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课程检测技术专业自动化章第二章 测量误差与数据处理年级三年级下节计划学时教材开课时间测量的目的是获取被测量的真实量值，但由于受到种种因素的影响，测量结果总是与被测量的真实量值不一致，即任何测量都不可避免地存在着测量误差。为了减小和消除测量误差对测量结果的影响，需要研究和了解测量误差及测量不确定度。本章包括三个部分的内容。第一部分是测量误差，包括测量误差的基本概念、各类测量误差的处理方法、误差的传递、误差的合成与分配等；第二部分是测量不确定度，包括测量不确定度的概念和表示方法、测量不确定度的评定等；第三部分是数据处理。2.1 测量误差的基本概念2.1.1 测量误差存在的必然性和普遍性在测量过程中，由于实验原理和实验方法的不完善，所采用的测量装置性能指标的局限，在环境中存在着各种干扰因素，以及操作人员技术水平的限制，必然使测量值与被测量的真实量值之间存在着差异。测量结果与被测量的真实量值之间的差异，称为测量误差，简称误差。误差公理认为：在测量过程中各种各样的测量误差的产生是不可避免的，测量误差自始至终存在于测量过程中，一切测量结果都存在误差。因此，误差的存在具有必然性和普遍性。随着科学技术的发展和我们认识水平的不断提高，可以将测量误差控制得越来越小，但是测量误差的存在仍是不可避免的。2.1.2 有关量值的几个基本概念1真值真值是指在一定的时间和空间条件下，能够准确反映某一被测量真实状态和属性的量值，也就是某一被测量客观存在的、实际具有的量值。2理论真值和约定真值真值有理论真值和约定真值两种。理论真值是在理想情况下表征某一被测量真实状态和属性的量值。理论真值是客观存在的，或者是根据一定的理论所定义的。例如，三角形三内角之和为180。由于测量误差的普遍存在，一般情况下被测量的理论真值是不可能通过测量得到的，但却是实际存在的。由于被测量的理论真值不能通过测量得到，为解决测量中的真值问题，只能用约定的办法来确定真值。约定真值就是指人们为了达到某种目的，按照约定的办法所确定的量值。约定真值是人们定义的，得到国际上公认的某个物理量的标准量值。例如：光速被约定为3108ms；以高精度等级仪器的测量值约定为低精度等级仪器测量值的约定真值。3实际值在满足实际需要的前提下，相对于实际测量所考虑的精确程度，其测量误差可以忽略的测量结果，称为实际值。实际值在满足规定的精确程度时用以代替被测量的真值。例如在标定测量装置时，把高精度等级的标准器所测得的量值作为实际值。4测量值和指示值通过测量所得到的量值称为测量值。测量值一般是被测量真值的近似值。由测量装置的显示部件直接给出来的测量值，称为指示值，简称示值。5标称值测量装置的显示部件上标注的量值称为标称值。因受制造、测量条件或环境变化的影响，标称值并不一定等于被测量的实际值，通常在给出标称值的同时，也给出它的误差范围或精度等级。2.1.3 测量误差的定义测量误差，简称误差，它的定义为被测量的测量值与真值之差，即 误差测量值真值2.1.4 误差的表示方法误差常用的表示方法有三种：绝对误差、相对误差和引用误差。1绝对误差绝对误差的定义为被测量的测量值x与真值L之差，即 （2-1）绝对误差具有与被测量相同的单位。其值可为正，亦可为负。由于被测量的真值L往往无法得到，因此常用实际值A来代替真值，因此有 （2-2）在用于校准仪表和对测量结果进行修正时，常常使用的是修正值。修正值用来对测量值进行修正。修正值C定义为 （2-3）修正值的值为绝对误差的负值。测量值加上修正值等于实际值，即xCA。通过修正使测量结果得到更准确的数值。采用绝对误差来表示测量误差往往不能很确切地表明测量质量的好坏。例如，温度测量的绝对误差=1，如果用于人的体温测量，这是不允许的；但如果用于炼钢炉的钢水温度测量，就是非常理想的情况了。2相对误差相对误差的定义为绝对误差与真值L的比值，用百分数来表示，即 （2-4）由于实际测量中真值无法得到，因此可用实际值A或测得值x代替真值L来计算相对误差。用实际值A代替真值L来计算的相对误差称为实际相对误差，用A来表示，即 （2-5）用测得值x代替真值L来计算的相对误差称为示值相对误差，用x来表示，即 （2-6）在实际应用中，因测得值与实际值相差很小，即Ax，故Ax，一般A与x不加以区别。采用相对误差来表示测量误差能够较确切地表明测量的精确程度。3引用误差绝对误差和相对误差仅能表明某个测量点的误差。实际的测量装置往往可以在一个测量范围内使用，为了表明测量装置的精确程度而引入了引用误差。引用误差定义为绝对误差与测量装置的量程B的比值，用百分数来表示，即 （2-7）测量装置的量程B是指测量装置测量范围上限xmax与测量范围下限xmin之差，即 引用误差实际上是采用相对误差形式来表示测量装置所具有的测量精确程度。测量装置在测量范围内的最大引用误差，称为引用误差限m，它等于测量装置测量范围内最大的绝对误差max与量程B之比的绝对值，即 （2-8）测量装置应保证在规定的使用条件下其引用误差限不超过某个规定值，这个规定值称为仪表的允许误差。允许误差能够很好地表征测量装置的测量精确程度，它是测量装置最主要的质量指标之一。2.1.5 测量误差的来源测量误差的来源很多。根据测量误差的来源，测量误差归纳起来有如下几个方面：1测量环境误差任何测量都有一定环境条件，如温度、湿度、大气压、机械振动、电源波动、电磁干扰等等。测量时，由于实际的环境条件与所使用的测量装置要求的环境条件不一致，就会产生测量误差，这种测量误差就是测量环境误差。2测量装置误差对测量中所使用的测量装置的性能指标有一定的要求。由于实际测量所使用的测量装置的性能指标达不到要求，或安装、调整、接线不符合要求，或使用不当，或因内部噪声、元器件老化等使测量装置的性能劣化等等，都会引起测量误差，这种测量误差就是测量装置误差。3测量方法误差由于测量方法的不合理或不完善，测量所依据的理论不严密等等，也会产生测量误差，这种测量误差就是测量方法误差。例如，用电压表测量电压时，由于没有正确地估计电压表的内阻而引起的误差；用近似公式、经验公式或简化的电路模型作为测量依据而引起的误差；通过测量圆的半径来计算其周长，因所用圆周率为近似值而引起的误差，都是测量方法误差。4测量人员误差由于测量操作人员的操作经验、知识水平、素质条件的差异，操作人员的责任感不强、操作不规范和疏忽大意等等原因，也会产生测量误差，这种测量误差就是测量人员误差。2.1.6 测量误差的类型很多原因可以产生测量误差，根据研究目的的不同，通常将测量误差可按不同的角度进行分类。1系统误差、随机误差和粗大误差根据测量误差的性质和表现形式，可将误差分为系统误差、随机误差和粗大误差。（1）系统误差 在相同的条件下，对同一被测量进行多次重复测量时，所出现的数值大小和符号都保持不变的误差，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差，称为系统误差。系统误差的主要特性是规律性。（2）随机误差 在相同的条件下，对同一被测量进行多次重复测量时，所出现的数值大小和符号都以不可预知的方式变化的误差，称为随机误差。随机误差的主要特性是随机性。（3）粗大误差 明显地偏离被测量真值的测量值所对应的误差，称为粗大误差。在实际测量中，系统误差和随机误差之间不存在明显的界限，两者在一定条件下可以相互转化。对某项具体误差，在一定条件下为随机误差，而在另一条件下可为系统误差，反之亦然。2基本误差和附加误差任何测量装置都有一个正常的使用环境要求，这就是测量装置的规定使用条件。根据测量装置实际工作的条件，可将测量所产生的误差分为基本误差和附加误差。（1）基本误差 测量装置在规定使用条件下工作时所产生的误差，称为基本误差。（2）附加误差 在实际工作中，由于外界条件变动，使测量装置不在规定使用条件下工作，这将产生额外的误差，这个额外的误差称为附加误差。3静态误差和动态误差根据被测量随时间变化的速度，可将误差分为静态误差和动态误差。（1）静态误差 在测量过程中，被测量稳定不变，所产生的误差称为静态误差。（2）动态误差 在测量过程中，被测量随时间发生变化，所产生的误差称为动态误差。在实际的测量过程中，被测量往往是在不断地变化的。当被测量随时间的变化很缓慢时，这时所产生的误差也可认为是静态误差。2.1.7 测量的精度为了定性地描述测量结果与真值的接近程度和各个测量值分布的密集程度，引入了测量的精度。测量的精度包含了准确度、精密度和精确度这三个概念。1测量的准确度测量的准确度表征了测量值和被测量真值的接近程度。准确度越高则表征测量值越接近真值。准确度反映了测量结果中系统误差的大小程度，准确度越高，则表示系统误差越小。2测量的精密度测量的精密度表征了多次重复对同一被测量进行测量时，各个测量值分布的密集程度。精密度越高则表征各测量值彼此越接近，即越密集。精密度反映了测量结果中随机误差的大小程度，精密度越高，则表示随机误差越小。3测量的精确度测量的精确度是准确度和精密度的综合，精确度高则表征了准确度和精密度都高。精确度反映了系统误差和随机误差对测量结果的综合影响，精确度高，则反映了测量结果中系统误差和随机误差都小。对于具体的测量，精密度高的准确度不一定高；准确度高的，精密度也不一定高；但是精确度高的，精密度和准确度都高。图2-1下面以图2-1所示的射击打靶的结果作为例子来加深对准确度、精密度和精确度的理解。在图2-1中每个点代表弹着点，相当于测量值；圆心位置代表靶心，相当于被测量真值。图（a）的弹着点分散，但比较接近靶心，相当于测量值分散性大，但比较接近被测量真值，表明随机误差大，精密度低；系统误差小，准确度高。图（b）的弹着点密集，但偏离靶心较大，相当于测量值密集，但偏离被测量真值较大，表明随机误差小，测量精密度高；系统误差大，准确度低。图（c）的弹着点密集且比较接近靶心，相当于测量值密集且比较接近被测量真值，表明系统误差和随机误差都小，精确度高。在应用准确度、精密度和精确度时，应注意：它们都是定性的概念，不能用数值作定量表示。2.2 随机误差的处理2.2.1 随机误差的产生和处理原则随机误差是在测量过程中，因存在许多独立的、微小的随机影响因素对测量造成干扰而引起的综合结果。这些微小的随机影响因素既有测量装置方面的因素，也有环境方面的因素和人员方面的因素。由于人们对这些微小的随机影响因素很难把握，一般也无法进行控制，因而对随机误差不能用简单的修正值来校正，也不能用实验的方法来消除。单个随机误差的出现具有随机性，即它的大小和符号都不可预知，但是，当重复测量次数足够多时，随机误差的出现遵循统计规律。由此可见，随机误差是随机变量，测量值也是随机变量，因此可借助概率论和数理统计的原理对随机误差进行处理，做出恰当的评价，并设法减小随机误差对测量结果的影响。2.2.2 随机误差的统计特征和正态分布1随机误差的统计特征对同一个被测量进行多次等精度的重复测量时，可得到一系列不同的测量值，通常把进行多次测量得到的一组数据称为测量列。若测量列不包含系统误差和粗大误差，则该测量列及其随机误差具有一定的统计特征。下面先看一个测量的实例。等精度测量某工件直径n150次，测量值范围在6.316.41mm。将测量值范围分成11个等间隔区间。若被测量的真值为L6.36mm，误差值ixiL。区间间隔x0.0 1mm。测量值落在（xix2）范围内，或误差值出现在（i2）范围内的次数为ni。将测量结果统计并列成表2-1。表2-1 测量实例的数据表区间号i测 量 值xi误 差 值i出现次数ni频 率fi频率密度pi16.310.0510.0070.726.320.0430.0202.036.330.0380.0585.846.340.02180.12012.056.350.01280.18718.766.360340.22722.776.370.01290.19319.386.380.02170.11311.396.390.0390.0606.0106.400.0420.0131.3116.410.0510.0070.7误差在（i2）范围内出现的次数ni与总次数n的比值finin称为频率。今在以频率（fi）为纵坐标，以误差（）为横坐标的直角坐标图上，以区间间隔为宽度，各频率fi值为高度画出长方形，得到如图2-2所示的频率直方图。图2-2对于同一组测量数据，取不同的区间间隔值，所得的频率值fi是不同的，间隔值越大，频率值fi也越大，因而所得的频率直方图也不相同。为避免间隔值的影响，常取pini（n）作为纵坐标，pi称为频率密度。以为横坐标，频率密度pi为纵坐标所得的图仍称为频率直方图，其图形与图2-2类似。当测量次数n时，且令d， nidn（d，dn均为无穷小量），则折线趋于平滑曲线，频率密度也就趋于概率密度。根据概率论，随机误差的概率密度函数定义为 （2-9）式中 n测量总次数； ni误差在（i2）范围内出现的次数。图2-3概率密度函数f（）对应的曲线称为概率密度分布曲线，如图2-3所示。图中 就是曲线下面的右阴影部分的面积，称之为概率元。概率元实质上就是随机误差出现在区间（，d）的概率，可表示为 （2-10）随机误差出现在区间（,）的概率，即曲线下面的左阴影部分的面积，可表示为 （2-11）F（）称之为随机误差的分布函数。随机误差的概率密度函数f（）与其分布函数F（）互为微积分关系，即 （2-12）若测量列不包含系统误差和粗大误差，则该测量列中的随机误差具有以下四个统计特征： 对称性：随机误差可正可负，绝对值相等的正、负误差出现的概率相等，其概率密度分布曲线以纵轴为对称； 单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率要大，误差值越小出现的概率越大，其概率密度分布曲线在0处有一峰值； 有界性：当误差，则误差出现的概率趋于零。可见在一定的测量条件下，误差的绝对值一般不会超过一定的界限； 抵偿性：正误差和负误差可相互抵消，随着测量次数n，随机误差的代数和趋于零，即 （2-13）应该指出，随机误差的上述统计特征是在造成随机误差的随机影响因素很多，且测量次数足够多的情况下归纳出来的，但并不是所有的随机误差都具有上述特征。当造成随机误差的随机影响因素不多，或某种随机影响因素的影响特别显著时，随机误差可能不呈现上述特征。2随机误差的正态分布由以上四个统计特征出发，可导出随机误差的概率密度函数为 （2-14）图2-4式中，称为标准差，它的意义在后面再作详细阐述。概率密度函数f（）为式（2-14）的随机变量所服从的分布称为正态分布。绝大多数随机误差服从正态分布。按正态分布概率密度函数所得的曲线称为正态分布曲线。随机误差的正态分布曲线如图2-4所示。正态分布随机误差的分布函数为： （2-15）服从正态分布的测量值x，其概率密度函数为 （2-16）测量值的正态分布曲线如图2-5所示，它具有以下特点：曲线关于xL对称；图2-5是单峰曲线，在xL处有最大值；曲线以横轴为渐进线，x离L越远，f（x）的值就越小，当x时将趋近于横轴；L决定了曲线的中心位置。若固定的值而改变L的值，则图形沿着横轴水平移动，而不会改变图形的形状，如图2-6所示。图2-6在误差理论中，正态分布占有重要的地位。实践表明，在绝大多数情况下，测量值及随机误差是服从正态分布的。当然，并不是所有的测量值和随机误差都是服从正态分布的，也有一些误差服从均匀分布、泊松分布等非正态分布。概率论中的中心极限定理指出：对于服从任何分布的独立的随机变量，当其数量足够多时，这些随机变量的总和近似地服从正态分布，随机变量的数量越多则越近似。也就是说，相互独立的随机变量，其总和的分布是以正态分布为其极限分布。根据中心极限定理，尽管某些随机影响因素造成的随机误差不服从正态分布，但只要这些造成随机误差的影响因素足够多，而个别因素造成的影响在总的影响中所起的作用又很小，则由这些影响因素产生的随机误差就应该是服从或近似服从正态分布的。基于以上原因，正态分布是研究和分析随机误差的基础。在满足一定要求的前提下，把随机误差看成是服从正态分布的，具有普遍性和实用性。2.2.3 测量值和随机误差的数字特征测量值和随机误差都是随机变量，有关随机变量的一些概念和处理方法可直接用于对测量值和随机误差的分析和处理。1测量值和随机误差的数学期望与算术平均值（1）测量值和随机误差的数学期望根据概率论与数理统计，连续型随机变量的数学期望定义为： （2-17）它是随机变量的一阶原点矩，表征了随机变量的中心位置。数学期望是随机变量的一个数字特征值。设随机误差服从正态分布，将其概率密度函数表达式（2-14）代入式（2-17），可求得 （2-18）式（2-18）表明：服从正态分布的随机误差的数学期望等于零。这说明，服从正态分布的随机误差总体分布的中心为0，意味着随机误差围绕着0出现，且在0处有最大的概率值。设测量值x服从正态分布，将其概率密度函数表达式（2-15）代入式（2-17），求得 （2-19）式（2-19）表明：服从正态分布的测量值x的数学期望等于被测量的真值L。这说明，服从正态分布的测量值x总体分布的中心为真值L，意味着测量值x围绕着真值L取值，且在真值L处有最大的概率值。测量的目的是得到被测量的真值，而测量值的数学期望等于真值，我们只要求得测量值的数学期望，即可得到被测量的真值。我们对某个被测量进行等精度测量，只要测量装置有足够高的灵敏度和分辨力，则可进行无限多次测量，所有可能的测量值就构成一个无限总体，这个无限总体的数学期望即为被测量的真值。这就意味着，我们想要通过测量得到被测量的真值，就必须作无限次等精度测量，以得到测量值的无限总体，这在实际上是无法做到的。在实际测量中我们只能做有限次等精度测量，取得有限个测量值，也就是说，只能得到测量值的一个容量有限的样本。由于测量值的无限总体无法得到，因此我们只能根据所得到的样本对测量值的数学期望真值进行估计。（2）测量值的算术平均值n次等精度测量测量值的算术平均值定义为 （2-20）设被测量的真值为L，各测量值与真值的误差为1、2、n，则有 （2-21）式（2-21）两边求和，得 （2-22）由式（2-22）可得 （2-23）由随机误差的抵偿性，当测量次数n时，有 故有 （2-24）式（2-24）表明，当测量次数n时，测量值的算术平均值会收敛于被测量的真值。但在实际测量中，进行无限次测量是不可能的，只能进行有限次测量。当测量次数为有限次时，只要测量次数足够多，测量值的算术平均值处于真值的附近，随着测量次数的增加而趋于真值，因此我们可以认为测量值的算术平均值是最接近于真值的近似值。进一步分析还可证明，测量值的算术平均值的数学期望等于真值L，即。这意味着，当测量次数n时，全体测量值的算术平均值等于真值。而在有限次等精度测量中，可用有限次测量值的算术平均值作为被测量真值的最佳估计值。在实际的等精度测量中，由于随机误差的存在而无法得到被测量的真值，但我们可用测量值的算术平均值代替真值作为测量结果。（3）残余误差测量值与算术平均值的差称为残余误差，简称残差。用vi表示残差，则有 （2-25）残余误差有两个重要的性质：一组测量值的残余误差的代数和等于零，即 （2-26）一组测量值的残余误差的平方和为最小，即 （2-27）这个性质是最小二乘法的理论基础。2测量列的方差、标准差和精密度参数（1）测量列的方差和标准差根据概率论，连续型随机变量的方差定义为 （2-28）它是随机变量的二阶中心矩，表征了随机变量相对于其数学期望E（）的分散程度。对于离散型随机变量，其方差则可定义为 （2-29）由于方差的物理意义不够明显，在实际工作中，常采用标准差来表征随机变量的分散程度。标准差定义为方差的正平方根值，即 （2-30）方差或标准差是随机变量的又一个数字特征值。各次测量的测量值可视作离散型随机变量。对一被测量进行无限多次等精度测量，各次测量的测量值组成无限测量列。根据式（2-29）和式（2-30），无限测量列中各测量值xi的真误差（xiL）的平方和的算术平均值，再开方所得的数值，即为测量列的标准差。故可得测量列标准差的定义式 （2-31）标准差也称为方均根偏差。图2-7正态分布的测量值与相应的随机误差有同一形状的正态分布曲线，只是坐标原点沿着横坐标平移了L，因此测量值与相应的随机误差有同样的标准差值。测量列的标准差表征了测量值和随机误差的分散程度，它决定了测量值和随机误差概率密度分布曲线的形状。如图2-7所示，标准差的数值愈小，概率密度分布曲线形状愈陡峭，说明测量值和随机误差的分散性小，测量的精密度高；反之，的数值愈大，概率密度分布曲线形状愈平坦，说明测量值和随机误差的分散性大，测量的精密度低。将正态分布随机误差的概率密度函数f（）的表达式（2-14）对求二阶导数，并令二阶导数，可得。由此可得标准差的几何意义：标准差就是概率密度分布曲线拐点的横坐标。标准差的值决定于测量条件，测量条件一旦确定后，的值也就唯一地确定了。在一定测量条件下所进行的等精度测量，其中任一次测量所得的测量值及相应的随机误差不可预知，但它们都有同一个标准差的值。在不同的测量条件下对同一被测量所进行的两组等精度测量，其标准差的值往往是不相同的。应该指出，标准差不是误差的一个具体值，而是表征测量值和随机误差分散性的一个特征参数。（2）测量列的精密度参数测量的精密度是一个定性的概念，它定性地反映了在一定测量条件下进行等精度测量所得测量值和随机误差的分散程度。为了能够定量地评定测量值和随机误差的分散程度，引入测量列的精密度参数。能够用来评定测量列精密度的参数有多个，目前最常用的测量列精密度参数是测量列标准差。对于服从正态分布的测量值和随机误差，测量列标准差一定，它们的正态分布曲线的形状就完全被确定了，测量的精密度也就确定了。（3）测量列标准差的估计式（2-31）给出了测量列标准差的定义式，但要按式（2-31）来求出测量列标准差必须满足两个条件：一是测量次数n，即必须得到测量值的无限总体；二是要求得到各测量值的真误差，也即必须得到被测量的真值。在实际测量中，这两个条件往往是无法满足的，我们只能进行有限次测量，也不可能得到被测量的真值，因此不能按式（2-31）来求出测量列的标准差。对于有限次等精度测量，由于被测量的真值L无法得到，也就得不到各测量值的真误差i，但可用算术平均值来代替真值求得各测量值的残余误差vi，因而可利用残余误差vi来代替真误差i对标准差做出估计。通过推导，可以得到如下的贝塞尔公式： （2-32）贝塞尔公式用算术平均值代替真值，用残余误差vi代替真误差i。考虑到测量次数n为有限次，是根据所得到的测量值样本来对无限总体的标准差做出估计，因而所求得的是标准差的估计值。也可记作s。3测量列算术平均值的标准差（1）测量列算术平均值的精密度参数有限次等精度测量以测量列算术平均值作为真值的最佳估计值，也就是以测量列算术平均值作为测量结果。我们对某一个量作n次重复测量，可以得到一个测量列，求出一个算术平均值。如果我们重复上述过程m次，就可以得到m个测量列，求出m个算术平均值。由于随机误差的存在，这m个算术平均值都不可能完全相同。它们围绕着被测量的真值有一定的分散性，因此有必要考虑算术平均值的精密度。测量列算术平均值可视为随机变量，因而可用测量列算术平均值的标准差作为测量列算术平均值的精密度参数。（2）测量列算术平均值标准差的估计可以证明，测量列算术平均值标准差为测量列标准差的，即 （2-33）在实际测量中往往只能得到的估计值s，因此只能用s代替来计算，因而只能得到的估计值，即 （2-34）（3）等精度测量的测量次数由上式可知，随着测量次数的增多，算术平均值的标准差减小，亦即作为测量结果的算术平均值的精密度提高。因此，在等精度测量中，为了提高测量结果的精密度，应进行多次重复测量。图2-8由于算术平均值的标准差与测量次数n的平方根成反比，因此随着n增大而减小的速度越来越小，如图2-8所示。当n10后，n再增加时，的减小效果已不明显。同时，当测量次数过多时也不能保证测量条件不改变；另外，测量次数增加以后，计算量和时间也增加了。鉴于以上原因，一般等精度测量的测量次数取n10即可。例2-1 对某工件的尺寸进行了10次等精度测量，测得值为：10.0040，10.0057，10.0045，10.0065，10.0051，10.0053，10.0055，10.0050，10.0062，10.0054mm。试计算测量列的算术平均值、标准差和算术平均值标准差。解：为计算方便，免出差错，可采用表格形式运算，见表2-2。表2-2 例2-1数据运算表ixiviviVi2110.00400.001320.001320.0000017424210.00570.000380.000380.0000001444310.00450.000820.000820.0000006724410.00650.001180.001180.0000013924510.00510.000220.000220.0000000484610.00530.000020.000020.0000000004710.00550.000180.000180.0000000324810.00500.000320.000320.0000001024910.00620.000880.000880.00000077441010.00540.000080.000080.0000000064计算测量列的算术平均值 计算各测量值的残余误差。将测量列算术平均值和残余误差的计算结果填入表2-2中。计算各测量值残余误差的平方值及平方和，并将计算结果填入表2-2中。应用贝塞尔公式估算测量列的标准差 估算例2-1的测量列算术平均值标准差 2.2.4 随机误差的概率计算1随机误差的概率积分若随机误差的概率密度函数为f（），则随机误差出现在区间a，b的概率为 （2-35）在实际应用中，通常考虑随机误差出现在对称区间a，a的概率，则有 （2-36）若随机误差服从正态分布，将正态分布的概率密度函数代入上式，并考虑到概率密度函数具有对称性，有 （2-37）上式称为正态分布随机误差的概率积分。令at，有 （2-38）令，作变量置换，有 （2-39）式中 为拉普拉斯函数；，称为误差函数。因为（t）的被积函数的原函数不是初等函数，所以无法用牛顿-莱布尼兹公式来计算这个积分。但是，当积分的上限（即t）给定了以后，我们可以用矩形法、梯形法或抛物线法等数值积分方法近似计算这个积分的值。为方便计算，将拉普拉斯函数的数值列成表格，称拉普拉斯函数表，如表2-3所示。应用拉普拉斯函数表，可大大简化随机误差概率积分的计算。2随机误差的置信度对于服从正态分布的随机误差，当概率密度函数确定后，其概率密度分布曲线也就确定了。若给定一个概率值p（0p1），则能确定一个对称的误差区间a，a，满足Paap。误差区问a，a称为置信区间，所对应的概率值p称为置信概率。置信区间表征随机误差的变化范围，置信概率表征随机误差出现的可能程度。置信区间越宽，相应的置信概率就越大。置信区间和置信概率共同表明了随机误差的可信赖程度。把置信区间和置信概率两者结合起来，统称为置信度。a为置信区间的界限值，称为置信限。往往将置信限a表示为标准差的倍数，即at，t称为置信因子。令1p，称为显著水平或显著度，它表示随机误差在置信区间以外出现的概率。当t1，置信区间为，相应的置信概率p2（1）20.34130.6826，置信水平1p0.317413，这意味着大约每3次测量中有一次测得值的误差落在置信区间，之外。当t2，置信区间为2，2，相应的置信概率p2（2）20.47720.9544，置信水平1p0.0456122，这意味着大约每22次测量中有一次测得值的误差落在置信区间2，2之外。图2-9当t3，置信区间为3，3，相应的置信概率p2（3）20.49865=0.9973，置信水平1p0.00271370，这意味着大约每370次测量中有一次测得值的误差落在置信区间3，3之外。置信区间与相应的置信概率的关系，如图2-9所示。常用在一定置信概率下的置信区间的大小来表示测量列的精密程度，置信区间愈小，则测量列的精密程度就愈高。表2-3 拉普拉斯函数表t（t）t（t）t（t）t（t）0.000.00000.750.27341.500.43322.500.49380.050.01990.800.28811.550.43942.600.49530.100.03980.850.30231.600.44522.700.49650.150.05960.900.31591.650.45052.800.49740.200.07930.950.32891.700.45542.900.49810.250.09871.000.34131.750.45993.000.498650.300.11791.050.35311.800.46413.200.499310.350.13681.100.36431.850.46783.400.499660.400.15541.150.37401.900.47133.600.4998410.450.17361.200.38491.950.47443.800.4999280.500.19151.250.39442.000.47724.000.4999680.550.20881.300.40322.100.48214.500.4999970.600.22571.350.41152.200.48615.000.499999970.650.24221.400.41922.300.48930.700.25801.450.42652.400.49182.2.5 等精度测量的极限误差和测量结果的表示1测量的极限误差测量的极限误差定义为在给定的置信概率条件下，误差出现的极限范围。测量的极限误差是一个极端误差值，当给定置信概率p，测量结果的误差的绝对值超过该极端误差的概率为（1p）。根据上面的计算，测量值的误差的绝对值超过2的概率为0.0456，即在22次测量中有一次测量值的误差的绝对值超过2；测量值的误差的绝对值超过3的概率为0.0456，即在370次测量中有一次测量值的误差的绝对值超过3。由于在一般测量中，测量次数极少是超过几十次的，因此可以认为绝对值大于2或3的误差是不可能出现的，通常取定置信概率p0.9544或p0.9973，即取定置信因子t2或t3来确定极限误差。2单次测量的极限误差和测量结果的表示对于大多数工程测量，由于对测量没有要求给出误差的确切值，往往所采用的测量装置的精确度较低，很难反映出测量误差的变化，因此一般只进行单次测量。对于部分精密测量，根据实际需要对测量结果的精确度要求不是很高，且对一定的测量条件下的标准差已知，往往也只进行单次测量。对于单次测量，就用单次测量的测量值xm作为测量结果。单次测量的极限误差用lim来表示，则。为测量结果的精密度参数，t为置信因子。若事先通过测定已知一定测量条件下的标准差，则即可作为单次测量结果的精密度参数。若事先未知标准差，则可根据单次测量的测量值来估计标准差，用标准差的估计值s作为单次测量结果的精密度参数。显然，这时不能采用贝塞尔公式来进行估计，而是取s1.25作为标准差的估计值。在这里，xmA，实际值A可用足够精确的方法通过测定来确定。置信因子t，可取定置信概率p，按正态分布来确定。通常取定p0.95，t1.960；p0.9545，t2；p0.99，t2.576；p0.9973，t3。单次测量的测量结果表示为： （p） （2-40）因在不同的置信概率p下有不同的极限误差lim，因此一般应在测量结果后标注所取的置信概率p。例2-2 用百分表测量某工件的厚度。已知测量的标准偏差为0.0023mm。一次测量的测得值为xm2.352mm。试写出测量结果。解：取定置信概率p0.9973，按正态分布可得置信因子t3，测量的极限误差为 limt30.00230.00690.007则测量结果可表示为 xxmlim 2.3520.007mm （p0.9973）3多次重复测量的极限误差和测量结果的表示多次重复测量以算术平均值作为测量结果。多次重复测量的极限误差用来表示，则。为测量结果的精密度参数，t为置信因子。多次重复测量以算术平均值的标准差作为测量结果的精密度参数。即 （2-41）若事先通过测定已知一定测量条件下的标准差，则将已知的值代入上式进行计算；若事先未知标准差，则可根据多次测量的测得值估计标准差，用标准差的估计值s代入上式进行计算。 置信因子t可分两种情况来确定：若标准差已知，则可取定置信概率p，按正态分布来确定置信因子t；若标准差未知，须根据多次测量的测得值来估计标准差，但不能按正态分布来确定置信因子t。下面对后一种情况做进一步的讨论。在有限次测量中，算术平均值不再服从正态分布，而是服从自由度n1的t分布。t分布又称学生分布，它是一种连续型随机变量的概率分布。服从自由度为的t分布的随机变量t，它的概率密度函数为 （2-42）式中，（m）为伽玛函数，其表达式为 给定置信区间，随机变量t落入该区间的概率p即为相应的置信概率。根据概率积分，置信概率 （2-43）为显著性水平。p及的值与、有关。给定置信概率p或显著性水平，根据自由度n1，可由式（2-42）和式（2-43）计算相应的值。为便于应用，将计算所得数值列成数值表，称t分布表，见表2-4。表2-4 t分布表 0.050.01 0.050.01112.70663.657182.10092.878424.30279.9248192.09302.860933.18255.8409202.08602.845342.77644.6041212.0812.83452.57064.0321222.0742.82262.44693.7074232.0692.81072.36463.4995242.0642.79882.30603.3554252.0602.78792.26223.2498262.0562.780102.22813.1693272.0522.772112.20103.1058282.0482.764122.17883.0545292.0442.757132.16043.0123302.0402.750142.14482.9763402.0212.704152.13152.9467602.0032.660162.11992.92081201.9802.617172.10982.89821.9602.576在确定极限误差时，置