正、余弦定理应用分类例析.doc

正、余弦定理应用分类例析解三角形问题主要是利用正、余弦定理进行化简、求值或判断三角形形状为主，在利用正、余弦定理求解三角形的有关参数时需要有一定技巧。这样可以快速、准确的找到解决问题的突破口。为正确求解打下基础，下面具体分析解决策略。一、 活用两定理判断三角形的形状已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思考路线：其一化边为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式，这种转化主要应用正弦定理和余弦定理。例1、在ABC中，如果，且B为锐角，试判断此三角形的形状。分析：由，可得，求得再由可得，可由正弦定理求之。解答：因为，所以，又因为B是锐角，所以因为，所以，由正弦定理得，即所以cosC0，所以 所以 所以ABC是等腰直角三角形。 点评：要判断三角形的形状，其基本思路是寻求边与边之间的数量关系，或求出角的大小。常用的方法之一是用正弦定理进行代换，暴露出三角形的边角关系，然后作出判断。二、 看准两定理特点，灵活选用定理解题在已知条件中，往往含有选用正余弦定理的蛛丝马迹，充分识别这些信息，有助于寻找解题的途径。例2、在ABC中，BCa，ACb，且a、b是方程的两根，.（1）求角C的度数；（2）求AB的长.分析：（1）根据诱导公式可求角C的度数；（2）用余弦定理可求得AB的长。解答：（1） 所以（2）因为a、b是方程的两根，所以，所以 点评：若已知三角形的两边及其夹角，利用余弦定理可求出第三边。但在具体解题时，要抓住余弦定理的结构特征，灵活地运用定理解题。如本例（2）中，没有直接求出a、b，而是运用余弦定理并变形得到然后将整体代入，从而简化了解题过程，这是整体思想、“设而不求”的思想方法的灵活运用。三、 结合三角形中有关结论求参数利用正弦定理解决三角形中的综合问题的关键在于：充分利用正弦定理的边角关系的相互转化这一功能，具体题目还要结合三角形有关性质、结论求解。例3、已知在ABC中，试求a、b及此三角形的面积。分析：已知条件已给出，利用两角和的正切公式可得，从而可得、的值，进而求得的值，再利用正弦定理可求得a、b及三角形的面积。解答：又，即A、B皆为锐角且ab，则，所以 由正弦定理得 所以点评：（1）由正弦定理的推导过程可以得到如下面积公式：这些面积公式在求解与三角形面积有关问题中的作用是非常突出的，要熟练掌握。（2）在解三角形中，需掌握的三角关系式：在ABC中，以下三角关系式，在解答有关三角形问题时，经常用到，要记熟，记准、并能灵活运用。；，四、 联袂三角恒等变式求三角参数问题解决三角形中的范围与最值问题的关键在于：利用正弦定理或余弦定理、三角恒等变换思想将有关问题转化为某一个角的三角函数，或某一边的函数，进而求出其最值。例4、已知圆O的半径为R，它的内接ABC满足，求ABC面积的最大值。分析：先将已知等式转化为边的关系式，再由边的关系式的结构特征联想到余弦定理可求角C，最后利用三角函数的有界性性确定面积的最大值。解答：利用正弦定理可将已知等式变为，即