数学和数学建模在科技发展中的重要作用.doc

数学（建模）在科技发展中的作用自古以来，数学的发展始终与科学技术的发展紧密相连，反之亦然. 首先, 我们来看一下导致我们现在这个飞速发展的信息社会的19、20世纪几乎所有重大科学理论的发展和完善过程中数学(数学建模)所起到的不可勿缺的作用.*数学研究的成果往往是重大科学发明的催生素 (仅就19、20世纪而言, 流体力学、电磁理论、相对论、量子力学、计算机、信息论、控制论、现代经济学、万维网和互联网搜索引擎、生物学、CT、甚至社会政治学领域等). 但是20世纪上半世纪, 数学虽然也直接为工程技术提供一些工具, 但基本方式是间接的: 先促进其他科学的发展, 再由这些科学提供工程原理和设计的基础. 数学是幕后的无名英雄. 现在, 数学无处不在, 数学和工程技术之间, 在更广阔的范围内和更深刻的程度上, 直接地相互作用着, 极大地推动了科学和工程科学的发展, 也极大地推动了技术的发展. 数学不仅是幕后的无名英雄, 很多方面开始走向“前台”. 但是对数学的极端重要性迄今尚未有共识, 取得共识对加强一个国家的竞争力来说是至关重要的. *高技术本质上是数学技术.戴维(E. David, 曾任尼克松总统的科学顾问)在1984年说的一段话：“对数学研究的低水平的资助只能来自对于数学研究带来的好处的完全不妥的评价, 显然, 很少有人认识到当今被如此称颂的高技术本质上是数学技术.”钱学森教授1989年在中国数学会数学教育与科研座谈会上的讲话中说: “但是他(指美国Brown大学教授、应用数学家谢定裕)的题目叫“数学科技”, 我想不叫“数学科技”, 这是数学技术, 即怎样给一个方法, 能使科学的理论通过电子计算机解答具体的科学技术问题. 这包括两个方面, 第一就是要会用电子计算机, 会指挥它去算. 第二是电子计算机给出的解答, 在荧光屏上显示出来, 能够理解它, 别让它给唬住了. 我觉得后一个关于理解的问题, 就是要从宏观的整体角度去认识, 这也是数学问题.”*21世纪是科学和工程数学化(Mathematization)的世纪.美国科学基金会数学部主任Eisenstein在评述该基金会把数学科学列为2002-2006该基金会五大创新项目(其他四个分别为: 环境中的生物复杂性,信息技术研究,纳米科学和工程,以及21世纪的劳动力)之首时所说的,“该重大创新项目背后的推动力就是一切科学和工程领域的数学化(Mathematization).”Eisenstein 说.“还有，数学带给其他科学的附加值现在是比过去更加看得见了. 其他科学认识到的这种附加值是该创新项目的主要推动力量.”* “鉴于数学研究的范围无限广阔，这门科学，即使是现代数学，也还处于婴儿时期。在今后两千年内，在人类思想领域里具有压倒性的新情况，将是数学地理解问题占统治地位。”*下面先来了解一下什么是数学建模. 数学模型(Mathematical Model)是用数学符号对一类实际问题或实际发生的现象的(近似的)描述.数学建模(Mathematical Modeling)则是获得该模型并对之求解、验证并得到结论的全过程. 数学建模不仅是了解基本规律, 而且从应用的观点来看更重要的是预测和控制所建模的系统的行为的强有力的工具.观察、分析实际问题抽象、简化，确定变量和参数 利用某种“定律”建立变量和参数 间的确定的关系(数学问题, 这个层次上的一个数学模型) 解析或“近似”地求解该数学问题（数学模型） 解释、验证、预测和发现新的现象 通不过通过 可应用该数学模型 来预测或模拟(仿真)定义：数学建模就是上述框图多次执行的过程 * 数学建模的难点 观察、分析实际问题, 作出合理的假设, 明确变量和参数, 形成明确的数学问题. 不仅仅是翻译的问题; 涉及的数学问题可能是复杂、困难的, 求解也许涉及深刻的数学方法. 如何作出正确的判断, 寻找合适、简洁的(解析或近似)解法; 如何验证模型. 简言之: 合理假设、数学问题、解释验证. 记住这12个字, 将会终生受用. 自古以来公平、公正的竞赛都是培养、选拔人才的重要手段, 科学和数学也不例外. 数学建模方面的重要比赛Mathematical Contest in Modeling(MCM, 1985) 美国大学生数学建模竞赛Interdisciplinary Contest in Modeling (ICM, 1999)美国大学生跨学科建模竞赛China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling(CUMCM, 1992)中国大学生数学建模竞赛中国大学生参加美国大学生数学建模竞赛情况参赛队数(中国队数)MCM - 8590( 0)MCM - 89211( 4, 占 1.9%)MCM - 20091675(1282, 占 77%)ICM - 2009374(341, 占 91%)MCM - 20102254(1844, 占 82%)ICM - 2010356(332, 占 93%)中国大学生数学建模竞赛情况参赛校数参赛队数CUMCM - 9279 314CUMCM - 2009113715042*以下讲述中涉及物理方面的具体的数学模型(问题)的叙述和初步讨论可参考物理学与偏微分方程, 李大潜、秦铁虎编著,(上册, 1997; 下册, 2000), 高等教育出版社. *相对论Albert Einstein(1879, 3, 14 1955, 4, 18) 20世纪最大的科学成就莫过于Einstein(爱因斯坦)的狭义和广义相对论了, 但是如果没有Riemann(黎曼)于1854年发明的Riemann几何, 以及Cayley(凯莱), Sylvester(西勒维斯特)和Noether(诺特)等数学家发展的不变量理论, Einstein的广义相对论和引力理论就不可能有如此完善的数学表述. Einstein自己也不止一次地说过. 早在1905年, 年仅26岁的爱因斯坦就已提出了狭义相对论. 狭义相对论推倒了牛顿力学的质量守恒、能量守恒、质量能量互不相关、时空永恒不变的基本命题. 这是一场真正的科学革命. 为了导出狭义相对论，爱因斯坦作出了两个假设：运动的相对性(所有匀速运动都是相对的)和光速为常数(光的运动例外, 它是绝对的). (1) 狭义相对性原理, 即在所有惯性系中, 物理学定律具有相同的数学表达形式;(2) 光速不变原理, 真空中光沿各个方向传播的速率都相等，与光源和观察者的运动状态无关. 由此可以导出一些推论: 相对论坐标变换式和速度变换式, 同时的相对性, 钟慢尺缩效应和质能关系式等. 他的好友物理学家P.Ehrenfest指出实际上还蕴涵着第三个假设, 即这两个假设是不矛盾的. 物体运动的相对性和光速的绝对性, 两者之间的相互制约和作用乃是相对论里一切我们不熟悉的时空特征的根源. 1907 年德国数学家 H. Minkowski (1864 1909) 提出了 “Minkowski 空间”,即把时间和空间融合在一起的四维空间. Minkowski 几何为 Einstein 狭义相对论提供了合适的数学模型. “没有任何客观合理的方法能够把四维连续统分离成三维空间连续统和一维时间连续统. 因此从逻辑上讲, 在四维时空连续统(space-time continuum)中表述自然定律会更令人满意. 相对论在方法上的巨大进步正是建立在这个基础之上的, 这种进步归功于闵可夫斯基(Minkowski).” 阿尔伯特爱因斯坦 有了 Minkowski 时空模型后, Einstein 又进一步研究引力场理论以建立广义相对论. 1912 年夏他已经概括出新的引力理论的基本物理原理, 但是为了实现广义相对论的目标, 还必须寻求理论的数学结构, Einstein 为此花了 3 年的时间, 最后, 在数学家 M. Grossmann 的介绍下学习掌握了发展相对论引力学说所必需的数学工具 以Riemann几何和Ricci, Levi-Civita的绝对微分学, 也就是 Einstein 后来所称的张量分析. “根据前面的讨论, 很显然, 如果要表达广义相对论, 就需要对不变量理论以及张量理论加以推广. 这就产生了一个问题, 即要求方程的形式必须对于任意的点变换都是协变的. 在相对论产生以前很久, 数学家们就已经建立了推广的张量演算理论. 黎曼(Riemann)首先把高斯(Gauss)的思路推广到了任意维连续统, 他很有预见性地看到了进行这种推广的物理意义. 随后, 这个理论以张量微积分的形式得到了发展, 对此里奇(Ricci)和莱维齐维塔(Tulio Levi-Civita, 18731941)做出了重要贡献. ”阿尔伯特爱因斯坦 著, 从数学建模的角度看, 广义相对论讨论的中心问题是引力理论, 其基础是以下两个假设: 等效原理和广义协变性。(1) 广义相对性原理, 即认为物理学定律不依赖于表示时间、空间的四维微分流形(时空流形)的局部坐标的选取方法. 这样, 物理量用时空流形上的张量表示, 而物理学定律用张量方程写出;(2) 等效原理, 惯性力场与引力场的动力学效应是局部不可分辨的. 由此借助关于弯曲空间的黎曼几何的数学工具可推导出广义相对论引力场方程, 得到引力场中的时间和空间具有弯曲的性质, 物质的运动分布使时空弯曲, 引力会使光线偏转, 以及引力场中的光谱红移, 行星近日点的精确进动, 雷达回波的延迟等推论. 在 1915年11月25日发表的一篇论文中 Einstein 终于导出了广义协变的引力场方程就是 Riemann 度规张量. Einstein 指出:“由于这组方程, 广义相对论作为一种逻辑结构终于大功告成!”广义相对论的数学表达第一次揭示了非欧几何的现实意义, 成为历史上数学应用最伟大的例子之一. Einstein关于光线经过太阳引力场会弯曲的预言, 在1919年5月29日由英国皇家学会科学考察队的天文学家爱丁顿爵士(Sir Arthur Stanley Eddington, 1882, 12, 28 1944, 11, 22)等人在几内亚湾普林西比岛对日全食的观察结果、所摄照片以及随后的计算所证实. 德国女数学家诺特(Amalie Emmy Noether)证明了一条重要的数学定理: 动力学体系(动力系统)的每一种连续对称性都对应一个物理守恒量. 时间的平移不变性对应于能量守恒定律, 空间的平移不变性对应于动量守恒定律. “Emmy Noether埃米诺特(纳脱)(1882, 3, 23 1935, 4, 14)发明了一条数学原理，叫作“纳脱定理”，这条定理成为量子物理学的基石. 纳脱的计算帮助爱因斯坦得出他的广义相对论. 爱因斯坦自己曾承认: “事实上, 我是通过她才能在这一领域内有所作为的.”*量子力学Max Planck(普朗克，1858, 4, 23 1947, 10, 4) 德国物理学家, 量子力物理学的开创者和奠基人. 1918年获Nobel物理学奖. Albert Einstein(爱因斯坦，德国人，后入美国藉，1879, 3, 14 1955, 4, 18)，1921年获Nobel物理学奖.Werner Karl Heisenberg(海森伯1901, 12, 5 1976, 2, 1)，1932年获Nobel物理学奖.Erwin Schrodinger(薛定谔, 奥地利人，1887, 8, 12 1961, 1, 4)，1933年获Nobel物理学奖. Paul Adrien Maurice Dirac (狄拉克，英国人1902, 8, 8 1984, 10, 20)，1933年获Nobel物理学奖.如果没有Cayley(凯莱)在1858年发展的矩阵的数学及其后继者的进一步发展, Heisenberg(海森伯) 和Dirac(狄喇克)就无法开创现代物理学量子力学方面的革命性工作. Heisenberg(海森伯), Werner Karl (1901, 12, 5 1976, 2, 1), 德国物理学家、哲学家和社会活动家,为创立量子力学作出贡献, 创立矩阵力学和提出著名的“测不准(不确定性)原理”. 由于“创立量子力学，而这种力学的应用导致了许多发现，包括氢的同质异形体的发现”而获得1932年Nobel 物理学奖. 被公认为20世纪创新的思想家之一. 1920年进慕尼黑大学, 1923年获博士学位. 1925年7月完成了具有历史意义的论文“关于运动学和动力学关系的量子论的新解释”. 他不考虑原子是什么, 只考虑它们做什么.他用数组去描写原子的能量、跃迁等, 发现了这些数组遵循的规则, 并用这些规则来处理原子过程. 海森伯的理论由三部分组成: 量子论的运动学表达式; 量子论的的动力学表达式; 讨论了一个简单非谐振子的应用例子, 其论述过程贯穿着对应原理的指导. 在论文的结束语中, 他希望通过对数学方法的更透彻的研究, 来决定他的这种“利用可观察量之间的关系”建立起的量子力学“在原则上是否令人满意”. Dirac (狄拉克), Paul Adrien Maurice ( 1902, 8, 8 1984), 英国理论物理学家，量子力学的创始人之一. 他相信数学上的近似法可以表达自然的基本规律. 1933年与奥地利物理学家Erwin Schrodinger (薛定谔, 1887 - 1961)一起“因创立原子理论的新形式”共获Nobel物理学奖. 1931年狄拉克用他发现的描述电子运动和自旋的方程奠定了量子电动力学的基础, 它把量子理论和狭义相对论结合起来. 在获知海森伯的新的量子力学后不久发表多篇文章, 用他新的观点丰富了这个理论. 他的理论包括了“矩阵力学”和“波动力学”作为其特殊情形. 从他的理论(Dirac方程等)推导出了存在正电子(反物质). 他曾经说过：“我们丛联系能量为W, 动量为p 的粒子相对论力学方程 出发, 可以看到能量W既可以比大的正数, 也可以是比小的负数.”在一定的假设下断言了存在正电子. 1932年美国物理学家Carl David Anderson(1905 )在宇宙射线中发现了(观察到) 正电1 狄拉克也是使用线性算子(作为Heisen-berg和Schrodinger理论的推广)的先驱. 他还引进了Dirac delta函数. 薛定谔1910年在维也纳大学物理系获博士学位. 1926年上半年,“作为本征值问题的量子化”为总题目, 连续发表6篇论文, 发展了波动力学的理论, 他建立了与光的波动方程类似的物质波波动方程: 称为波函数, U 微观粒子的势能, E 粒子总能量, m 粒子质量, h 普朗克常数. 证明了矩阵力学和波动力学的等价性, 指出它们在数学上是完全等价的. 这两种理论都是一微观粒子具有波粒二象性这一实验事实为基础, 通过与经典物理的类比方法建立起来的. 后来, 波动力学与矩阵力学合在一起, 统称为量子力学. 薛定谔的波动力学被认为是量子力学的一般通用形式. 爱因斯坦和普朗克都支持波动力学, 普朗克说:“薛定谔方程奠定了近代量子力学的基础, 就像Newton, Lagrange 和Hamilton (1805 1865)创立的方程在经典力学中所起的作用一样.”著名数学家V. I. Arnold论数学模型的重要性。“学习数学的目的是什么？1267年英国著名的哲学家Roger Bacon就已经回答了这个问题：不懂数学的人就不能认识其他任何科学，甚至不能意识到自己得无知。本来，我就可以就此结束演讲，但人们总是会想是不是在这7个世纪里有了什么变化 让我们听一听更现代的见证 量子力学的创始人之一波狄拉克指出，创建物理理论时,“不要相信所有的物理概念”, 那么应该相信什么呢?“相信数学方案，甚至表面上看去，它与物理学并无联系.”的确，本世纪初期的所有纯物理概念被物理学摒弃，而被物理学家作为武器的数学模型却逐渐有了物理内容，同时，也显示了数学的稳定性. ”* 电磁理论 Maxwells Equations麦克斯韦，Maxwell, James Clerk (1831, 6, 13 1879, 11, 5) 由于他对许多分支带有根本性的贡献，使他在物理学家中的名声仅次于牛顿. 虽然场的理论的起源应归功于英国物理学家 M. 法拉第, 但法拉第不是数学家，他没能发展这个概念. 经过麦克斯韦之手，电场理论得到了精确的描述，成为以后所有场论的模式. 法拉第(Michael Faraday, 1791, 9, 21867, 8, 25 ) 英国物理学家、化学家, 发现电磁感应现象、电解定律以及光与磁的基本关系. 出身于贫 穷的铁匠家庭, 13岁到伦敦一家书店当装订书的学徒, 有机会接触各种书籍, 自学成材, 走上科学道路. 1913年成为著名化学家戴维(H. Davy, 17781829)的助手. 1824年当选为英国皇家学会会员. 1831年11月和1832年1月, 相应于他发现的伏打电感应和磁电感应现象, 提出了电紧张态和磁力线两个新概念. 麦克斯韦说: “当我开始研究法拉第时, 我发觉他考虑现象的方法也是数学的, 尽管没有以通常的数学符号的形式来表示; 我还发现, 他们完全可以用一般的数学形式表示出来, 而且可以和专业数学家的方法相媲美.” 他决心把法拉第的天才思想用清晰准确的数学形式表示出来. 麦克斯韦方程组(Maxwells Equations) 广义安培电路定律 法拉第磁感应定律 库仑定律或称电场的高斯定律 磁场的高斯定律其中 r 是电荷密度，J 是电流密度，E 是电场强度，B 是磁通量密度，D 是电位移, H 是磁场强度. 麦克斯韦方程组概括了当时已知的有关电磁现象的一切实验结果, 并根据这个理论得出结论: 存在电磁波, 它在真空中的传播速度等于光速, 光的本质是电磁波, 电磁波会产生压力等. 1883年实验证实了他的理论.*流体力学 Navier - Stokes 方程第一个关于“理想”流体运动的数学描述是由Leonhard Euler(欧拉, 1707,4,15 1783,9,10)瑞士数学家、力学家、天文学家和物理学家)在1755 年阐明的. Claude Louis Marie Henri Navier (纳维艾1785 836, 法国数学家和工程师，多科工艺学校和交通工程学校教授) 推导出把相邻分子间吸引力和排斥力考虑在内的粘性流体的运动方程.Navier 使经验造桥的理论“数学化”, 第一次用上了数学家的解析和抽象的方法. 他做的就是构建数学模型的方法. 他指出建模需要“一种特别的本领(art), 即把有待解决的真正的问题用尽可能与之差别不大的问题来代替, 而后者的问题是可以用数学(来解决)的.”Augustin-Louis Cauchy (柯西, 1789, 8, 21 1857, 5, 22, 法国数学家、物理学家和力学家) 于1828年, Simeon-Denis Poisson(泊松, 1781, 6, 21 1840, 4, 25, 法国数学家、力学家和物理学家) 于1829年重新导出该方程. Barre de Saint-Venant 于1843年在更一般的物理基础上导出了不仅用于Navier所谓的层流而且可用于湍流的方程. Stokes, Sir George Gabriel 1st Baronet (斯托克斯, 1819 - 1903 英国物理学家和数学家) 于1845年现如今教科书中遵循的粘性方程的样子, 特别是明确了方程中参数的物理意义. 1849 年任剑桥大学卢卡斯数学教授1851 年入选皇家学会1854 年任皇家学会秘书是继牛顿之后连任卢卡斯数学教授、皇家学会秘书、皇家学会主席三种职务的第一人计算机和计算技术数学对计算机技术的发展有过巨大的影响. 计算的技艺 数值分析，自牛顿、欧拉、高斯给以系统研究以来，一直是数学的重要部分. 由于高速数字计算机的发展，更加提高了数值分析的重要性. 在科学知识和工程实践的进展中，现在把计算看作是和理论以及实验同等重要而且必不可少的伙伴。数值模拟能使人们能研究复杂的系统和自然现象，如果要通过直接的实验来研究它们那将是费钱或危险、甚至是根本不可能的. 对这种模拟中从未有过的高层次的细节和现实性的探求要求极大的计算能力，而且这种探求已经为计算机算法和系统结构中的重大突破提供了推动力. 由于这些进展，计算科学家和工程师现在能够解决过去曾经认为是难以对付的大规模的问题. 计算科学工程是与科学、工程、数学以及计算机科学有关的一个迅速发展的多学科交叉的领域。CSE(Computational Science and Engineering)着重研制问题解决的方法以及解决科学和工程问题的强健的工具。我们相信 CSE将对科学发现和工程设计的未来起到重要的 纵使不是支配的作用。* 下面强调一下数学对计算机本身的发展所起的作用. 在 30年代，符号逻辑的研究方程活跃，Church, Godel, Post 和其他学者研究了形式语言，经过他们以及 Turing(图灵)的研究工作，形成了可计算性这个数学概念. 1935 年前后，Turing 建立了通用计算机的抽象模型. 这些成果为后来 von Neumann 和他的同事们制造带有存储程序的计算机，为形式程序的发明，提供了理论框架. 一、20 世纪两个极重要的科技发展的起源： 近代计算机与 DNA 的双螺旋结构1. 近代计算机 可是要进化成近代计算机还需要两个关键性的新观念与新技术。第一个是数学家 John von Neumann 所指出的观念。他在 1945 年讨论一个新计算机的结构时，写道: 此机之总体逻辑将由记忆部门之过程控制，这些程序用二进制数表示. 这是革命性的新观念，因为程序记在记忆中，极容易，也极迅速地可以更改，不必经过人的操作。所以近代计算机实际应该称为 储存程序的计算机.为什么引进此观念的人是数学家冯诺依曼，而不是工程师呢？这里面有一个令人深省的道理：冯诺依曼曾在数理逻辑领域作研究，而此领域的一个重大突破就是 Kurt Godel (古德尔, 1906,4,28 - 1978, 1 14) 所引进的古德尔数：用数字表列出所有可能的逻辑命题与证明。冯诺依曼对古德尔数有极深的认识，所以想到应把此逻辑领域的突破引到计算机结构中，从而产生了储存程序的计算机. 第二个是 20 世纪 50 年代半导体的发现. 在这里我要特别提出一点，即半导体是怎么发现的：它是量子力学的产物，而量子力学是 20 世纪 20 年代纯基础物理学研究的产物，当时与任何应用都完全无关. *信息时代和 C. E. Shannon (香农) 通信的数学理论、密码学1936 年在 Michigan 大学获数学和电气工程两个学士学位. 然后他去了 MIT. 1936 年在贝尔实验室完成了最出色的硕士论文, 1938 年以继电器和开关电路的符号发现为题发表. 在该文中他指出 19 世纪 George Boole 的Laws of Thoughts中的逻辑代数为开关电路提供了极其完美的数学模型(实际上为后来的数字电路和计算机的“逻辑设计提供了数学模型”). 1940 年获得美国综合工程协会著名的 Alfred Noble . 1938 年 Shannon 决定为孟德尔的遗传法则在数学上找一个合理的立足点, 其结果就是他在 MIT 的数学博士论文现代遗传学代数(1940). 1940 41 年他到普林斯顿高等研究院在著名数学家 Hermann Weyl 门下学习, 在那里他开始考虑从一个全新的更合适的数学基础上来从新看待通信. 他的传世功绩是他在 1948 年发表的通信的数学理论 (A Mathematical Theory of Communication)及其所掀起的持续的信息技术革命.Shannon首次把特定系统的信息传输作为研究对象, 揭示信息的接受、传输、加工、发送和反馈中的规律, 并用量化的理论描述它, 从而把古代通信的实践和现代通信技术中共性的原理和概念融合为一体, 给通信技术的发展和人们观念的更新提供理论指导. *经济学 Nobel 经济学奖基本上是在对经济行为的观察、洞察、分析和提炼机理的基础上运用数学(数学建模)的成果(包括预测在内). 从1969年开始由瑞典皇家科学院评选颁发的Bank of Sweden Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel, (瑞典银行纪念诺贝尔经济学奖)1994, jointly to Professor John C. Harsanyi(豪尔绍尼)University of California, Berkeley, CA, USADr. John Forbes Nash(纳什)Princeton University, Princeton, NJ, USAProfessor Dr. Reinhard Selten(泽尔滕)Rheinische Friedrich-Willhelms-Universitt, Bonn，Germany, *World Wide Web (WWW万维网) Internet(互联网, 因特网) Search Engine(搜索引擎) Google(谷歌)WWW万维网 Timothy (Tim) John Berners-Lee爵士(英国计算机科学家, 1955, 06, 08 ), 1980年作为CERN(the European nuclear research lab, 欧洲核子研究中心)的独立合约人为了推进研究人员之间分享和更新信息, 提出了一个在超文本(hypertext)概念的基础上的课题建议, 在Robert Cailliau的帮助下建立了一个称为Enquire的原型系统. 1984年作为研究员回到CERN利用在Enquire中用到的类似的思想创建了万维网, 并设计制造了第一个浏览器, 称为World Wide Web和称为httpd的第一个web server(服务器). 互联网(Internet)的起源是1969年美国国防部建立的称为ARPANET(阿帕网)的分散型网络. Google(谷歌)Lawrence E. Page (Larry Page, 拉里 佩奇, 1973, 03, 26 ) 他是Stanford大学计算机科学专业研究生, 他父亲是计算机科学家和人工智能专家. 网络真正吸引Page的是它的数学特征, 每台电脑都是一个节点, 而网页上的链接就是节点间的联系, 这就是数学上的图. 整个互联网就是有史以来人们创造的最大的图, 可以有几十亿个节点.Sergey Mikhailovich Brin(谢尔盖 布兰, 1973, 08 ) 他也是Stanford大学计算机科学专业研究生, 他父亲是数学家和经济学家, 1979年逃离苏联, 移民美国. 他们于1998年创建了Google(谷歌)公司, 2000年就成为全球最大的搜索引擎. 主要靠两个数学模型: 称为 PageRank 的算法和一个新的广告拍卖数学模型.生物学 生态学(Ecology) 差分和常、偏微分方程流行病学(Epidemiology) 差分和常、偏微分方程计算机X射线断层造影术(Computer Tomography = CT) Radon(拉东)变换(多变量函数的与Fourier变换有关的一种积分变换,1917年由 J. Radon 引入 科马克(Allan M. Cormack, 美国) 和豪恩斯费尔德(Godfrey N. Hounsfield, 英国) 因为研究发明此方法而获 1979 Nobel生理学或医学奖. Sir Alan Lloyd Hodgkin，艾倫勞埃德霍奇金爵士, 1914, 02, 05 1998, 12, 20, Sir Andrew Fielding Huxley，安德鲁赫胥黎爵士，都是英国生理学家和生物物理学家, 由于1950年代研究神经轴突的动作电位而共同获得1963年諾貝爾生理學或醫學獎)利用他们自己对神经元的测量研制了解释神经元行为的一个动力学数学模型.* 数学科学(Mathematical Sciences, 简称数学(Mathematics)是研究数、量的关系和空间形式的一个庞大的科学体系，它包含纯粹数学、应用数学以及这两者与其它学科的交叉部分. 数学是一门集严密性、逻辑性、精确性和创造力与想像力于一体的学问，也是自然科学、技术科学、社会科学、经济和管理科学的巨大的智力资源. 数学为其它科学提供语言、观念和方法，它与计算机技术、计算机工程的紧密结合产生了直接应用于生产的数学技术，这是许多高新技术的核心. 数学又是一种文化，在人类理性地认识世界的过程中起着重要的作用，数学的思想和方法的传播对提高国民素质，提高人们的分析与决策能力、推理与创造能力都是崐至关重要的。对小学、中学、大学到研究生、博士后以及所有在职人员的数学教育都是数学事业的不可或缺的重要组成部分. 推动数学发展的动力既来自于内部，即解决自身发展中的问题，也来自于外部，即研究现实世界提出的模式。当今数学发展的主要趋势为：数学各分支的融汇；与其它科学更加深入的交叉；以及更加自觉地扩大数学的应用范围，使它的触角几乎伸向一切领域. II. 数学科学：其结构和贡献数学科学如表 1 所表明的数学科学是科学中最抽象的科学. 表 1 科学的知识侧重点 领域 研究 数学科学 物理学 化学 生物学 材料科学 地球科学 天文学 模式、结构、对现实的建模 能量、物质、时间 分子 生命 材料、结构 地球：大陆、海洋、大气 行星、星体和宇宙的起源和演化 数学科学有两个主要方面。第一个也是较为抽象的方面可以叙述为：对结构、模式以及模式的结构和谐性的研究。探求抽象模式结构中的对称性和规则性是纯粹数学的核心。这些探求的目的通常在于了解抽象的概念，但是也常常对其他领域产生实践的和理论的影响。例如，积分几何就构成了 X 射线断层分析照相术(CAT Scan 计算机辅助层析扫描)的理论基础，素数的算术导致了互联网上数据安全传输的完备码的生成，而群的无穷维表示使人们有可能设计通讯中大规模、经济有效的高连通性网络。 数学科学的第二个方面是由要对生活中，通常是由物理学、生物学和商业中，碰到的事件或系统的（数学）建模所激发的。这个方包括以下三个步骤： 对常常并非是清楚明白的实际情况创建一个有 明确的（数学）模型。这种（数学） 建模需要 在忠实于实际情形的模型要求和数学上易于处 理的要求之间进行妥协。恰当的妥协通常需要 该领域的专家和数学专家的合作。 通过解析或计算的方法或两者混合的方法来求 解该（数学）模型。 开发在求解特殊数学模型时大概可以重复使用 的一般工具。 * 综上所述, 我们可以得到如下的结论和启示: 1要想在科学上甚至日常工作中获得巨大成功, 数学, 尤其是数学建模的作用是至关重要的. 提高数学素质的极端重要性. 从现在开始、后继课程、毕业设计或毕业论文, 甚至参加工作后，要逐渐培养凡事用数学(数学建模)的眼光来审视、思索的良好习惯. (打水漂、复利的应用等)参加具体的数学建模实践活动(特别是数学建模竞赛)是一种良好的开端. 2. 各行各业大量用数学的现象是必然的趋势,但是只懂数学是不行的,必须与专门领域的知识和洞察相结合. 3. 过去,学生反映:学校里学过的数学到了工作岗位用不上(不能直接用上)的部分原因是不了解纯粹数学知识到真正的实际应用之间必须经过数学建模这个桥梁. 从现在开始, 在学习数学的时候就要加强这方面的意识. 现在我们再来看以下的论断也许对数学(数学建模)的作用会有更深刻的体会和感受.“数学的思考方式有着根本的重要性. 简言之，数学为组织和构造知识提供方法. 一旦数学用于技术，她就能产生系统的、可再现的并能传授的知识. 分析、设计、建模、模拟和应用便会变成可能的高效的富有结构的活动. ”詹姆斯格林姆 主编, 数学科学技术经济竞争力，邓越凡译, 南开大学出版社, 1992, p. 44 - 45. “数学除了锻炼敏锐的理解力、发现真理以外，她还有另一个训练全面考察科学系统的头脑的开发功能. ”(H. G. Grassmann, 1809 1877) R. E. Moritz Editor, On Mathematics and Mathematicians, p. 226, 1958; 原书名为Memorabilia Mathematica or the Philomathss Quotation-Book. “确实，数学在科学中的一个关键作用就是创建能容许人们对事实上是远为混乱的东西形成概念的理想化.” Nancy Kopell, We Got Rhythm: Dynamical Systems