清华大学2018年人文社科冬季体验营测试详解精校版.doc

清华大学2018年人文社科冬季体验营测试注：测试共17题，其中1-5题为单项选择题，6-15题为填空题，16-17题为解答题，试题为回忆版.1. 一摩天轮的底部距离地面2米，摩天轮半径长为10米，运转一周需要12分钟。摩天轮运转一周的过程中，人在距离地面17米及以上的总时长（ ）A. 2分钟 B. 4分钟 C. 6分钟 D. 8分钟解答： 容易知道人在距离地面17米及以上时所经过的总弧度为，从而人在距离地面17米及以上的总时长为分钟. 答案B.2. 在中，称等比数列，所对角为，求的取值范围（ ）A. B. C. D. 解答：由题，则，由积化和差公式推出，解得，即.故. 答案A.3.分别为正方体某三条棱的中点，问面被正方体截得的平面不可能是（ ）边形？ A.3 B. 4 C. 5 D. 6解答：排除法. 容易画出满足题目要求的三角形、正方形和正六边形. 答案C.3. 数列满足：求的最大值_解答：由可得，从而，即：，当是一个首项为2，公差为4的等差数列时，可以取到的最大值18. 答案18.4.在33的表格中填入1-9（每个数字各出现一次），要求每行从左至右递增，每列从上至下递增，3和4的位置给出（参考下表），问表格有_种可能的填法. 34 1234 9解答：容易知道1,2,9的位置只有一种选择（如右图）. 右上角的两个方格里从5,6,7,8里任选两个按大小顺序放入，剩下的两个顺次放在左下角即可. 表格有种可能的填法. 答案6.4. 记代表不超过的最大整数，如 ，求方程所确定的所有在平面直角坐标系中的面积_12_ 解答：当时，对应的所有在平面直角坐标系中的面积为1；所以方程所确定的所有在平面直角坐标系中的面积是12.5. 从圆周上任取三点，形成锐角三角形的概率是_ .解答一：先在单位圆周上任选一点A,然后再依次选定B（沿着逆时针方向，A运动到B的弧长记为）和C（沿着逆时针方向，A运动到C的弧长记为），三点形成三角形的充要条件是，在直角坐标系内所形成的可行域面积为；三点形成锐角三角形的充要条件是，在直角坐标系内所形成的可行域面积为；综上所述，三点形成锐角三角形的概率是 解答二：设圆周上任取的三点为A，B，C. 先可假定点A为圆周上任意取定的一点，如图所示，下面考虑点B，C的位置：过点A作圆的直径，再作的垂直直径，不妨假设点B在直径左侧（点B在直径右侧情形完全一样）：q1 点B落在劣弧上概率为，要构成锐角三角形，点C只能落在劣弧上（点C在其他三段1/4圆弧上均构成直角或钝角三角形），概率为；点B落在劣弧上概率也为，要构成锐角三角形，点C只能落在劣弧上，概率为. 综上，所求概率.6. 将二进制小数转化为十进制的结果是_ 解答：. 7. 问函数 的零点数目_ 解答：，解得有个极小值点为，在上单调递减，在上单调递增，结合，可知零点个数为2.8. 已知为定义在实数集上的增函数，且满足，求=_ 解答：由于为增函数，且，推出，其中是使成立的自变量.在中，令得到，方程左式是关于单调递增的，且有特殊解，于是，答案是10.9. 半径为1的球面上有不共面的四个点,满足，求的值_ 解答：根据条件，四面体为等腰四面体（对棱长度相等），根据等腰四面体性质，其外接长方体体对角线程度为外接球面直径;另一方面，记外接长方体长，宽，高分别为，则 ，所以.10. 已知抛物线及其焦点，与连线段的中垂线为该抛物线的切线，求点的轨迹方程_ 解答：设切点为，解得该点处切线方程为，考虑和的连线的中垂线，得到两个方程：斜率：； 中点在切线上：；两式联立，消去，解得.11. 如下图所示，在边长为1的正方体中，为中点，为上顶面的两点，满足.(1) 问 与的关系_ (2) 若允许在正方体的整个上表面运动，求的最小值_ 解答：以A为坐标原点，沿方向分别建立轴，则，设，则，由，；同理，记，则，从而满足，从而与平行；当在上顶面运动时，满足，则，当时，取到最小值.12. 函数，为函数曲线上横坐标为的定点，和为函数曲线上的动点，满足.(1) 直接写出的定义域和单调区间；(2) 问：对于任意，满足题意的是否存在？若存在，结果是否唯一？(3) 记，问何时取得最大值？解答：（1）的定义域为；并且在区间上单调递增;（2）；，则，从而图像关于中心对称，所以对图像上任意一点，存在唯一一个点满足条件；（3）根据中心对称性，则，显然当取得最大值时为正数，此时；并且，由，可知当时，取得最大值.13. 抛物线的焦点，过抛物线外一点做抛物线的切线，切点分别记为和.（1） 证明：的方程为；（2） 证明：;（3） 证明：.解答：（1） 对抛物线方程