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键入文字 概率与统计 提高练习 1 在某地的奥运火炬传递活动中 有编号为 1 2 3 18 的 18 名火 炬手 若从中任选 3 人 则选出的火炬手的编号能组成 3 为公差的等差数 列的概率为 B A B 51 1 68 1 C D 306 1 408 1 2 电子钟一天显示的时间是从 00 00 到 23 59 的每一时刻都由四个数字 组成 则一天中任一时刻的四个数字之和为 23 的概率为 C A B C D 1 180 1 288 1 360 1 480 3 某一批花生种子 如果每 1 粒发牙的概率为 那么播下 4 粒种子恰有 4 5 2 粒发芽的概率是 B A B C D 16 625 96 625 192 625 256 625 4 记等差数列的前 项和为 若 则 D n an n S 1 1 2 a 4 20S 6 S A 16B 24C 36D 48 5 4 张卡片上分别写有数字 1 2 3 4 从这 4 张卡片中随机抽取 2 张 则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为 C A B C D 1 3 1 2 2 3 3 4 6 某工厂对一批产品进行了抽样检测 右图是根据抽样检测后的产品净重 单位 克 数据绘制的频率分布直方图 其中产品净重的范围是 96 106 样本数 96 98 100 102 104 106 0 15 0 0 12 5 0 10 0 0 07 5 0 05 0 克 频率 组 距 第 8 题 图 键入文字 据分组为 96 98 98 100 100 102 102 104 104 106 已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36 则样本中净重大于或 等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是 A 90 B 75 C 60 D 45 解 产品净重小于 100 克的概率为 0 050 0 100 2 0 300 已知 样本中产品净重小于 100 克的个数是 36 设样本容量为n 则300 0 36 n 所 以120 n 净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的概率为 0 100 0 150 0 125 2 0 75 所以样本中净重大于或等于 98 克并且小 于 104 克的产品的个数是 120 0 75 90 故选 A 7 在区间 1 1 上随机取一个数 x cos 2 x 的值介于 0 到 2 1 之间的概率 为 A 3 1 B 2 C 2 1 D 3 2 解 在区间 1 1 上随机取一个数 x 即 1 1 x 时 要使cos 2 x 的值 介于 0 到 2 1 之间 需使 223 x 或 322 x 2 1 3 x 或 2 1 3 x 区间长度为 3 2 由几何概型知cos 2 x 的值介于 0 到 2 1 之间的概率为 3 1 2 3 2 故选 A 8 在区间 2 2 上随机取一个数 x cosx的值介于 0 到 2 1 之间的概率为 A 3 1 B 2 C 2 1 D 3 2 解 在区间 2 2 上随机取一个数 x 即 2 2 x 时 要使cosx的值 键入文字 介于 0 到 2 1 之间 需使 23 x 或 32 x 区间长度为 3 由几何概 型知cosx的值介于 0 到 2 1 之间的概率为 3 1 3 故选 A 9 考察正方体 6 个面的中心 甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线 乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线 则所得的两条直线相互平行 但不重合的概率等于 A 1 75 B 2 75 C 3 75 D 4 75 解 如图 甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线 乙也从这 6 个点 中任意选两个点连成直线 共有 22 66 15 15225CC 种不同取法 其中所 得的两条直线相互平行但不重合有 ACDB ADCB AEBF AFBE CEFD CFED共 12 对 所以所求 概率为 124 22575 p 选 D 10 考察正方体 6 个面的中心 从中任意选 3 个点连成三角形 再把剩下 的 3 个点也连成 三角形 则所得的两个三角形全等的概率等于 A 1 B C D 0 1 2 1 3 解 依据正方体各中心对称性可判断等边三角形有 3 6 C个 由正方体各 中心的对称性可得任取三个点必构成等边三角形 故概率为 1 选 A 11 甲 乙 丙 丁4个足球队参加比赛 假设每场比赛各队取胜的概率 相等 现任意将这4个队分成两个组 每组两个队 进行比赛 胜者再 赛 则甲 乙相遇的概率为 A B CD E F 键入文字 A 1 6 B 1 4 C 1 3 D 1 2 解 所有可能的比赛分组情况共有 22 42 412 2 C C 种 甲乙相遇的分组情 况恰好有 6 种 故选D 12 为了庆祝六一儿童节 某食品厂制作了3种不同的精美卡片 每袋食 品随机装入一张卡片 集齐3种卡片可获奖 现购买该种食品5袋 能获 奖的概率为 A 31 81 B 33 81 C 48 81 D 50 81 解 55 5 3 3 23 50 381 P 故选 D 13 设矩形的长为a 宽为b 其比满足b a 618 0 2 15 这种矩形 给人以美感 称为黄金矩形 黄金矩形常应用于工艺品设计中 下面是 某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本 甲批次 0 598 0 625 0 628 0 595 0 639 乙批次 0 618 0 613 0 592 0 622 0 620 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数 与标准值 0 618 比较 正确结论是 A 甲批次的总体平均数与标准值更接近 B 乙批次的 总体平均数与标准值更接近 C 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 键入文字 D 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 解 甲批次的平均数为 0 617 乙批次的平均数为 0 613 答案 A 14 对变量 x y 有观测数据理力争 1 x 1 y i 1 2 10 得散点 图 1 对变量 u v 有观测数据 1 u 1 v i 1 2 10 得散点图 2 由这两个散点图可以判断 A 变量 x 与 y 正相关 u 与 v 正 相关 B 变量 x 与 y 正相关 u 与 v 负 相关 C 变量 x 与 y 负相关 u 与 v 正相关 D 变量 x 与 y 负相关 u 与 v 负相关 解 由这两个散点图可以判断 变量 x 与 y 负相关 u 与 v 正相关 选 C 15 ABCD 为长方形 AB 2 BC 1 O 为 AB 的中点 在长方形 ABCD 内 随机取一点 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 A 4 B 1 4 C 8 D 1 8 解 长方形面积为 2 以 O 为圆心 1 为半径作圆 在矩形内部的部分 半圆 面积为 2 因此取到的点到 O 的距离小于 1 的概率为 2 2 4 取到的点 到 O 的距离大于 1 的概率为1 4 答案 B 16 设矩形的长为a 宽为b 其比满足b a 618 0 2 15 这种矩形 键入文字 给人以美感 称为黄金矩形 黄金矩形常应用于工艺品设计中 下面是 某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本 甲批次 0 598 0 625 0 628 0 595 0 639 乙批次 0 618 0 613 0 592 0 622 0 620 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数 与标准值 0 618 比较 正确结论是 A 甲批次的总体平均数与标准值更接近 B 乙批次的总体 平均数与标准值更接近 C 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 解 甲批次的平均数为 0 617 乙批次的平均数为 0 613 用以上各数 据与 0 618 或 0 6 的差进行计算 可减少计算量 17 某单位共有老 中 青职工 430 人 其中青年职工 160 人 中年职工 人数是老年职工 人数的 2 倍 为了解职工身体状况 现采用分层抽样方法进行调查 在 抽取的样本中有青年职工 32 人 则该样本中的老年职工人数为 A 9 B 18 C 27 D 36 解 由比例可得该单位老年职工共有 90 人 用分层抽样的比例应抽 取 18 人 18 一个容量 100 的样本 其数据的分组与各组的频数如下表 键入文字 组别 0 10 20 20 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 频数 1213241516137 则样本数据落在 10 40 上的频率为 A 0 13 B 0 39 C 0 52 D 0 64 解 由题意可知频数在 10 40的有 13 24 15 52 由频率 频数 总 数可得 0 52 故选 C 19 若事件E与F相互独立 且 1 4 P EP F 则 P EFI的值等于 A 0 B 1 16 C 1 4 D 1 2 解 P EFI 11 44 P EP F 1 16 20 在发生某公共卫生事件期间 有专业机构认为该事件在一段时间没有 发生在规模群体感染的标志为 连续 10 天 每天新增疑似病例不超过 7 人 根据过去 10 天甲 乙 丙 丁四地新增疑似病例数据 一定符合 该标志的是 A 甲地 总体均值为 3 中位数为 4 B 乙地 总体均值 为 1 总体方差大于 0 C 丙地 中位数为 2 众数为 3 D 丁地 总体均值 为 2 总体方差为 3 解 根据信息可知 连续 10 天内 每天的新增疑似病例不能有超过 7 的数 选项 A 中 中位数为 4 可能存在大于 7 的数 同理 在选项 C 键入文字 中也有可能 选项 B 中的总体方差大于 0 叙述不明确 如果数目太大 也有可能存在大于 7 的数 选项 D 中 根据方差公式 如果有大于 7 的 数存在 那么方差不会为 3 故答案选 D 一 填空题 1 一个单位共有职工 200 人 其中不超过 45 岁的有 120 人 超过 45 岁 的有 80 人 为了调查职工的健康状况 用分层抽样的方法从全体职工中 抽取一个容量为 25 的样本 应抽取超过 45 岁的职工 人 10 2 在平面直角坐标系中 从六个点 A 0 0 B 2 0 C 1 1 D 0 2 E 2 2 F 3 3 中任取三个 这三点能构成三角形的概率是 结 3 4 果用分数表示 3 已知总体的各个体的值由小到大依次为 2 3 3 7 a b 12 13 7 18 3 20 且总体的中位数为 10 5 若要使该 总体的方差最小 则a b的取值分别是 10 5 和 10 5 4 一个骰子连续投 2 次 点数和为 4 的概率 1 12 5 在平面直角坐标系中 设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 xoy 的点构成的区域 E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域 向 D 中随机投一点 则落入 E 中的概率 16 6 对有n n 4 个元素的总体进行抽样 先将总体分成两个子总 1 2 n 体和 m是给定的正整数 且 2 m n 2 再从 1 2 m 1 2 mmn 键入文字 每个子总体中各随机抽取 2 个元素组成样本 用表示元素i和j同时出 ij P 现在样本中的概率 则 所有 1 i j 的和等于 1n P ij P n 6 4 m nm 7 某单位 200 名职工的年龄分布情况如图 2 现要从中抽取 40 名职工作 样本 用系统抽样法 将全体职工随机按 1 200 编号 并按编号顺序平 均分为 40 组 1 5 号 6 10 号 196 200 号 若第 5 组抽出的号 码为 22 则第 8 组抽出的号码应是 若用分层抽样方法 则 40 岁以下年龄段应抽取 人 解 由分组可知 抽号的间隔为 5 又因为第 5 组抽出的号码为 22 所 以第 6 组抽出的号码为 27 第 7 组抽出的号码为 32 第 8 组抽出的号码 为 37 40 岁以下年龄段的职工数为200 0 5100 则应抽取的人数为 40 10020 200 人 答案 37 20 8 已知离散型随机变量X的分布列如右表 若0EX 1DX 则a b 解 由题知 12 11 cba 0 6 1 ca 1 12 1 211 222 ca 解得 12 5 a 4 1 b 9 某个容量为100的样本的频率分布直方图如下 则在区间 4 5 上的数据 的频数为 解 对于在区间 4 5的频率 组距的数值为0 3 而总 数为 100 因此 频数为 30 键入文字 10 若随机变量 2 XN 则 P X 解 1 2 11 从长度分别为 2 3 4 5 的四条线段中任意取出三条 则以这三条 线段为边可以构成三角形的概率是 解 依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况 3 4 或 3 4 5 或 2 4 5 故 3 4 33 4 P C 0 75 12 现有 5 根竹竿 它们的长度 单位 m 分别为 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 若从中一次随机抽取 2 根竹竿 则它们的长 度恰好相差 0 3m 的概率为 解 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10 它们 的长度恰好相差 0 3m 的事件数为 2 分别是 2 5 和 2 8 2 6 和 2 9 所求概率为 0 2 13 某校甲 乙两个班级各有 5 名编号为 1 2 3 4 5 的学生进行投篮 练习 每人投 10 次 投中的次数如下表 学生1 号2 号3 号4 号5 号 甲班 67787 乙班 67679 则以上两组数据的方差中较小的一个为 2 s 解 甲班的方差较小 数据的平均值为 7 故方差 22222 2 67 00 87 02 55 s 14 某企业有 3 个分厂生产同一种电子产品 第一 二 三分厂的产量之 比为 1 2 1 用分层抽样方法 每个分厂的产品为一层 从 3 个分厂生产的电子产品 中共取 100 件作使用寿命的测试 键入文字 由所得的测试结果算得从第一 二 三分厂取出的产品的使用寿命的平 均值分别为 980h 1020h 1032h 则抽取的 100 件产品的使用寿命的平均值为 h 解 980 1 1020 2 1032 1 4 x 1013 15 甲 乙 丙三人将参加某项测试 他们能达标的概率分别是 0 8 0 6 0 5 则三人都达标的概率是 三人中至少 有一人达标的概率是 解 三人均达标为 0 8 0 6 0 5 0 24 三人中至少有一人达标为 1 0 24 0 76 16 下图是样本容量为 200 的频率分布直方图 根据样本的频率分布直方图估计 样本数据落在 6 10 内的频数为 数据落在 2 10 内的概率约为 解 观察直方图易得频数为200 0 08 464 频率为 0 1 40 4 17 一个总体分为A B两层 用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本 已知B层中每个个体被抽到的概率都为 1 12 则总体中的个体 数为 解 设总体中的个体数为x 则 101 120 12 x x 18 一个总体分为 A B 两层 其个体数之比为 4 1 用分层抽样方法从 总体中抽取一个容量为 10 的样本 已知 B 层中甲 乙都被抽到的概率为 键入文字 1 28 则总体中的个数数位 解 由条件易知B层中抽取的样本数是 2 设B层总体数是n 则又由 B层中甲 乙都被抽到的概率是 2 2 2 n C C 1 28 可得8n 所以总体中的个数 是4 8840 19 某学院的 A B C 三个专业共有 1200 名学生 为了调查这些学生勤 工俭学的情况 拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本 已 知该学院的 A 专业有 380 名学生 B 专业有 420 名学生 则在该学院的 C 专业应抽取 名学生 解 C 专业的学生有4004203801200 由分层抽样原理 应抽取 40 1200 400 120 名 20 点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点 若在该圆周上随机取一点 B 则劣弧 AB 的长度小于 1 的概率为 解 如图可设1AB 则1AB 根据几何概率可知其整体事 件是其周长3 则其概率是 2 3 w w w k s 5 u c o m 21 若某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人作为上海世博会的志愿 者 则选出的志愿者中男女生均不少于 1 名的概率是 结果用最简分数表示 解 因为只有 2 名女生 所以选出 3 人中至少有一名男生 当选出的 学生全是男生时有 3 5 C 概率为 7 2 3 7 3 5 C C 所以 均不少于 1 名的概率 键入文字 为 1 7 5 7 2 22 5 个人站成一排 其中甲 乙两人不相邻的排法有 种 用数字作答 解 可按两个步骤完成 第一步骤先排除甲乙外的其他三人 有 3 3 A种 第二步将甲乙二人插入前人形成的四个空隙中 有 2 4 A种 则甲 乙两不 相邻的排法有 32 34 A A72 种 23 从一堆苹果中任取 5 只 称得它们的质量如下 单位 克 125 124 121 123 127 则该样本标准差s 克 用数字作 答 解 因为样本平均数 1 125 124 121 123 127 124 5 x 则样本方差 222222 1 1313 4 5 sO 所以2s 24 样本容量为 200 的频率分布直方图如图所示 根据样本的频率分布直 方图估计 样本数据落在 6 10 内的频数为 数据落在 2 10 内的概率约为 解 由于在 6 10 范围内频数 组距是 0 08 所以频率是 0 08 组距 0 32 而频数 频率 样本容量 所以频数 0 08 4 200 64 同样在 2 6 范围内的频数为 16 所以在 2 10 范围内的频数和为 80 概率为 80 200 0 4 二 解答题 1 已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病 需要通过化验血液来确定患病 的动物 血液化验结果呈阳性的即为患病动物 呈阴性即没患病 下面 键入文字 是两种化验方法 方案甲 逐个化验 直到能确定患病动物为止 方案乙 先任取 3 只 将它们的血液混在一起化验 若结果呈阳性则表 明患病动物为这 3 只中的 1 只 然后再逐个化验 直到能确定患病动物 为止 若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率 表示依方案乙所需化验次数 求 的期望 解 对于甲 次数12345 概率0 20 20 20 20 2 对于乙 次数234 概率0 40 40 2 0 2 0 40 2 0 80 2 1 0 2 10 64 表示依方案乙所需化验次数 的期望为 2 0 43 0 44 0 22 8E 2 购买某种保险 每个投保人每年度向保险公司交纳保费 元 若投保人a 在购买保险的一年度内出险 则可以获得 10 000 元的赔偿金 假定在一 年度内有 10 000 人购买了这种保险 且各投保人是否出险相互独立 已 知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为 4 10 1 0 999 求一投保人在一年度内出险的概率 p 键入文字 设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元 为 保证盈利的期望不小于 0 求每位投保人应交纳的最低保费 单位 元 解 各投保人是否出险互相独立 且出险的概率都是 记投保的 10 000 人p 中出险的人数为 则 4 10 Bp 记表示事件 保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金 则A 发生当且仅当 2 分A0 1 P AP A 1 0 P 4 10 1 1 p 又 4 10 1 0 999P A 故 5 分0 001p 该险种总收入为元 支出是赔偿金总额与成本的和 10 000a 支出 10 00050 000 盈利 10 000 10 00050 000 a 盈利的期望为 9 分10 00010 00050 000EaE 由知 43 10 10 B 3 10 000 10E 444 10105 10EaE 44434 101010105 10a 0E 444 1010105 100a 键入文字 1050a 元 15a 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元 12 分 3 甲 乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服ABCD 务 每个岗位至少有一名志愿者 求甲 乙两人同时参加岗位服务的概率 A 求甲 乙两人不在同一个岗位服务的概率 设随机变量 为这五名志愿者中参加岗位服务的人数 求 的分 A 布列 解 记甲 乙两人同时参加岗位服务为事件 那么A A E 3 3 24 54 1 40 A A P E C A 即甲 乙两人同时参加岗位服务的概率是 A 1 40 记甲 乙两人同时参加同一岗位服务为事件 那么E 4 4 24 54 1 10 A P E C A 所以 甲 乙两人不在同一岗位服务的概率是 9 1 10 P EP E 随机变量 可能取的值为 1 2 事件 是指有两人同时参 2 加岗位服务 A 则 23 53 34 54 1 2 4 C A P C A 所以 的分布列是 3 1 1 2 4 PP 13 键入文字 P 3 4 1 4 4 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 购买乙种商0 5 品的概率为 且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立 各顾客之间0 6 购买商品也是相互独立的 求进入商场的 1 位顾客购买甲 乙两种商品中的一种的概率 求进入商场的 1 位顾客至少购买甲 乙两种商品中的一种的概率 记 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲 乙两种商品中的一 种的人数 求 的分布列及期望 解 记表示事件 进入商场的 1 位顾客购买甲种商品 A 记表示事件 进入商场的 1 位顾客购买乙种商品 B 记表示事件 进入商场的 1 位顾客购买甲 乙两种商品中的一C 种 记表示事件 进入商场的 1 位顾客至少购买甲 乙两种商品中D 的一种 CA BA B P CP A BA B P A BP A B P AP BP AP B 0 5 0 40 5 0 6 0 5 DA B P DP A B 键入文字 P AP B 0 5 0 4 0 2 10 8P DP D 故 的分布列 3 0 8B 3 00 20 008P 12 3 10 8 0 20 096PC 22 3 20 80 20 384PC 3 30 80 512P 所以3 0 82 4E 5 甲 乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球 命中率分别为与 2 1 且乙投球 2 次均未命中的概率为 p 16 1 求乙投球的命中率 p 求甲投球 2 次 至少命中 1 次的概率 若甲 乙两人各投球 2 次 求两人共命中 2 次的概率 解 本小题主要考查随机事件 互斥事件 相互独立事件等概率的基础 知识 考查运用概率知识解决实际问题的能力 满分 12 分 解法一 设 甲投球一次命中 为事件 A 乙投球一次命中 为 事件 B 由题意得 16 1 11 22 pBP 解得或 舍去 所以乙投球的命中率为 4 3 p 4 5 4 3 解法二 设设 甲投球一次命中 为事件 A 乙投球一次命中 为事件 B 键入文字 由题意得 于是或 舍去 故 1 16 P B P B 1 4 P B 1 4 P B 3 1 4 pP B 所以乙投球的命中率为 3 4 解法一 由题设和 知 2 1 2 1 APAP 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 4 3 1 AAP 解法二 由题设和 知 2 1 2 1 APAP 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 4 3 1 2 APAPAPAPC 由题设和 知 4 1 4 3 2 1 2 1 BPBPAPAP 甲 乙两人各投球 2 次 共命中 2 次有三种情况 甲 乙两人各中一次 甲中两次 乙两次均不中 甲两次均不中 乙中 2 次 概率分别为 16 3 1 2 1 2 BPBPCAPAPC 64 1 BBPAAP 64 9 BBPAAP 所以甲 乙两人各投两次 共命中 2 次的概率为 32 11 64 9 64 1 16 3 6 为防止风沙危害 某地决定建设防护绿化带 种植杨树 沙柳等植物 某人一次种植了 n 株沙柳 各株沙柳成活与否是相互独立的 成活率为 p 设 为成活沙柳的株数 数学期望 标准差为 3E 6 2 求 n p 的值并写出 的分布列 若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活 则需要补种 求需要补种沙 柳的概率 键入文字 解 1 由得 2 3 3 1 2 Enpnpp 1 1 2 p 从而 1 6 2 np 的分布列为 0123456 P 1 64 6 64 15 64 20 64 15 64 6 64 1 64 2 记 需要补种沙柳 为事件 A 则 得 3 P AP 或 1 6 152021 6432 P A 156 121 1 3 1 6432 P AP 7 甲乙两队参加奥运知识竞赛 每队 3 人 每人回答一个问题 答对者 为本队赢得一分 答错得零分 假设甲队中每人答对的概率均为 乙队中 3 人答对的 3 2 概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响 用 表示甲队 2 1 3 2 3 2 的总得分 求随机变量 分布列和数学期望 用 A 表示 甲 乙两个队总得分之和等于 3 这一事件 用 B 表示 甲队总得分大于乙队总得分 这一事件 求 P AB 解法一 由题意知 的可能取值为 0 1 2 3 且 所以 的分布列为 0123 P 27 1 9 2 9 4 27 8 的数学期望为 27 8 3 2 3 9 4 3 2 1 3 2 2 9 2 3 2 1 3 2 1 27 1 3 2 1 0 3 3 332 3 2 2 3 13 3 0 CPCP CPCP 键入文字 E 2 27 8 3 9 4 2 9 2 1 27 1 0 解法二 根据题设可知 3 2 3 B 因此 的分布列为 2 3 2 3 3 2 3 3 2 1 0 3 2 3 2 1 3 2 3 3 2 3 EB kCCkP k k kk k 所以 因为 解法一 用 C 表示 甲得 2 分乙得 1 分 这一事件 用 D 表示 甲得 3 分乙得 0 分 这一事件 所以 AB C D 且 C D 互斥 又 3 4 2 1 3 1 3 1 3 2 3 10 2 1 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 2 1 3 1 3 2 3 2 1 3 2 5 2 3 2 4 2 3 2 CDP CCP 由互斥事件的概率公式得 243 34 3 34 35 4 3 10 54 DPCPABP 解法二 用 Ak表示 甲队得 k 分 这一事件 用 Bk表示 已队得 k 分 这一事件 k 0 1 2 3 由于事件 A3B0 A2B1为互斥事件 故事 P AB P A3B0 A2B1 P A3B0 P A2B1 243 34 3 2 2 1 3 1 2 1 3 2 2 1 3 1 3 2 2 2 1 23 2 3 2 2 3 CC 8 某柑桔基地因冰雪灾害 使得果林严重受损 为此有关专家提出两种 拯救果林的方案 每种方案都需分两年实施 若实施方案一 预计当年 可以使柑桔产量恢复到灾前的 1 0 倍 0 9 倍 0 8 倍的概率分别是 键入文字 0 3 0 3 0 4 第二年可以使柑桔产量为上一年产量的 1 25 倍 1 0 倍的 概率分别是 0 5 0 5 若实施方案二 预计当年可以使柑桔产量达到灾前 的 1 2 倍 1 0 倍 0 8 倍的概率分别是 0 2 0 3 0 5 第二年可以使柑 桔产量为上一年产量的 1 2 倍 1 0 倍的概率分别是 0 4 0 6 实施每种 方案 第二年与第一年相互独立 令表示方案 实施两年后柑桔 1 2 i i i 产量达到灾前产量的倍数 1 写出的分布列 12 2 实施哪种方案 两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大 3 不管哪种方案 如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量 预计 可带来效益 10 万元 两年后柑桔产量恰好达到灾前产量 预计可带来效 益 15 万元 柑桔产量超过灾前产量 预计可带来效益 20 万元 问实施 哪种方案所带来的平均效益更大 解 1 的所有取值为 1 0 8 0 9 1 0 1 125 1 25 的所有取值为 2 0 8 0 96 1 0 1 2 1 44 的分布列分别为 1 2 1 0 80 91 01 1251 25 P0 20 150 350 150 15 2 0 80 961 01 21 44 P0 30 20 180 240 08 2 令 A B 分别表示方案一 方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这 一事件 键入文字 0 150 150 3P A 0 240 080 32P B 可见 方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大 3 令表示方案 所带来的效益 则 i i 1 101520 P0 350 350 3 2 101520 P0 50 180 32 所以 12 14 75 14 1EE 可见 方案一所带来的平均效益更大 9 甲 乙 丙三人参加了一家公司的招聘面试 面试合格者可正式签约 甲表示只要面试 合格就签约 乙 丙则约定 两人面试都合格就一同签约 否则两人都 不签约 设每人面试合格的概率都是 且面试是否合格互不影响 求 1 2 至少有 1 人面试合格的概率 签约人数 的分布列和数学期望 解 用 A B C 分别表示事件甲 乙 丙面试合格 由题意知 A B C 相互独立 且 P A P B P C 1 2 至少有 1 人面试合格的概率是 3 17 1 1 1 28 P ABCP A P B P C 键入文字 的可能取值为 0 1 2 3 0 PP ABCP ABCP ABC P A P B P CP A P B P CP A P B P C 323 1113 2228 1 PP ABCP ABCP ABC P A P B P CP A P B P CP A P B P C 333 1113 2228 1 2 8 PP ABCP A P B P C 1 3 8 PP ABCP A P B P C 所以 的分布列是 0123 P 3 8 3 8 1 8 1 8 的期望 3311 01231 8888 E 10 甲 乙 丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛 第一局由甲 乙参 加而丙轮空 以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛 而前一 局的失败者轮空 比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满 6 局时停止 设在每局中参赛者胜负的概率均为 且各局胜负相互独立 1 2 求 打满 3 局比赛还未停止的概率 比赛停止时已打局数 的分别列与期望E 解 令分别表示甲 乙 丙在第k局中获胜 kkk A B C 由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知 键入文字 打满 3 局比 赛还未停止的概率为 123123 33 111 224 P AC BP BC A 的所有可能值为 2 3 4 5 6 且 1212 22 111 2 222 PP A AP B B 123123 33 111 3 224 PP AC CP BC C 12341234 44 111 4 228 PP AC B BP BC A A 1234512345 55 111 5 2216 PP AC B A AP BC A B B 1234512345 55 111 6 2216 PP AC B A CP BC A B C 故有分布列 从而 局 1111147 23456 248161616 E 11 一个袋中有若干个大小相同的黑球 白球和红球 已知从袋中任意摸 出 1 个球 得到黑球的概率是 从袋中任意摸出 2 个球 至少得 5 2 到 1 个白球的概率是 9 7 若袋中共有 10 个球 i 求白球的个数 ii 从袋中任意摸出 3 个球 记得到白球的个数为 求随机变 量 的数学期望 E 求证 从袋中任意摸出 2 个球 至少得到 1 个黑球的概率不大 23456 P 1 2 1 4 1 8 1 16 1 16 键入文字 于 并指出袋中哪种颜色的球个数最少 10 7 本题主要考查排列组合 对立事件 相互独立事件的概率和随机变量分 布列和数学期望等概念 同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及 解决问题的能力 满分 14 分 解 i 记 从袋中任意摸出两个球 至少得到一个白球 为事 件 A 设袋中白球的个数为 则 x 2 10 2 10 7 1 9 x C P A C 得到 5x 故白球有 5 个 ii 随机变量 的取值为 0 1 2 3 分布列是 0123 P 1 12 5 12 5 12 1 12 的数学期望 15513 0123 121212122 E 证明 设袋中有 个球 其中 个黑球 由题意得 ny 2 5 yn 所以 故 2yn 21yn 1 12 y n 记 从袋中任意摸出两个球 至少有 1 个黑球 为事件 B 则 23 551 y P B n 2317 55210 所以白球的个数比黑球多 白球个数多于 红球的个数少于 2 5 n 5 n 故袋中红球个数最少 16 0 09 12 4 千元 12 分 12 某种电路开关闭合后 会出现红灯或绿灯闪动 已知开关第一次闭 键入文字 合后 出现红灯和 出现绿灯的概率都是 从开关第二次闭合起 若前次出现红灯 则 2 1 下一次出现红灯 的概率是 出现绿灯的概率是 若前次出现绿灯 则下一次出现 3 1 3 2 红灯的概率是 5 3 出现绿灯的概率是 问 5 2 1 第二次闭合后 出现红灯的概率是多少 2 三次发光中 出现一次红灯 两次绿灯的概率是多少 解 1 如果第一次出现红灯 则接着又出现红灯的概率是 2 1 3 1 如果第一次出现绿灯 则接着出现红灯的概率为 2 1 5 3 第二次出现红灯的概率为 6 分 2 1 3 1 2 1 5 3 15 7 2 由题意 三次发光中 出现一次红灯 两次绿灯的情况共有如 下三种方式 出现绿 绿 红的概率为 2 1 5 2 5 3 出现绿 红 绿的概率为 2 1 5 3 3 2 出现红 绿 绿的概率为 10 2 1 3 2 5 2 分 所求概率为 12 分 2 1 5 2 5 3 2 1 5 3 3 2 2 1 3 2 5 2 75 34 13 袋内装有 35 个球 每个球上都记有从 1 到 35 的一个号码 设号码 n 的球重 5n 15 3 2 n 克 这些球以等可能性从袋里取出 不受重量 号码的影响 键入文字 1 如果任意取出 1 球 试求其重量大于号码数的概率 2 如果任意取出 2 球 试求它们重量相等的概率 解 1 由不等式 5n 15 n 得 n 15 或 n 3 3 2 n 由题意 知 n 1 2 或 n 16 17 35 于是所求概率为 6 35 22 分 2 设第 n 号与第 m 号的两个球的重量相等 其中 n m 则有 5n 15 5m 15 3 2 n 3 2 m n m n m 15 0 n m n m 15 10 分 n m 1 14 2 13 7 8 故所求概率为 12 分 85 1 595 7 C 7 2 35 14 口袋里装有红色和白色共 36 个不同的球 且红色球多于白色球 从 袋子中取出 个球 若是同色的概率为 求 1 2 1 袋中红色 白色球各是多少 2 从袋中任取 个小球 至少有一个红色球的概率为多少 解 1 令红色球为 x 个 则依题意得 3 22 36 22 3636 1 2 xx CC CC 分 所以得 x 15 或 x 21 又红色球多于白色球 所以 2 27218 350 xx x 21 所以红色球为 个 白色球为 个 6 分 键入文字 2 设从袋中任取 个小球 至少有一个红色球的事件为 A 均为白色 球的事件为 B 则 P B 1 P A 3 15 3 36 1 C C 191 204 12 分 15 一位学生每天骑自行车上学 从他家到学校共有 5 个交通岗 假设 他在每个交通岗遇 到红灯是相互独立的 且首末两个交通岗遇红灯的概率均为 其余p 3 个交通岗遇红灯 的概率均为 1 2 若 求该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率 2 3 p 若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过 求的取值范围 5 18 p 解 记该学生在第 个交通岗遇红灯为事件 它们i i A1 2 5i 相互独立 则 这名学生在第三个交通岗第一次遇到红灯 为 123 A AA 123123 2111 1 1 32212 P A AAP AP AP A 答 该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率为 6 分 1 12 注 本小问缺少事件命名 概型分析 答 各扣一分 过首末两个路口 过中间三个路口分别看作独立重复试验 该学 生至多遇到一次红灯指没有遇红灯 记为 或恰好遇一次红灯 记为A 则与互斥 BAB 7 分 02032 23 11 C 1 C 1 1 28 P App 键入文字 9 分 02121032 2323 11131 C 1 C 1 C 1 C 1 1 1 22284 P Bpppppp 该学生至多遇到一次红灯 为 AB 222 1311 1 1 1 32 8844 P ABP