值得敬仰的数学勇士——世界级大师佩雷尔曼.pdf

i l 中 小学 教学 中 学 版1 I 数 学 史 话 值得 高中 2 0 1 0年6月 8日 世界上一批最优秀的数学家聚 集在巴黎 给俄罗斯数学家佩雷尔曼颁发 千禧数学 奖 佩雷尔曼是谁 即便是在 天才 云集的数学家 群体中 佩雷尔曼也是一位特殊的天才 在这为期 3 天 庆祝庞加莱猜想 证明 的学术会议 上 佩 雷尔 曼仍 然没有现身 亨利 庞加莱去世 一个世纪之后 在他 生活和T作过的这座城市里 他遗赠给我们的猜想被 解决了 格里戈里 佩雷尔曼 G r i g o r i y P e r e l m a n 是 登顶那个三维世界的登山者 英国爱丁堡大学数学 家迈克尔 阿蒂亚 Mi c h a e l A t i y a h 在赞颂 佩雷尔曼 的发言中说 注 8 1 岁 高龄 的阿蒂亚是 2 0世 纪影响力 极 大的数学 家 此前 佩雷尔曼在2 0 0 6 年还拒绝 了数 学界的诺贝尔奖 菲尔兹奖 数 学最高荣誉 而 不可避免地成 为世人 瞩 目的焦点 佩 雷尔 曼 一个过 着隐居生活的怪人吗 一个漠然拒绝百 万美元奖金 的 穷人吗 1 9 9 1 年 在美国东海岸的杜克大学举办了几何 节 佩雷尔曼是七名报告人之一 他做 了题为 曲率有 下界的 A l e x a n d r o v 空间 的报告 这个题 目的论文在 一 年后发表 成为他的代表作之一 1 9 9 3年 佩雷尔曼 解决 了数 学 上 一 个 长期 未 解 的 难 题 灵魂 猜 想 S o u l C o n j e c t u r e 这 是 由美 国纽约大 学库 朗 C o u r a n t 数 学 研 究 所 的 数 学 家 杰 夫 齐 杰 J e f C h e e g e r 和另一名数学 家提 出来 的猜想 在之前二十 年的时间里 已经有一些人写 了长篇大论来 分析这个 问题 但仅仅只能做出部分的证明 佩雷尔曼则做了 一 个能够让所有人惊讶不已的完整证明 而且 他 只用了四页纸 对 灵魂猜想 的证明 使得佩雷尔曼 成为数学界的年轻明星和世 界级 的微分拓扑学 家 这 一 年 他才 2 7岁 他在同一年 的秋天搬去 了美国西海 一 4 4 岸的加州大学继续他的研究工作 1 9 9 4年 佩雷尔曼 开始遭遇数学上的失败 这很可能是他人生中的第一 次失败 他在 Al e x a n d r o v空间的研究上卡壳了 停滞 不前 1 9 9 5年 他回到俄罗斯的斯捷克洛夫数学所 1 9 9 6年 他拒绝欧洲数学学会颁发的年轻数学家奖 后来 就没有人知道 他究竟 在研究什 么 了 直 到 2 0 0 2 年他突然在互 联 网上 张贴 出庞 加莱 猜 想 的证 明 另 外 在第2 3 9中学的楼道里 贴满了获得俄罗斯和国际 奥林匹克竞赛奖学生的名字 里面就有佩雷尔曼 佩 雷尔曼曾两次成为俄数学奥林匹克竞赛的优胜者 还 获得过 1 9 8 2 年 国际代数和几何奥林 匹克竞赛金奖 当 时 这个 1 6岁的男孩 得到了有史以来的最高分 满分 4 2分 这个 成绩 至今都 没被 别人 超越 获 奖 1 个 月 后 这个数学神童接到了美国一所大学的邀请 他们 为他提供了一套住房和丰厚 的奖学金 美 国人 当时就 明白 这个天才有着不可限量的未来 但他最终拒绝 了美国人的邀请 1 9 6 6年 6月 1 3日 佩雷尔曼出生在列 宁格勒 现 称圣彼得堡 市一个 普通知识 分子家庭 妈妈 是位数 学教师 爸爸是犹太人 工程师 4岁时 胖乎乎 的佩雷 尔曼一头卷发 是 个漂 亮的 男孩 平 凡的父母 给 了他 一 个好学的头脑 6岁上学 佩雷尔曼走进了学堂 普 通小学 当同学们却刚刚学会 百位 以内的笔算时 佩 雷尔曼 已经能轻松 自如地 在脑子 里进 行三位 数 的加 减乘除 1 0 1 1 岁上数学物理化学班 l 6 岁 佩雷尔曼 以全优的成绩顺利考入第 2 3 9数学和物理中学 中学 毕业后 佩雷尔曼免试进入列宁格勒大学数学系 佩 雷尔曼选择 了数学学科中最复杂 的研究 方 向 几 何学 这里聚集着很多在数学领域具 有独 特天赋 的学 生 甚至还有 l 0岁左右的神童在一边旁听 他的表现 高 中 数学史话 完全折服 了他 的老师布莱格 Y B u r a g o 佩雷尔 曼 的回答总是正确的 他总是很仔细 很仔细地检查 他 并不快 对他来说 速度根本没有关系 数学并非关于 速度 是关于深度 他在接受 纽约客 的采访时说 上世纪 8 O年 代末 佩雷尔 曼 以一 篇 欧 式几何 的论 文结束 了列宁格 勒州 立大 学 的博士 项 目研 究 后 来 他进入司捷克洛夫数学研究 所 上 升为一名 闪耀 的数 学明星 1 庞加莱猜想 1 9 0 4年法 国 著名 数 学 家庞 加 莱 提 出一 个 猜 想 P o i n c a r e c o n j e c t u r e 在一 个三维 空 间中 假如 每条 封闭的曲线都能收缩成一点 这个空 间一定是 一个 圆 球 简单来说就是 每一个没有破 洞的封 闭三维物 体 都拓扑等价于三维的球面 2 0 0 3年春天 佩雷尔曼巡游美国多所大学和科研 机构 特别在石溪分校 麻省理工学院 哥伦比亚大学 和普林斯 顿大学作 了系列演讲 在麻省理 工学 院的一 次演讲 中 他称 自己 在某 种 程度 上 是汉 密 尔顿 的信 徒 尽管两人从未共同工作过 在学术报告中 佩雷尔 曼每次都非常有耐心地一点点讲解 并乐于回答听众 提 出的每一个 问题 当然 这种 分享 仅 限于数学 圈之 内 他只想讲给那些有可能理解他的工作 的人听 之 后 他回到圣彼得堡 不再与外界联系 也就是在 2 0 0 3 年 他在网站上贴了系列论文 声称在哥伦比亚大学 数学家汉密尔顿工作 的基础上 证 明了庞加 莱猜想 和 瑟斯顿猜想 美国数学会会志 的文章曾指出 尽管 佩雷尔曼的论文晦涩难懂 却激起了数学家们的极大 兴趣 在佩雷尔曼消失期间 数学家们前赴后继地开 始努力证明他的工作 但这项工作异常困难 数学家 们发现了论文中的一些差错 但都不严重 2 0 0 6年 8月 英 国 自然 杂 志在线新 闻列举 了 3 组 令人尊重的科 学 家 的论 文 指 出他 们 的工作 填 补了佩雷尔曼工作的细节 而中国数学家的贡献在其 中占有重要的一席之地 第一篇 2 0 0 6 年5月2 5日 作 者 为克莱纳 与 密歇 根大 学 的约翰 洛 特 J o h n L o t t 和安 阿伯 A n n A r b o r 论 文张贴 在预 印论 文 网站 a r X i v 上 第二篇 2 0 0 6年7月 2 5日 作者为拓扑学 家约翰 摩根 J o h n Mo r g a n 和麻省理工学院教授 著 名数学家 田刚 写 出长达4 7 3 页的详细论文 该论文一 中 小学数学坤学 版 一 t 步一步证 明了庞加莱猜想 但没有 详细证 明几何 化猜 想 2 0 0 6年 7月 2 5日 论文贴在同样 的预印论文 的网 站上 摩根说 所有的工作都是佩雷尔曼做的 我们 只是对它进行解释 这 两项 丁 作都是 在克莱研 究所 的资助下完成的 两篇论文也贴在谚研究所的网站 上 第三篇 2 0 0 6年6月 作者为美国里海大学的曹怀 东和 中国中山大学 的朱熹平 论文发表 在 当月 出版的 亚洲数学期刊 上 论文声称彻底证明了庞加莱猜 想和几何化猜 想 而 不 仅仅 只 是充 实 佩雷 尔 曼 的T 作 亚洲数学期刊 主编丘成桐认为 曹怀东和朱熹 平使用了一些不同于佩雷尔曼的论点 三篇论文加起 来 有 1 0 0 0 多 页 数学家们对庞加莱猜想的证明进 行 了 审慎 详细的审查 克莱纳说 谨慎是应该的 因为庞 加莱猜想不仅著名 而且重要 几批专家审查了佩雷 尔曼 的研 究成果 一致认 为他对 庞加莱猜想 破解是最 完美的 是对拓扑学的重大突破 将有助于科学家搞 清宇 宙的形状 如果说这个世 界 上有 任何 人在 评价 佩雷尔 曼 的 工作上具有权威 那么他应该是美国哥伦比亚大学数 学教授理查德 汉密尔顿 R i c h a r d Ha m i h o n 汉 密尔 顿在数 学 上 最著 名 的 贡 献就 是发 现 了 R i c c i 流 而 R i c c i 流正是让佩雷尔曼接近顶峰的助手 佩雷尔曼发 表论文之前的许多年里 汉密尔顿 自己 以及 围绕他形 成 的所谓 R i c c i 流共同体 也一直试 图证 明庞加莱猜 想 但从 未遂愿 这段时光里 汉密尔 顿是否知道 佩霄 尔曼都是一个疑问 佩雷尔曼曾经去听过汉密尔顿的 讲座 他 实际上是 对汉 密 尔顿心 怀 敬意 的 他还 在讲 座之后向汉密尔顿请教过问题 那个时候的汉密尔顿 显得亲切友善 然而 当佩雷 尔曼 这个 R i c c i 流共 同 体 之外 的陌生人带着他的答案来到美国四处讲座的 时候 汉密尔顿保持了沉默 作为一个最该 现的人 汉 密尔顿并 没有很快 在讲座上 出现 只有 当佩雷尔 曼 的巡回讲座抵达哥伦比亚大学去的时候 汉密尔顿才 终 于出现在 教室里 听完 了佩 雷 尔曼 的讲解 他简单 地 问了几个 问题 在 佩雷 尔曼 看来 这些 问题 毫无深 度 也许 汉密尔顿连他的论文都没有读完 2 0 0 4年5月 佩雷尔曼回到了圣彼得堡 他与少 年时代的数学老师鲁克辛一起散步 他告诉老师 他 对数学界感到失望 2 0 0 5年 1 2月 在没有 明确原 因的 4 5 鬃 l 中 小学 数学砷学 版l 情况下 佩 雷 尔曼 辞去 莫斯 科 的 司捷 克 洛夫 S t e k o v 数学研究所的职务 由此 佩雷尔曼再一次 从世界上 消失 了 佩雷 尔曼切 断 了与外界 的所有 联系 他平时只与 自己的母 亲 和老师鲁 克辛交 谈 与 此同时 外部世界 则对佩雷 尔曼 充满 了好奇 自从俄 罗斯的这位世界级数学明星诞 生以来 俄 罗斯 无数 的 媒体开始围在他家周围 只要我不是惹人注意的 我 就有得选择 佩雷尔曼有一 次说道 或者去做 某种 丑陋的事情 或者 如果我不做这种事 我就被像宠物 一 样对待 现在 我成了引人注意的人 我不能再做保 持沉默的宠物 这就是我为什 么要退出 对完美的极 度追求 佩雷尔曼不仅仅是辞了工作 他实际上是退 出了数学界 如同美国的 纽约时报 评价 佩雷尔曼破解了 庞加莱 是数学发展 也是人类思想发展 的里程碑 2 踏实求真 的学者风范 佩雷尔曼于 1 9 9 2年访问美国 他的生活极为俭 朴 只吃面包 芝 士和牛奶 1 9 9 3年佩 雷尔曼开 始在伯 克莱进行为期两年 的访问 适逢 哈密尔顿来校作 系列 演讲 一次报告后 哈密尔顿告诉佩雷尔曼他所遇到 的最大的一些障碍 其 中之一 是 q 做 雪 茄 的一类 奇点 佩雷尔曼意识到 他写 的一 篇没 有发表 的文 章 可能对解决这个 问题有用 问哈密 尔顿是否知道这 篇 文章 但 哈 密 尔顿 似 乎 没有 了解 这 篇 文 章 的重 要 1 9 9 4年 佩雷 尔曼 因写 出了几篇非常有原创性 的论 文 而被邀请在国际数学家大会作报告 斯坦福和普林斯 顿等多家大学 邀请他去申请职位 但是他一一拒绝 了这些学校提供 的职位 1 9 9 5年夏天 佩 雷尔曼 回到 圣彼得堡 他说 我意识到我在 俄国会工作得更 好 斯 坦福大学 的数学教授 E l i a s h b e r g 说佩雷尔曼回俄国是 为 了解决庞加莱猜想 佩雷尔曼对这种 说法没有表示 反对 1 9 9 6年 佩雷尔曼给哈密尔顿写了一封长信 描 述了他的想法 寄希望于哈密尔顿会同他合作 但是 佩雷尔曼说 他没有 回答 所以我决定 自己干 佩 雷尔曼不仅是一名卓越 的数 学家 同时也是一 名与世 隔绝 谜一样 的 隐士 佩 雷尔曼 7年前成功 破解 庞加莱猜想 后 不仅辞掉了在司捷克洛夫数 学研究所的职位 还拒绝了美国普林斯顿大学 斯坦 福大学主动提供的职位 其实 佩雷尔曼在研究所工 46 数学史话 高中 作 了几年就离开 了那 里 很多 人说他 是 自愿离开 的 不过 他的一位中学老师并不相信这个说法 她 向记 者透露 了一些不为人知的内情 她说 任何一个科研 机构的研究员 副教授和教授每五年都会重新选一 次 这样 佩雷 尔曼就必须写一定数量 的学术论 文 可 他没有做到这一点 因为从 1 9 9 4年起 他就 开始专心 破解复杂的庞加莱 猜想 为此 他丢 掉 了研 究员 的职 位 在研究所的同事瓦古连科认为 他说是因为佩雷 尔曼在几何研究室与 同事发生争 吵后 被调 到了另一 个研究室 但这里的研究方 向和他并不对 口 渐渐地 佩雷尔曼也就不来研究所了 在他看来 佩雷尔曼和 其他天才数学家一样 非常了解数学 却根本不了解 人 当全世界都知道了佩雷尔曼的伟大发现之后 研 究所的工作人员有意隐瞒了这个 事实 佩雷尔曼将 自己的研究成果不是投稿到数学刊 物 而是贴在网络上 并且得到数学界 的认 可 这 是绝 无仅有的成功 一方面说明他不在乎个人名誉 只为 数学而数学 另一方面说 明网络 的力量 只要是正 确 的重大发现 就能够得到全世界的认可 为尽量减少 人才埋没提供了平台 2 0 0 2年 1 1 月 1 1日 佩雷尔曼在网络数学文库 a r X i v o r g 上张贴了他的第一篇文章 之后他通过电子 邮件把文章摘要发送给在美 国的一些数学 家 包 括哈 密尔顿 田刚和丘成桐 之 前他 没有 同任何 人讨论 过 这篇文章 因为 我不想同我不信任的人讨论我的工 作 2 0 0 2年 1 1月 1 2日 美国纽约州立大学数学家迈 克尔 安德森 Mi c h a e l A n d e r s o n 突然收到 了一封来 自佩 雷尔曼 的 电子 邮件 此 时佩 雷尔曼 已经 回 国多 年 信中 佩雷尔曼只说了一句话 我想请你留意我 在 A r X i v 张贴 的论文 ma t h D G 0 2 1 1 1 5 9 接着 就是 论文摘要部分的复制 安德森是 十来 名收到相 同邮件 的数学家之一 这些数学家都是多年来从不同侧面研 究庞加莱猜想的人士 安德森在收到邮件的第二天凌 晨 5 点3 8 分又给其他一些数学家发了邮件 看起来他 很 可能彻夜 阅读 了佩 雷尔曼的论文 希 望他们能 帮 忙看看这 篇论文 的可靠性究竟 有多大 在我看来论 文中的想 法是 全新 的 和原 创 的 典 型 的格 里沙 佩雷尔曼的昵称 风格 安德森在邮件 中写道 他 还说 他在 1 9 9 0年代解决了一系列其他领域中著名 高 中 数学史话 的问题 然后就 消失 了 现在看来他叉浮出了水 面 A r X i v 是美 国康奈 尔大学 图 书馆办 的一个 网站 供数理科学家张贴论文预印本 佩雷尔曼张贴的这篇 论文是他证 明庞加莱猜想 的三篇文章 的第一篇 而第 二篇和第三篇论文在2 0 0 3年张贴 三篇文章总篇幅不 超过7 0页 整个过程如同行云流水 然而 他的同行们 需要用一两年的时间才能理解这三篇文章 2 0 0 3年4月 佩雷尔曼来到美国麻省理工学院 开始他在美国大学中的巡回讲座 即便是他这样沉 静 内向 低调的数学家 也按 捺不住急 切地 与人分享 的心情 每天都在研讨会 上向不 同的听众讲解 他的证 明 然而 纽约时报 的记者捕捉到了这个信息 在 报纸上发表了一篇报道 题 目是 俄罗斯人宣称解决 了一 个著 名的数学 问题 这篇报 道很 可能令佩 雷尔 曼不快 首 先 他 并没 有 宣 称 什 么 他 只是在 与 同 行们讨论 更重要的是 报道当中提到 如果佩雷尔曼 的证 明经受住 了同行两年的考察 那么他 可能会 获得 一 百万美元的奖金 也就是克雷研究所的千禧数学 奖 这样 的写法给人 一种 错误 印象 佩雷 尔曼 似乎 是 冲着奖金来的 但实际上 佩雷尔曼早在克雷数学研 究所设立百万 美元 大奖之 前就 已经 投入证 明庞加 莱 猜想的工作 中了 在这个时候 佩 雷 尔曼 的朋 友 田刚 也犯 了一 个 错误 2 0 0 4年春 田刚接受了美国 科学 杂志的采 访 谈及佩雷 尔曼 的工作 随后 他就 发现佩 雷尔曼不 再回复他的电子邮件了 2 0 0 4年 9月 1 0日 在佩雷尔 曼回到圣彼得堡一年多后 他收到 田刚发来 的一封很 长 的电子邮件 田在其 中写 道 我 想我们 已经理解 了 你 的文章 它 完全正确 佩雷尔 曼没有 回信 没有人 确切地知道佩雷尔曼为什么不再理睬他的老朋友 了 但他看起来做得很彻底 摩根和田刚将他们的研究结 果写成 了书 并且用 邮 寄的方 式送 给 佩雷 尔曼 但过 了一阵子 邮件被退回到他们手中 回忆起 2 0 0 6年 在第 2 5届国际数学家大会上 国 际数学联合会决定授予佩 雷尔曼菲尔 兹奖 这是 数学 界的最高奖项 有人称它为数学界的诺贝尔奖 国际 数学联合会主席约翰 保尔 J o h n B a l 1 飞去圣彼得 堡 试 图说服佩雷 尔曼 领 奖 这 是菲 尔兹 奖历史 上没 j 中 小 学数学坤学 版 I 有 出现过 的情况 联 合会主席竟然 要亲 自去说服一个 获奖者接受这个奖项 他与佩雷尔曼交谈 了数个小 时 他向佩雷尔曼提供 了几套方案 包括佩雷尔曼不 必出席会议 他们把奖章送到圣彼得堡来 但是佩雷 尔曼拒绝了 俄罗斯数学家格罗莫夫在一本书中回忆 说 最初菲尔兹奖评审委员会给佩雷尔曼寄 了封信 而佩雷尔曼表示 他不会与委员会对话 一个人不应 该跟委员 会对话 佩 雷尔曼 说 人应 该跟 人对话 当委员会像机器一样运行的时候 你就应该停止 跟它打交道 就是这么回事 唯一奇怪的事情就是 越来越多的数 学 家不 是 这 么做 的 这 才是 奇怪 的事 情 那一 年 本 该是 西 班 牙 国王 为 佩雷 尔曼 颁 奖 国王是谁啊 佩 雷尔 曼说 为什么 国王 能给 数学 家颁奖 他是谁 在数学家的眼里 他什么都不是 另外 也有人认为 佩雷尔曼 拒绝菲尔 兹奖 的一个 原因是 他需要与其 他数 学 家分享 这 个奖 项 根 据规 定 菲尔兹奖每次授予两到 四个人 2 0 0 6年 与佩 雷尔 曼一同获奖的还包括俄罗斯数学家安德雷 欧克恩科 夫 A n d r e i O k o u n k o v 美 国加 州大 学 的数 学家 陶哲 轩 法国数学家温德林 沃纳 We n d e l i n We r n e r 有 人推测 佩雷尔曼可能认为这些数学家所做的工作与 他并不在 一个层次 上 所 以不愿 与他们并 列 不 过 佩 雷尔曼并不这样认 为 据俄罗斯 国际文传 电讯社 的报 道 佩雷尔曼说 汉密尔顿博士应该与他分享同等的 荣誉 简而言之 主要的原因是我不同意组织化的国 际数学界的决定 我不喜欢他们的决定 我认为他们 不公正 佩雷尔曼如是说 真正第一 流 的科 学家总是 单纯而谦逊 看来佩雷尔曼亦是如此 3 破解世纪难题 激励更多的数学人 2 0 0 0年 克 雷 数 学 研 究 所 C l a y Ma t h e m a t i c s I n s t i t u t e 宣布了七个 千年难题 并承诺有人解决任 何一个难题 就奖励一百万美元 庞加莱猪想 就是 这七大难题之 其他一些难题包括计算机理论界的 第一 号难 题 PV s N P 以杨振 宁命名 的 杨 一米尔 斯理论 以及数学领域中最重要的猜想 黎曼假设 等 而面对 庞加莱猜想 这一难题 无数数学家为此 费尽心血 但最后大多选择了放弃 其实 在克雷数学 研究所所长詹姆斯 卡尔森 J a m e s C a r l s o n 看来 设 立 千禧数学奖 此举的噱头意义是想通过这样的方 47 l l 中 小学 数学 中 学 版I ll 式来激发人们对数学的关注 并没有指望这些问题中 的任何一个能够在他 的有生之年 中得 到解 决 也没想 到百万美元真的能够发 出去 据俄罗斯媒体报道 位于美国马萨诸塞州的克雷 数学研究所于 2 0 1 0 年 3月 1 8日对外公布 悬赏 l 0 年 奖金 1 0 0万美元的 千禧年数学大奖 终于有了第一 位获奖人 4 4岁的俄罗斯天才数学家佩雷尔曼因为破 解 庞加莱猜想 而荣 获此项 殊荣 佩 雷尔曼 解开 了 困扰了全球数学界近 1 0 0年的著名的 庞加莱猜想 虽然庞加莱猜想有了答案 但千禧年数学大奖很可能 找不到这位神秘的获奖人 早在2 0 0 6年 国际数学家 大会决定将4 O 岁以下数学家的与 诺贝尔奖 相媲美 的数学最高奖 菲尔兹奖 授予佩雷尔曼 而他却拒 绝 出席领奖 回忆起 2 0 0 2年和 2 0 0 3年 俄罗斯司捷克洛夫数 学研究所的数学 家佩雷 尔 曼在预 印本文献 库 a r X i v o r g 上发表的一系列论 文 成功破解 了 庞加莱 猜想 从此 佩雷尔曼这个名字在数学界广为流传 当时 克莱数 学研 究所所长 卡尔森表示 按照克 莱千禧年奖金的规定 证明问题的论文要经过两年的 时间考验 两年后 如果证明经受了时间的考验 那么 研究所将任命一个专门委员会来推荐获奖者名单 据 悉 克雷数学研究所原本要求获奖者必须在权威数学 期刊上发表论文 但性格怪异的佩雷尔曼只在网络发 表论文 始终不向权威期刊投稿 但卡尔森指出 没 有任何规则可阻止佩雷尔曼获得全部或部分奖金 他认为佩雷尔曼在庞加莱猜想的证明中作出了主要 贡献 至 今为止 其他数 学家 对佩雷 尔曼在 预 印本 文 献库上发表的文章的检查已经远超过 了杂志中的同 行评价 对预印本文献库来说 这是一个非常重要的 步骤 因为它将 a r X i v 预印本文献库提高到与传统出 版物相同的地位 卡尔森说 佩雷尔曼是一位非凡的 天才 他按 自己的方式行 事 我认 为最 重要 的是他 写 出三篇论文并将它们贴在 a r X i v网站上 这给了