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文档简介

内容：1. 勒维-齐维塔记号2. 基本矢量运算公式3. 亥姆霍兹定理的两种表述形式1. 勒维-齐维塔记号定义勒维-齐维塔（）记号为：+1是的偶排列-1是的奇排列0中有两个指标相同l 勒维-齐维塔记号的一个重要等式： 2. 基本矢量运算公式2.1 两矢量叉乘的矩阵表示用、和分别表示直角坐标系、和轴的单位向量，则可知有如下关系成立 因此即有 2.2 三个矢量间的混合积和双重矢量积利用标量积和矢量积的定义，可以证明两个很有用的公式：三个矢量的混合积 双重矢量积 上述两公式的证明如下：l 混合积公式的证明由行列式可以看出混合积对、和具有轮换对称性，即有： l 双重矢量积公式的证明即有： 上式证明中用到了勒维-齐维塔记号的性质式。2.3 算符的线性运算性质对任意的数量场、以及矢量场、，根据算符的定义以及矢量的标量积和矢量积的分配律，容易验证算符具有如下线性运算性质： 式中、为任意常数。例题：求两个矢量场、的矢量积的散度，即求解 考虑到算符的求导作用式中表示不被作微分运算，同理（以后此种记号都作这样的理解）。根据矢量公式作调整得到 交换、的顺序，由式可以推出 于是 推导过程说明在式中的项是过渡性的。之所以这么说是因为在这一步中仅考虑了矢量运算法则，而没有顾及到矢量要被作微分运算（即只能出现在的后面）。但是这一步对于得到最终的结果还是必要的，因此在进行具体运算时也需要把它写出来。不过它不能直接以相等的关系出现在运算过程中，所以在推导过程中我们用记号“”把它与其它项区别开来，以表示“过渡性”的含义。还要指出的是在式、式的最后结果中，我们把、的下标都去掉了，这是因为、仅仅是用以表示、不被哈密顿算符作用的一种“记法”，现在既然、都已经挪到的前面去了，所以再在、的下面放个就没有意义了。3 亥姆霍兹定理的两种表述形式l 亥姆霍兹定理 表述形式之一：在空间有限区域内的任意一个矢量场，由它的散度、旋度以及边界条件（即限定体积的闭合面上的矢量场分布）唯一确定。l 亥姆霍兹定理 表述形式之二：对于空间有限区域内的任意一个矢量场，若已知它的散度、旋度和边界条件，则可以唯一地确定该矢量场，并可以将之表示成一个无旋场（）和一个无源场（）之和。即 其中 上面两式中，是场点到源点的距离。代表已知的通量源密度，代表已知的旋涡源密度。“”和“”分别表示对求散度和旋度。函数是给定的。如果矢量场在无限远处以足够快的速度减弱至零，则式和式中的体积分可以扩展到整个无限大空间，并且在
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