进行加速，计算之值。34取初值，分别用迭代公式：（1）； （2），k =0,1,2。计算的正根，比较两次迭代的收敛速度，分析所的结果。35用Steffensen方法求下列方程的根，使误差。（1），（2）。36用割线法求方程的根，要求。37设为方程设计了迭代格式。证明：（1）对任意初值，迭代序列收敛；（2）取=4，求该方程误差不超过0.001的近似根。38设是方程的重根，证明：牛顿法对该根仅为线性收敛。39设 证明：(1) 方程 仅有一个正根；(2) ；(3) 。40用迭代法求方程的根。要求迭代序列具有平方收敛。则_。41牛顿法可求代数方程的虚根。试用牛顿法求在附近的根。42应用牛顿法于方程和，分别导出求的迭代公式，并求。43若用函数的二次Taylor展开作为函数的近似，就可构造出一种求解非线性方程的迭代解法，此法称为Cauchy方法。设，为该方程的第次近似根，可将二次方程 的最接近于的一个根作为方程的第次近似根。试建立该方法的计算公式，并证明当，且在的邻域有界时，Cauchy迭代法至少3阶收敛。 44试确定常数，使迭代公式产生的序列收敛到，使收敛阶尽可能高。45设在其零点附近满足，连续，证明：Steffensn迭代法在附近平方收敛。46设为的单根，考虑迭代两次计算一次导数值的牛顿迭代法：,证明：该迭代局部收敛，具有3阶收敛阶，并计算的值。47已知，证明：映射是压缩映射。48设，其中是压缩映射，作图形象地表示它。49分别用Jacobi迭代法解和Newton法解50设，(1)用消元法求关于x的一次方程；(2)用Newton法解之，取.51设,求在附近的解。分别用消元法，牛顿迭代法和同伦+牛顿法解。52 设，(1)证明该方程组存在唯一一组解；(2)用适当的迭代法求出其解，精确到3位有效数字。53设,(1)应用压缩映射原理证明，本题迭代函数在中存在唯一的不动点；(2)用不动点迭代法求解方程组，要求。54设，(1)计算的Jacobi阵，并求出使奇异的值；(2) 构造不动点迭代格式，并证明其收敛性； (3)用Newton法求解本题。55用牛顿法求的解。初值分别取。观察迭代序列收敛于那组解，及收敛速度。56方程重根数的计算方法 本章4.3节介绍了求解m重根的第二修正牛顿法，但需要知道重根数m。下面是计算m的一种方法。设，。记，又记，其中。证明：(1); (2) ；(3)计算 的根的重根数m。 下一章将讨论矩阵特征值问题的数值方法。这里收集了几个来自不同领域的矩阵特征值问题。 57二次曲面分类问题 空间中，二次曲面一般方程可表为，用矩阵记法=，其中。记二次项部分 。理论上二次曲面共有17种，包括椭球面，单叶双曲面，双叶双曲面，双曲抛物面，椭圆抛物面，二次锥面，二次柱面以及个种退化类型等。显然，不同的曲面是有不同的参数决定的。问题是怎么确定的？由解析几何理论知，二次曲面分类本质上取决于二次项部分，一次项部分只影响曲面中心的位置。注意到二次项部分 是关于坐标的实对称二次型，存在着一个正交矩阵，使其正交对角化，即 。于是。记的3个正交列向量分别为 ，则可得，故。这就是矩阵的特征值问题，它的特征向量就是正交矩阵的3个列。对称矩阵的3个特征值是实数，可能有正有负甚至0。它们的不同组合形成了二次曲面的不同分类。例如，当3个特征值全为正时，对应的二次曲面是椭球面，而3个对应的特征向量则是椭球面3根主轴在中的指向。因此，的特征值问题的解就决定了二次曲面分类，特征对的几何意义十分清楚。58数据处理中的主成分分析问题 设描述某个对象的特征信息由随机变量表示。当其维数很高时使用不很方便，希望能用更少的维数信息来描述该问题，当然，不能影响正确地刻画对象，这是主成分分析的由来。的协方差矩阵反映了信息间的关联。设的协方差矩阵为，它非负定。为了实现主成分分析，考虑分量的线性组合。设个单位向量，作,得。希望中的前几个能够反映问题信息的主要内容，这等于要求中的前几个的方差尽可能大。如果达到这样的要求，则称中的前几个为问题的主成分。设的协方差矩阵的特征值为，相应的正交单位化向量为，记，则。设为第1主成分，令，请证明： ，当且仅当时，上式等号成立，即。故在约束条件下，当时，达到最大，从而为第1主成分。同理也可求出第2，3，4等主成分。因此，求主成分的前提是解原信息的协方差矩阵的特征值问题，这里特征值对应着诸主成分的方差。59力学系统的微振动问题 由理论力学知，无阻尼n维自由度力学系统的自由微振动可用下列微分方程组来描述：，用矩阵记法 。（*）其中质量矩阵中个元素是系统动能的二次型表达式中的系数，动能总是正的，故为对称正定；刚度矩阵中各元素是系统势能的二次型的系数，总是正定或半正定的，故为对称正定或半正定。假设系统偏离平衡位置作微幅振动，即，为振幅，或向量记法，代入（*），并注意到谐函数不恒为零，故有 （*）记， 那么（*）属于一个广义特征值问题。解出特征对，系统各坐标的解显式地表示出来，根据迭加原理原方程组的解，全部求出。因此求解特征值问题（*）是关键。一般的力学系统的维数很高，远高于前2个问题，可达数万，矩阵的结构是稀疏的，有时还不一顶正定，因此，求解这样的特征值问题的挑战远高于前2个问题。特征对刻画了振动系统最本质的属性：正是力学系统的固有频率，而表示的是系统的固有振型，或各坐标的振动幅度相对大小。本特征值问题突显了该力学系统的本性。数 值 实 验 四数值实验题4. 1 算法的设计和性能比较研究实验目的 体会求解非线性方程的各种算法收敛性，收敛率和对初值的要求。实验题 根据韦达定理，任一首项系数为1的3次方程(+)的3个根，可能全为实根，也可能有1个实根2个共轭复根，它们满足非线性方程组(*)。这两个方程（组）是等价的。任给一个3次多项式，可导出对应的韦达方程组。实验步骤与要求 (1)任给一个3次多项式，编一个逐次搜索的程序，对(+)作根的定位，确定实根的位置区间，或判定该方程实根的根数； (2)设计迭代法求(+)全部根（对复根需要用复初始值）。用至少3个方程来测试你的程序，观察收敛性，收敛率，以及初始值对算法的影响。(3)同样编出解(*)的Newton迭代的程序，比较与(2)的结果。（计算精度为） 数值实验题4.2 牛顿法收敛域的结构和局部收敛性实验目的 牛顿法对初值要求很高，通过牛顿法解复方程，来看复平面上使算法收敛的初始点构成的区域是什么样子，余下的区域则是不收敛的那些点构成的。实验题 复数方程 (1)。实验步骤与要求 (1)方程有3个复根，推导求复根的牛顿格式；(2)选择中心位于原点，边长位的正方形内的点为初始点，用你推导的迭代格式进行计算；(3)试用某种规律将正方形内的10000个点作初始点，收敛的初始点记为红色，不收敛的点记为白色；看这两大区域成什么形状？(3)对Smale方程 也进行这样的研究，有什么不同的结果？数值实验题4.3 一般迭代格式的复杂行为实验目的 一些看来比较简单的确定性迭代格式，会反映出复杂的“混沌”行为，通过计算，初步认识混沌现象。实验题 迭代格式 实验步骤与要求 (1)取中20个值，进行迭代计算，在同一张坐标纸画出与之间的函数曲线；(2) 观察这些线交替重迭后的图像，你能看出什么规律性的现象？数值实验题4.4 非线性方程组的数值求解实验目的 认识与体会各种方法求解非线性方程组的特点和性态。实验题 ； 实验步骤与要求：（精度均取5位有效数字）(1) 设计收敛的不动点迭代格式，求解上述两方程组，注意迭代次数； (2)分别用牛顿法，高斯-牛顿法解它们，比较两种方法的特点，你认为何者更好？(3)拟牛顿法求解上述两个方程组；(4)比较这些方法的优缺点，画出各法的收敛路线，给出你的评论。(5)考虑“同伦+牛顿法”，在解方程组上如何应用？第五章 矩阵特征值问题的数值方法习题5.11用代数方法求解5阶Hilbert矩阵的特征值问题；若计算更高阶矩阵，代数方法方便吗？2给定矩阵，求它们的谱半径；用第1与第2圆盘定理估计它们的特征值，估计精度如何？在复平面上表示出来。适当选择，作，使各矩阵模最大或模最小特征值的估计更准确。3设，求2阶非奇异矩阵，使相似对角化，并计算的1-范数。 4试用Schmindt正交化矩阵的各列的方法，将题2中的诸矩阵作Schur三角化。5证明：第2圆盘定理。6验证矩阵可对角化，但不能对角化。7证明矩阵在实数域中不能对角化，但在复数域内可对角化。8设是矩阵的特征值，是对应的特征向量，即。证明是的特征值，且对应的特征向量不变。又设，则恰为矩阵的特征值，对应的特征向量保持不变，仍是，并再证明就是的特征值。9证明例1.1中的矩阵只有一个特征值，其特征子空间为一维；若在位置处有一扰动，则受扰动后的矩阵有个线性无关的特征向量。10的特征值为，分别求这3个特征值的条件数。11设，试对题6的两个矩阵（一个为对称，另一个非对称）分别计算对应的Rayleigh商，对此你有什么认识？12设为阶对称正定矩阵，证明：谱半径。13设为阶不可约矩阵，至少有一个严格不等式成立，则。14设为阶对称实矩阵，为其最大特征值，证明：。15例1.1在处受的扰动，。取验证对特征值的扰动为。习题5.21设，分别用形式为和来生成，各需要多少次乘法运算？为什么两者不同？哪个更好？2，用代数方法求出其特征值（为模最大）及其特征向量，将画在2维坐标平面上。任取初始向量，用乘幂法求的特征值，将其生成的依次画出，观察变化趋势的快慢与其特征值之比的关系。若与垂直（这称为在上无投影分量），那么乘幂法能进行下去吗？请用数学方法解释这个现象。3分别用乘幂法和反乘幂法求下列矩阵的按模最大和最小的特征值及其特征向量： ， ， 要求相对误差不超过。4用收缩方法求题3中3个矩阵的按模第2大特征值。5对3阶Hilbert矩阵，用乘幂法和反乘幂法求其按模最大和最小的特征值及其特征向量。6设，用带位移的乘幂法求其按模最大的特征值及其对应特征向量。先由乘幂法迭代若干次，观察结果，适当选择位移量，加速收敛。7求矩阵最接近于2.05的特征值及其对应的特征向量8设有个线性无关的特征向量，其特征值，证明：对任意初始向量，用乘幂法产生的收敛于对应的一个特征向量。9在乘幂法迭代中，令，乘幂法是否收敛？为什么？和原来的定义做比较，哪一种更好？ 10给定，能否用乘幂法求按模最大特征值对应的左特征向量，并写出迭代过程？和用乘幂法求按模最大特征值的右特征向量相比较，它们有多大区别？11证明：用原点平移法求主特征值时，平移量取，乘幂法迭代速度最快。习题5.31判别下列矩阵是投影矩阵还是幂等矩阵：，。2证明：投影矩阵满足对称性，半正定性和幂等性。3证明：幂等矩阵的特征值只能是0和1。4设Householder 向量为，试写出相应的Householder 矩阵。5设，求的正交子空间，分别计算在方向和在上的投影，并构造关于的反射变换矩阵，计算反射的结果，在平面上画出所有结果。6用Householder变换将变为，求Householder矩阵；若要求变为，又如何？画出相应的图。7在性质7的条件下，如果取，则构成的反射矩阵使 。8考虑将用反射矩阵变为基向量的倍，证明当时，。若要求变为的倍，结果将如何？若是，一般结果又如何？请仔细研究。9将向量分别反射到坐标轴上，求出相应的反射矩阵和反射结果。10将向量分别反射为，求相应的反射矩阵和反射对称直线的方程。若变为，又将如何？11将向量用Givens旋转变换变为，求旋转矩阵。若要变为，能否用旋转变换实现？如可以，求出旋转矩阵，若不行，该怎么处理？12用Schmidt正交化方法，将作QR分解。13用Householder变换作的QR分解：。14用Givens 变换对题13的矩阵作QR分解。15对例3.2按（3.15）重新计算一次，并估计一般情况下常规方法和按（3.15）计算的QR分解的时间复杂度。16设为列满秩矩阵，证明存在阶正交矩阵和矩阵，使，其中，为上三角矩阵。17设为列满秩矩阵，证明存在诸行标准正交的阶矩阵和上三角矩阵，使。18设，则有单特征值和重数为的特征值1。19若，证明存在Givens 矩阵之积，使。习题5.41用Rutishauser的LR算法，对矩阵计算4步，观察的（2，1）元素是否越来越小，而对角元素是否越来越趋于矩阵的特征值？2设，证明QR算法产生的序列，。3分别估计用反射变换和旋转变换对阶矩阵作QR 分解的时间复杂度。4设为上三角矩阵，有分解，其中为酉矩阵，为上三角复矩阵，证明 其中每个是模为1的复数。5在题4条件的基础上，定义，再对分解，其中为酉矩阵，为上三角复矩阵，定义，不断重复这个过程，研究的极限。在什么条件下，的极限存在？如果是实矩阵，上述命题怎样改变？6设，计算一步QR迭代，（1）不带平移；（2）带第1种平移。7用QR方法求的全部特征值，精确到4位有效数字。8用带位移的QR方法计算和的全部特征值，精确到小数点后4位。9将上梯形化；将三对角化。10设，先将其上梯形化，再用带位移双重步QR方法求出全部特征值（有共轭特征值）。11阶矩阵经过平面旋转的正交相似变换后得到上梯形矩阵，估计需要的乘法次数。12用带位移反乘幂法求题8和题10的相应特征向量。综合习题五设为Hermite矩阵，其中和为阶实矩阵。证明为实对称矩阵。和的特征值和特征向量有何关系？设为Hermite矩阵，证明的单特征值相对应的右特征向量和左特征向量平行。若是的一对共轭特征值，对应的特征向量为，则与必线性无关。 4设，为矩阵，且非奇异，则和相似。5若为阶Hermite矩阵，则对于的任意对角元，必定有的特征值，使得。6设矩阵的特征值满足，证明：。7设，是中两个非零向量，对非零，作。(1)若，则是属于的零特征值的特征向量；(2)若为非零向量，则必为的特征向量，对应的特征值为。(3)证明：若为秩1矩阵，则可从任一非零向量出发，至多用两次矩阵与向量的乘法，计算出的一个特征值及其特征向量。8设线性方程组的某种迭代格式产生的向量序列收敛于元方程组的解，且迭代矩阵的特征值满足。证明：，其中足够大。9用反幂法求矩阵接近12的特征值和相应的特征向量。10有，且有2个Jordan子块。能否用乘幂法来求？ 11设满足乘幂法的基本条件（指特征值和特征向量）。任取非零向量，在方向的分量，。证明：由迭代公式产生的序列收敛于。又问，这样能求吗？给出理由。 12是否存在实参数使矩阵的所有特征值(1)是实数；(2)虚部都不为零。如不存在，给出理由；若存在，给出取值范围。13设实矩阵有特征值，使，其中。14设，和均为零子块。若是的一个特征值，相应的特征向量为，是的一个特征值，相应的特征向量为。试证：和都是矩阵的特征值，并求出对应的特征向量。15设的特征值满足，对应的特征向量线性无关，试证明：对于适当选取的初始向量，用作乘幂法得到的向量序列收敛于。16用圆盘定理判断矩阵特征值分布，并用带原点平移的反幂法求的所有特征值。17设为的实对称矩阵，特征值分布满足，相应的特征向量为，满足，。设满足。考虑迭代 ，。定义，若，这里、分别表示向量、的第个分量；Rayleigh商。证明：(1)对于任意满足的，有；(2)。18在Wieldant收缩过程中，取，其中和分别是特征值对应的右特征向量和左特征向量，的含义见Wieldant收缩一节。为了使得的关于特征值的条件数最小，如何选取？19设为对称矩阵，和是的特征值和特征向量，且。设存在正交矩阵，使得，证明，的第一行和第一列除了位置上的元素之外其余元素都是零。若不是对称矩阵，的稀疏结构又是如何？20给定矩阵的一个特征值9和特征向量，利用题18的结果作为一种收缩方法，求的其它特征值和特征向量。21设是不可约的Hessenberg矩阵。证明存在对角矩阵，使得的每个次对角元都为1。若的次对角元都小于1或都大于1，求的谱条件数。22设非零向量，经过镜面反射后变为，即，为Householder矩阵。证明的第1列和平行。23分别利用反射变换和旋转变换对所给矩阵作正交相似变换： 。24分别用QR方法和第1种平移QR方法求所给矩阵的全部特征值及其特征向量。25用第2种平移QR方法求所给矩阵的全部特征值及其特征向量。26设有如下两个QR分解，其中和是阶酉矩阵，和为上三角复矩阵。若，满足，的对角元，则存在对角矩阵，使得 ，即，。根据这个定理说明定理4.2可以从这个结论中推出。27给定矩阵，用3种方法对进行QR分解，结果有何区别？28 给定，求正交矩阵使得的第3行都为0。29设，对作一次带平移量为的QR算法：， 证明：当与不很接近时，；如为对称阵时（即），。30经过正交相似变换变为Hessenberg形式，如果初始矩阵，为二阶单位矩阵，能否变为Hessenberg形式？31阶矩阵经过次反射正交相似变换后得到上梯形矩阵，给出需要的乘法次数。32为什么对矩阵，不带平移的QR算法和双重步QR算法都不收敛？33怎么样实现的LQ分解？其中为下三角矩阵，为正交矩阵。34设为阶不可约Hessenberg矩阵的特征值，为阶单位矩阵。有QR分解，为正交矩阵，为上三角矩阵，则的最后一行为，其中为最后一个元素为1的维列向量。提示：，。35设，证明：经过一次Jacobi方法的旋转变换，可化为对角阵。36对称矩阵的特征值为，用Jacobi方法进行步后得到，其中的对角元均未零，非对角元为，且，试估计用近似的误差界。37用QR算法求矩阵的全部特征值。比较带移位和不带移位QR算法所需要的迭代的次数。38用Householder变换和平面旋转变换求矩阵的全部特征值。比较带移位和不带移位的QR算法所需要的迭代的次数。39设，考虑如下迭代：，这里对用列主元Gauss消去法实现LU分解，其中为行交换矩阵，满足，和分别为单位下三角矩阵和上三角矩阵。证明：(1)和相似，且；(2)令，则，；(3)设用上述迭代产生的矩阵序列是否收敛到？其中是的两个特征值。40设为实上梯形矩阵，有特征值。如何用反乘幂法计算对应的特征向量？41设为对称正定矩阵，令，设计下列迭代算法：，证明：，是的特征值。试对，实施本算法，验证上述结论。若将本算法推广到阶对称正定矩阵，结论还成立吗? 数值实验五数值实验题51 矩阵特征值问题条件数的估计实验目的 比较认识矩阵特征值问题条件数与线性方程组条件数的区别。实验题 和Hilbert矩阵。 实验步骤与要求 （1）对上述两个矩阵，分别取；（2）用Matlab提供的函数“condeig”计算它们特征值问题的条件数； （3）用Matlab提供的函数“condest”计算它们线性方程组的条件数； （4）比较两类条件数（在同阶情况下）的区别。数值实验题52 QR方法的实施实验目的 体会和练习QR方法实验题 上题中的两个矩阵。实验步骤与要求 （1）对这2个矩阵，用Matlab提供的函数“qr”，来作QR分解； （2）用Matlab提供的函数“eig”，计算矩阵特征值； （3）用双重平移QR方法，计算矩阵特征值；（4）计算相应的特征向量。数值实验题53 对称矩阵特征值问题的不同方法的比较实验目的 比较和认识对称矩阵特征值问题的几种计算方法实验题 数值实验题51中的第1个矩阵，取20阶。实验步骤与要求 （1）分别用对称矩阵乘幂法，对称QR方法加平移技术，Jacobi方法；（2）对这3种计算方法，自己编写Matlab程序； （3）上机计算，比较结果，你有什么体会？数值实验5.4 列满秩“高”矩阵的QR 分解实验目的 不少计算场合需要对列满秩“高”矩阵作QR 分解（例如子空间迭代法），自行设计算法并实施实验步骤与要求 (1) 设列满秩，证明存在正交列向量组构成的矩阵和上三角矩阵，使； (2) 设计算法，实现(1)中的分解；(3)任给一个列满秩的，按你设计的算法进行QR分解。第六章 数值逼近问题（I）插值及其数值计算习题6.11当x1,-1,2时，f(x)=0,-3,4，求f(x)的二次插值多项式。2在x=100,121,144三处的值易求得，试以这三点建立的抛物插值公式，并近似求之值，给出误差估计，与实际误差比较。3设函数试写出它在插值节点组-1,0,1上的插值多项式,并用它计算在x=处的值.4设为互异节点，证明： i) ii) 5令一次插值多项式并估计插值误差。6设，证明：7考虑构造一张表，其中设用二次等距插值，要使包括表值舍入误差影响在内的总体误差小于，选取适当的节距h和表值的有效数字位数。8证明：由下列插值条件：x012103所确定的拉格朗日插值多项式是一个二次多项式。该例说明了什么问题？9求差商 和10下列数据取自一个多项式，它的次数是多少？x-2-10123f(x)-5111725并写出的n次Newton插值多项式。11试计算以下列表函数的差分表，并利用牛顿前插插值公式给出它的插值多项式。012343611182712用Lagrange-Hermite公式求满足下列条件的埃尔米特插值多项式：13设证明：14用Newton-Hermite公式求满足下列条件的埃尔米特插值多项式：习题6.21给出在区间-1,1上，取n10，按等距节点求分段线性插值函数，计算各小区间中点处的值及相对误差。2. 等分区间，求在上的分段线性插值函数，其中h为小区间长度，估计插值误差。3. 等分区间，求在上的分段三次Hermite插值函数，并估计误差。习题6.31若 是 0,2上的三次样条函数，则a ，b ，c 。2求以 0，1，2为样条节点并满足下列插值条件的三次样条函数S(x)：3给定数据表如下：0.250.300.390.450.530.50000.54770.62450.67080.7280 试求三次样条函数，并满足条件：1) S(0.25)=1.000，S(0.53)=0.68682) S(0.25)= S(0.53)=0习题6.41对任意非负整数k，证明：2设，如下的三次样条函数，当在和上变为一次多项式时，称为三次自然样条函数。证明：当且仅当系数满足下列关系 时才是三次自然样条函数。3在a,b上给定一种分划设为形如 的全体函数所成的集合，此处今给定插值节点及其相应函数（）和处导数值，试求使满足 (1)如果已知对函数求满足（1）的二次样条函数。综合习题61根据2.1节定义的Vandermonde 行列式，令：证明是n次多项式，它的零点为，且。2设，用插值余项定理求以-1,0,1,3为节点的三次多项式插值。3在讨论函数及其相应的n次多项式插值的误差时，常常假设：试不用上述假定导出下面的结果：其中，具有n1阶连续导数，插值区间I4设 ，证明：5如果表示以n1个等距节点为插值节点的n次插值多项式，则证明，当时，。问，n为何值时，才能保证插值误差小于6在区间a,b上任取n1个互异的节点：做函数的次数不超过n的插值多项式。假定在上任意次可微且有问：当时，序列在a,b上是否收敛于。7在等距节点的二次拉格朗日插值多项式中，若函数值带有误差并且试证：用近似值进行运算后，相应的误差界为8设互不相同，证明：9设为n1个互异的节点，为拉格朗日基本插值多项式，即令试证：10若有n个互异的零点，则有11设是n个互异的数，假定是一个次数不低于n的多项式，证明：F(x)除f(x）所得的余式为12证明：提示利用函数的Lagrange插值公式13证明差商的Leibniz公式： 若，则14设，试证：15利用差分性质证明：16证明：,其中17求一个二次多项式，使它满足其中给定。假设节点是实数。要使p(x)存在且唯一，必须满足什么条件？这个问题是Hermite-Birkhoff插值问题的例子18在XOY平面上给出三个点，它们的坐标是，每个点对应一个函数值，。找出一个平面通过这三个点。这是一个二元Lagrange插值问题。19设是互异实数，考虑下列插值问题，选取一个函数使得其中 是给定的数据，证明只有唯一的选取。已知求形如的的插值函数。20（广义多项式插值）设是C a,b中的一个函数组， （1）称为一个广义多项式。证明：对于任意a,b中的互异节点及实数存在唯一的形如(1)的广义多项式满足的充要条件是任意形如(1)的广义多项式在a,b上至多只有n个零点。（这个条件称为Haar条件） 21设函数组满足Haar条件，为一n阶可逆矩阵，证明函数组也满足Haar条件。22设，S(x)是三次样条函数，证明：i) ii) 给定分划 S(x)是在分划上的三次样条插值多项式，则： 当 S(x)是在划分上的第一类边界条件下的三次样条插值多项式时，从i), ii)两式可得到S(x)的一个什么性质？23设并给定划分若S(x)是在划分上的第一种边界条件下的三次样条插值多项式，试证：24试从特殊形式的Hermite插值公式（6.24）出发，推导三次插值样条函数的类似型的基，并用这组基构造一个三次插值样条函数的计算方案。25给定结点。设函数 在每个子区间（）上为二次多项式，且等于给定的数值,，则称函数S(x)为区间上的插值二次样条函数。如，那么求解这样的S(x)称为二次样条函数第一类插值问题。设 （等距结点），S(x)在区间 上的表达式为： ， 推导（）的计算公式。26给定分划：若 S(x) 在 a,b 上满足： S(x) 在小区间 上为n次多项式, ; 试完成：(1) 设 证明：S(x) 可表示为 （1）(2) 求出所有满足上述条件的 S(x) 所张成的线性空间的维数(3) 若把S(x) 满足的条件改为 给出S(x) 类似于(1) 的表达式。这样的S(x)称为有亏格的样条函数。数值实验六实验6.1 观察Lagrange插值的Runge现象对于函数进行Lagrange插值，取不同的结点数n，在区间-5,5上取等距间隔的结点为插值点。把f(x)和插值多项式的曲线画在同一张图上进行比较。实验6.2 观察三次样条函数插值是否有几何不变性（1）给定插值条件如下：i 0 1 2 3 4 5 6 7Xi 8.125 8.4 9.0 9.485 9.6 9.959 10.166 10.2Yi 0.0774 0.099 0.280 0.60 0.708 1.200 1.800 2.177作三次样条函数插值，取第一类边界条件=0.01087 =100画出插值曲线的图像。（2）逆时针旋转座标轴45o 保持（1）中结点和边界条件的几何关系不变，再次作三次样条函数插值，画出插值曲线的图像。（3）比较（1）和（2）的结果，能得到什么结论？第七章 数值逼近问题（II）函数的最优逼近与拟合习题7.11（1）利用区间变换推出区间为a,b的Bernstein多项式；（2）对在0,上求1次Bernstein多项式。2（1） 证明：当时，；（2）分别对x和求Bernstein多项式和，从中可以看出Bernstein多项式的什么性质？3在次数不超过6的多项式中，求在的最佳一致逼近多项式。4如何选取r，使在-1,1上与零的一致偏差最小，r是否唯一？5设，在0,1上求三次最佳一致逼近多项式。6假设在a,b上连续，求的零次最佳一致逼近多项式。7在-1,1上利用幂级数项数节约求的3次逼近多项式，使误差不超过0.005.8求在0,1上的近似最佳逼近多项式，使其误差不超过9试求多项式（a,b是任意常数），使它在-1,1上与零有最小偏差。10证明n次Chebychev 多项式的两个相邻零点之间必存在的一个零点。习题7.21按最小二乘原理，求参数使积分值最小2设分别在中求0,1上连续函数的最佳平方逼近函数，并比较结果。3设函数是在中最佳平方逼近函数，求证：4 设1) 导出是f(x) 在 上最佳平方逼近 函数的必要条件； 2) 求f(x) 在 上的最佳平方逼近函数5求在区间0,1上的二次最佳平方逼近多项式6f(x) 是-a,a上的连续奇（偶）函数，证明不管次数n是奇数或偶数，f(x)的最佳平方逼近多项式也是奇（偶）函数。7，定义问它们是否构成内积？习题7.31利用Chebychev 多项式的三项递推关系归纳证明：的首项系数是2证明：（1）其中是Legendre多项式。3证明：n次Legendre多项式满足（1。4证明：（1）；（2）其中， 是n次Legendre多项式5证明：其中是n次Legendre多项式。6证明若序列在a,b上关于权函数标准正交，则在a,b上关于权函数1标准正交。7设是在a,b上带权的标准正交函数组，证明它是a,b上的线性无关函数组。习题7.41求解超定方程组：2设有某实验数据如下：X1.361.731.952.28Y14.09616.84418.47520.963试按最小二乘法求一次多项式拟合以上数据。33现测得通过某电阻R的电流I及其两端的电压U如下表所示：试用求超定方程组的最小二乘解的方法确定电阻R的大小。4给出下表的数据， 用最小二乘法求一个形如的经验公式；i12345xi1925313844yi19.032.349.073.397.85