§1.柯西函数方程.doc

1.柯西函数方程考虑二元函数方程： (1) 通常这类函数方程的解不是唯一的，为了使(1)的解是唯一，我们大多给予一些附加条件。例如，要求该函数是“连续的”，或者必须是“在定义域中每一个有限区间内为有界的”，或是“单调”函数等。解方程式(1)的步骤是：依次求出独立变量取正整数值、整数值、有理数值，直至所有实数值，而得到函数方程的解。下面我们在f(x)的不同附加条件下来解函数方程(1)。Example 1：设函数在整个实数域上连续，求函数方程式(1)的解？ 【解】：因为 (1) 由数学归纳法易知，对任意的实数有 特别当时， (2) 取，可得 在(1)式中取 因此，在(1)式中取，可得 在(2)式中取，则可得 所以对任意的整数， 在(2)式中取，(m, n为正整数)，有 但 在于(1)式中取，则可得 所以对任意的有理数r， 因为有理数是实数的稠密子集，且为连续函数，所以 (3) 故(3)是(1)在中唯一的解。Example 2：若函数在某一充分小的区间(a,b)内为有界，求(1)的解。 【解】：在上例中，我们已证明在给定，。 令, 则当时， (A) 且对任意的实数 所以也满足方程式(1)。 对任意的实数x，取 则 。 令，则， 此即是说，对任意的，存在，使得 () 由假设条件知，在(a, b)内有界， 所以由()知，g在整个实数上都有界。 又由(A)知 若存在一个无理数，使得 则，矛盾。 所以 因此，。Example 3：设在某个足够小的区间内是单调函数，求(1)的解？ 【解】：我们利用Example2的结果来证明在单调函数下(1)之解仍为 。 任取，使得。因为为单调函数，所以 所以内有界；因此由例2可知。2、几个重要的二元函数方程 在本节中所有的均假设是连续的。Example 1：设上是连续的且不恒等于0，求出函数方程 (1) 的解。 【解】：由数学归纳法易知 特别，取，则可得 (2) 在上式中取，可得 于(1)式中，取，可得 . 因为我们假设不恒为0，所以. 在(2)式中，取 (m为正整数)，则可得 . 在(1)式中，取，则可得 所以，对任意的有理数，。 又因有理数是实数的稠密子集，且上连续，所以 . 若，则. (3)Example 2：设在正实数域上有定义，连续且不恒等于0，试求函数方程 (4) 的解。 【解】：由数学归纳法易知，对所有的正实数； 特别，取时，可知 (5) 在(5)式中，取，可得 由(5)式也可知， 所以，由(4)式可知 。 因此我们证明了，对于任意的， 。 因为在正实数上连续且有理数与的交集为上的稠密子集， ， () 取定，对任意的，存在，使得； 。 将此代入()，则可得 。 令 ，则。 (6) 这是函数方程()在整个正实数上连续时，唯一的解。Example 3：设在实数上都有定义，连续且不恒为0，求方程式 (7) 的解？ 【解】：任取，对任意的，存在 使得，(可取，) 将此代入(7)式可得 令，则 (8) 因为在上连续上连续。 故由Example 1可知，(8)有唯一的解 ，(是一个唯一固定的常数)，。 。 故