精编直线与圆锥曲线的位置关系练习题.doc

直线与椭圆的位置关系 题型一：直线与椭圆的位置关系：例1：（1）直线y=x+m和椭圆4x2+y2=1，当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围。练习：题型二：弦长问题：例2：（1）已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点交椭圆与A、B两点.，求弦AB的长.题型三：中点弦问题：例3：已知一直线与椭圆相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的直线方程题型四：直线与椭圆的最大（小）距离例4：已知椭圆和直线，试推断椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？综合题型：1一动圆过定点，且与定圆相切。（1）求动圆圆心C的轨迹M的方程：（2）过点P（0,2）的直线与轨迹M交于不同两点E、F，求的取值范围。2.已知椭圆=1(ab0)的离心率e=，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与坐标原点距离为.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2(k0)与椭圆相交于C、D两点，试判断是否存在k值，使以CD为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值，若不存在说明理由.3已知椭圆的两个焦点为F1、F2，椭圆上一点M满足 （1）求椭圆的方程； （2）若直线l：y=与椭圆恒有不同交点A、B，且（O为坐标原点），求k的范围直线与双曲线的位置关系1.焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（）2.方程表示双曲线，则的取值范围是（）3“abb0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且1（）求椭圆E的方程；（）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由33【2015高考天津，】（本小题满分14分）已知椭圆的上顶点为B，左焦点为，离心率为， （）求直线BF的斜率；34【2015高考浙江，】（本题满分15分）如图，已知抛物线，圆，过点作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线和圆相切，A，B为切点（1）求点A，B的坐标；（2）求的面积注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点35【2015高考重庆，】如图，椭圆（0）的左右焦点分别为，且过的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ（）若|=2+，|=2-，求椭圆的标准方程参考答案1D【解析】由题意可得圆的半径为，则圆的标准方程为，故选D【考点定位】圆的标准方程【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程，属于容易题解题时一定要抓住重要字眼“过原点”，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是圆的标准方程，即圆心，半径为的圆的标准方程是2D【解析】不妨设直线l：xtym，代入抛物线方程有：y24ty4m0则16t216m0又中点M（2t2m，2t），则kMCkl1即m32t2当t0时，若r5，满足条件的直线只有1条，不合题意，若0r5，则斜率不存在的直线有2条，此时只需对应非零的t的直线恰有2条即可当t0时，将m32t2代入16t216m，可得3t20，即0t23又由圆心到直线的距离等于半径，可得dr由0t23，可得r（2，4）选D【考点定位】本题考查直线、圆及抛物线等基本概念，考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、参数取值范围等综合问题，考查数形结合和分类与整合的思想，考查学生分析问题和处理问题的能力【名师点睛】本题实质是考查弦的中垂线过定点问题，注意到弦的斜率不可能为0，但有可能不存在，故将直线方程设为xtym，可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论在对r的讨论中，要注意图形的对称性，斜率存在时，直线必定是成对出现，因此，斜率不存在（t0）时也必须要有两条直线满足条件再根据方程的判别式找到另外两条直线存在对应的r取值范围即可属于难题3D【解析】直线与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，1或12,故选D【考点定位】本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用【名师点睛】在解决直线与圆的位置关系问题时，有两种方法；方法一是代数法：将直线方程与圆的方程联立，消元，得到关于（或）的一元二次方程，通过判断来确定直线与圆的位置关系；方法二是几何法：主要是利用圆心到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后再将与圆的半径进行判断，若则相离；若则相切；若则相交；本题考查考生的综合分析能力和运算能力4B【解析】抛物线的焦点为（2，0），准线方程为，椭圆E的右焦点为（2，0），椭圆E的焦点在x轴上，设方程为，c=2，椭圆E方程为，将代入椭圆E的方程解得A（-2，3），B（-2，-3），|AB|=6，故选B【考点定位】抛物线性质；椭圆标准方程与性质【名师点睛】本题是抛物线与椭圆结合的基础题目，解此类问题的关键是要熟悉抛物线的定义、标准方程与性质、椭圆的定义、标准方程与性质，先由已知曲线与待确定曲线的关系结合已知曲线方程求出待确定曲线中的量，写出待确定曲线的方程或求出其相关性质5C【解析】由已知得右焦点 （其中，从而，又因为，所以，即，化简得到，即双曲线的渐近线的斜率为，故选C【考点定位】双曲线的几何性质与向量数量积【名师点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，利用向量垂直的条件来转化两直线垂直的条件而得到与的关系式来求解本题属于中档题，注意运算的准确性6D【解析】由题意，a1，b，故c2，渐近线方程为yx将x2代入渐近线方程，得y1，22故|AB|4，选D【考点定位】本题考查双曲线的概念、双曲线渐近线方程、直线与直线的交点、线段长等基础知识，考查简单的运算能力【名师点睛】本题跳出直线与圆锥曲线位置关系的常考点，进而考查直线与双曲线渐近线交点问题，考生在解题中要注意识别本题需要首先求出双曲线的渐近线方程，然后联立方程组，接触线段AB的端点坐标，即可求得|AB|的值属于中档题7B【解析】由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，所以抛物线焦点坐标为，故答案选【考点定位】抛物线方程和性质【名师点睛】1本题考查抛物线方程和性质，采用待定系数法求出的值本题属于基础题，注意运算的准确性2给出抛物线方程要求我们能够找出焦点坐标和直线方程，往往这个是解题的关键8C【解析】由题意得：，因为，所以，故选C【考点定位】椭圆的简单几何性质【名师点晴】本题主要考查的是椭圆的简单几何性质，属于容易题解题时要注意椭圆的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是椭圆的简单几何性质，即椭圆（）的左焦点，右焦点，其中9D【解析】由双曲线的渐近线与圆相切得，由，解得，故选D【考点定位】圆与双曲线的性质及运算能力【名师点睛】本题是圆与双曲线的交汇题，虽有一定的综合性，但方法容易想到，仍属于基础题不过要注意解析几何问题中最容易出现运算错误，所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性，基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因10D【解析】因为双曲线的一条渐近线经过点（3，-4）， 故选D【考点定位】双曲线的简单性质【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口与渐近线有关的结论或方法还有：（1）与双曲线共渐近线的可设为；（2）若渐近线方程为，则可设为；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长；（4）的一条渐近线的斜率为可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置11A【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为，故选A【考点定位】本题主要考查双曲线的渐近线公式【名师点睛】在求双曲线的渐近线方程时，考生一定要注意观察双曲线的交点是在轴，还是在轴，选用各自对应的公式，切不可混淆12D【解析】不妨设双曲线的焦点在轴上，即其方程为：，则双曲线的方程为：，所以，当时，所以，所以，所以；当时，所以，所以，所以；故应选【考点定位】本题考查双曲线的定义及其简单的几何性质，考察双曲线的离心率的基本计算，涉及不等式及不等关系【名师点睛】将双曲线的离心率的计算与初中学习的溶液浓度问题联系在一起，突显了数学在实际问题中实用性和重要性，充分体现了分类讨论的数学思想方法在解题中的应用，能较好的考查学生思维的严密性和缜密性13A【解析】设左焦点为，连接，则四边形是平行四边形，故，所以，所以，设，则，故，从而，所以椭圆的离心率的取值范围是，故选A【考点定位】1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式【名师点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，将转化为，进而确定 的值，是本题关键所在，体现了椭圆的对称性和椭圆概念的重要性，属于难题求离心率取值范围就是利用代数方法或平面几何知识寻找椭圆中基本量满足的不等量关系，以确定的取值范围14【解析】如图直线与圆 交于A、B两点，O为坐标原点，且，则圆心（0，0）到直线的距离为 ， 故答案为2【考点定位】直线与圆的位置关系【名师点睛】涉及圆的弦长的常用方法为几何法：设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则本题条件是圆心角，可利用直角三角形转化为弦心距与半径之间关系,再根据点到直线距离公式列等量关系15【解析】由点在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为：，所以该圆在点P处的切线方程为即，故填：【考点定位】圆的切线【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解本题属于基础题，注意运算的准确性16（）；（）【解析】设点的坐标为，则由圆与轴相切于点知，点的横坐标为，即，半径又因为，所以，即，所以圆的标准方程为，令得：设圆在点处的切线方程为，则圆心到其距离为：，解之得即圆在点处的切线方程为，于是令可得，即圆在点处的切线在轴上的截距为，故应填和【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题【名师点睛】将圆的标准方程、圆的切线方程与弦长问题联系起来，注重实际问题的特殊性，合理的挖掘问题的实质，充分体现了数学学科特点和知识间的内在联系，渗透着方程的数学思想，能较好的考查学生的综合知识运用能力其解题突破口是观察出点的横坐标17【解析】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|AF|=|PA|+|AF|+，由于是定值，要使APF的周长最小，则|PA|+最小，即P、A、共线，（3，0），直线的方程为，即代入整理得，解得或（舍），所以P点的纵坐标为，=【考点定位】双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题【名师点睛】解决解析几何问题，先通过已知条件和几何性质确定圆锥曲线的方程，再通过方程研究直线与圆锥曲线的位置关系，解析几何中的计算比较复杂，解决此类问题的关键要熟记圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质及直线与圆锥曲线位置关系的常见思路18【解析】设关于直线的对称点为，则有，解得，所以在椭圆上，即有，解得，所以离心率【考点定位】1点关于直线对称；2椭圆的离心率【名师点睛】本题主要考查椭圆的离心率利用点关于直线对称的关系，计算得到右焦点的对称点，通过该点在椭圆上，代入方程，转化得到关于的方程，由此计算离心率本题属于中等题。主要考查学生基本的运算能力19【解析】由题意知，所以【考点定位】双曲线的焦点【名师点晴】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质，属于容易题解题时要注意双曲线的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是双曲线的简单几何性质，即双曲线（，）的左焦点，右焦点，其中202【解析】依题意，点为坐标原点，所以，即【考点定位】抛物线的性质，最值【名师点睛】由于抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，所以抛物线的顶点到焦点的距离最小21【解析】因为的方程为，所以的一条渐近线的斜率，所以的一条渐近线的斜率，因为双曲线、的顶点重合，即焦点都在轴上，设的方程为，所以，所以的方程为【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率【名师点睛】在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程同时要熟练掌握以下三方面内容：（1）已知双曲线方程，求它的渐近线； （2）求已知渐近线的双曲线的方程； （3）渐近线的斜率与离心率的关系，如22【解析】双曲线的右焦点为不妨设所作直线与双曲线的渐近线平行，其方程为，代入求得点的横坐标为，由，得，解之得，（舍去，因为离心率），故双曲线的离心率为【考点定位】1双曲线的几何性质；2直线方程【名师点睛】本题考查了双曲线的几何性质及直线方程，解答本题的关键，首先是将问题进一步具体化，即确定所作直线与哪一条渐近线平行，事实上，由双曲线的对称性可知，两种情况下结果相同；其次就是能对所得数学式子准确地变形，利用函数方程思想，求得离心率本题属于小综合题，也是一道能力题，在较全面考查直线、双曲线等基础知识的同时，考查考生的计算能力及函数方程思想23（1）；（2）；（3）存在，或【解析】试题分析：（1）将圆的方程化为标准方程可得圆的圆心坐标；（2）先设线段的中点的坐标和直线的方程，再由圆的性质可得点满足的方程，进而利用动直线与圆相交可得的取值范围，即可得线段的中点的轨迹的方程；（3）先说明直线的方程和曲线的方程表示的图形，再利用图形可得当直线与曲线只有一个交点时，的取值范围，进而可得存在实数，使得直线与曲线只有一个交点试题解析：（1）圆化为，所以圆的圆心坐标为（2）设线段的中点，由圆的性质可得垂直于直线设直线的方程为（易知直线的斜率存在），所以，所以，所以，即因为动直线与圆相交，所以，所以所以，所以，解得或，又因为，所以所以满足即的轨迹的方程为（3）由题意知直线表示过定点，斜率为的直线结合图形，表示的是一段关于轴对称，起点为按逆时针方向运动到的圆弧根据对称性，只需讨论在轴对称下方的圆弧设，则，而当直线与轨迹相切时，解得在这里暂取，因为，所以结合图形，可得对于轴对称下方的圆弧，当或时，直线与轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知：当或时，直线与轴对称上方的圆弧有且只有一个交点综上所述，当或时，直线与曲线只有一个交点考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程、直线与圆的位置关系，属于难题解题时一定要注意关键条件“直线与圆相交于不同的两点，”，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是圆的标准方程和直线与圆的位置关系，即圆的圆心，直线与圆相交（是圆心到直线的距离），直线与圆相切（是圆心到直线的距离）24（）（）2【解析】试题分析：（）设出直线l的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于k的不等式，即可求出k的取值范围；（）设，将直线l方程代入圆的方程化为关于x的一元二次方程，利用韦达定理将用k表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及列出关于k方程，解出k，即可求出|MN|试题解析：（）由题设，可知直线l的方程为因为l与C交于两点，所以解得所以的取值范围是（）设将代入方程,整理得,所以,由题设可得，解得，所以l的方程为故圆心在直线l上，所以考点：直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力【名师点睛】直线与圆的位置关系问题是高考文科数学考查的重点，解决此类问题有两种思路，思路1：将直线方程与圆方程联立化为关于的方程，设出交点坐标，利用根与系数关系，将用k表示出来，再结合题中条件处理，若涉及到弦长用弦长公式计算，若是直线与圆的位置关系，则利用判别式求解;思路2：利用点到直线的距离计算出圆心到直线的距离，与圆的半径比较处理直线与圆的位置关系，利用垂径定理计算弦长问题25（） （）详见解析【解析】（）解：由题设条件知，点，又从而进而，故（）证：由是的中点知，点的坐标为，可得又，从而有由（）得计算结果可知所以，故26（）；（）1；（）直线与直线平行试题解析：（）椭圆的标准方程为所以，所以椭圆的离心率（）因为过点且垂直于轴，所以可设，直线的方程为令，得所以直线的斜率27（）；（）详见解析【解析】解法一：（）由抛物线的定义得因为，即，解得，所以抛物线的方程为（）因为点在抛物线上，所以，由抛物线的对称性，不妨设由，可得直线的方程为由，得，解得或，从而又，所以，所以，从而，这表明点到直线，的距离相等，故以为圆心且与直线相切的圆必与直线相切解法二：（）同解法一（）设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为因为点在抛物线上，所以，由抛物线的对称性，不妨设由，可得直线的方程为由，得，解得或，从而又，故直线的方程为，从而又直线的方程为，所以点到直线的距离这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切29（） ；（）试题解析：（）由知其焦点F的坐标为，因为F也是椭圆的一个焦点，所以 ； 又与的公共弦长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为， ，联立得，故的方程为。（）如图，设 因与同向，且，所以，从而，即，于是 设直线的斜率为，则的方程为，由得，由是这个方程的两根，由得，而是这个方程的两根， 将、代入，得。即所以，解得，即直线的斜率为单30（）；（）（）；（）【解析】（）由题意知又，解得，所以椭圆的方程为（）由（）知椭圆的方程为（）设由题意知因为又，即所以，即（）设将代入椭圆的方程，可得，由可得则有所以因为直线与轴交点的坐标为，所以的面积设将直线代入椭圆的方程，可得，由可得由可知故当且仅当，即时取得最大值由（）知，的面积为，所以面积的最大值为31（）； （）证明见解析【解析】试题分析：（）由题意知，由，解得，继而得椭圆的方程为；（）设，则，由题设知，直线的方程为，代入，化简得，则，由已知， 从而直线与的斜率之和化简得，把式代入方程得试题解析：（）由题意知，综合，解得，所以，椭圆的方程为（）由题设知，直线的方程为，代入，得，由已知，设，则，从而直线与的斜率之和32（）（）存在常数1，使得为定值3【解析】（）由已知，点C，D的坐标分别为（0，b），（0，b）又点P的坐标为（0，1），且1于是，解得a2，b所以椭圆E方程为（）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1A，B的坐标分别为（x1，y