含参变量积分.doc

目 录摘要1前言2一、预备知识2（一）、含参变量积分的定义2（二）、含参变量反常积分的定义2（三）、定理31、含参变量积分的相关定理32、含参变量反常积分的相关定理4二、含参变量积分的应用5（一）、用含参变量积分解决积分计算的解题模式51、利用含参变量积分解决定积分、 广义积分的解题模式52、用含参变量积分解决二重、 三重积分的模式6（二）、证明等式7（三）、证明不等式9（四）、求极限10（五）、求隐函数的导数12三、含参量反常积分的性质13（一）、含参量反常积分的局部一致收敛与连续性131、局部一致收敛概念132、连续的等价条件133、几种收敛性的关系15（二）、含参量反常积分局部一致收敛的判别法171、主要结果172、主要引理18（三）、计算含参量反常积分的一些特殊方法211、利用反常积分的定义和变量替换求解212、通过建立微分方程求积分值213、引入收敛因子法求解224、级数解法235、利用其他的积分24总结25参考文献25含参变量积分赵洁（渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国）摘要：本文主要研究含参变量积分的两种类型：含参变量（正常）积分和含参变量反常积分。首先，给出了它们的定义和相关定理;然后，介绍了含参变量（正常）积分在证明等式、不等式和求极限等方面的应用；最后，给出了含参变量反常积分的性质和计算的一些特殊方法。关键词：含参变量积分；二重积分；定积分；广义积分；局部一致收敛；一致收敛；含参量反常积分Parameter IntegralZhao Jie(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)Abstract：In this paper, two kinds of parameter integral are studied:parameter (normal) integral and parameter improper integral.Firstly their definitions and related theorems are given;Secondly the applications of parameter (normal) integral in proving equality,proving inequality and solving limit are introduced;Finally the qualities and some special solving methods of parameter improper integral are given.Keywords：parameter integral;double integral;definite integral;improper integral;locally uniformly convergence;uniform covergence;parameter improper integral前言含参变量积分是一类比较特殊的积分, 由于含参变量积分是函数且以积分的形式给出，所以含参变量（正常）积分在积分的计算，等式的证明，不等式的证明及极限的求解等方面都有着广泛的应用。对于含参量反常积分，本文给出了含参量反常积分局部一致收敛的定义，将建立在局部一致收敛的定义的基础上，根据局部一致收敛与一致收敛的区别与联系，参照一致收敛的判别法给出含参量反常积分的几种新的判别法，证明了局部一致收敛与含参量反常积分连续的等价性， 最后讨论了含参量反常积分几种收敛性的关系，介绍了几种求反常积分的方法。一、预备知识（一）、含参变量积分的定义定义1.1 设函数在矩形区域上有定义，当取上任一个固定值时，在上可积，则就确定一个数，当在变动时，这样的积分就定义了一个函数 ， （1.1）称此积分为含参变量积分。除（1.1）外，以下两种表示形式的积分() ，也是含参变量积分。（二）、含参变量反常积分的定义定义1.2 设函数在无界区域上有定义，若对每一个固定的，反常积分 （1.2）都收敛，则它的值是在上取值的函数，当记这个函数为时，则有 ， （1.3）称（1.2）式为定义在上的含参变量反常积分。（三）、定理1、含参变量积分的相关定理定理1.1 （连续性）若二元函数在矩形区域上连续，则函数 在上连续。定理1.2 （连续性）设二元函数在区域上连续，其中为上的连续函数，则函数在上连续。定理1.3 （可微性）若函数与其偏导数都在矩形区域上连续，则函数在上可微，且.定理1.4 设和在上连续，则在上有连续的导函数，且定理1.5 设函数，都在上连续，又和在存在，且当时，有，则在上可导，且定理1.6 （可积性）若在矩形区域上连续，则和分别在和上可积。定理1.7 设在上连续，且，则，即2、含参变量反常积分的相关定理定理1.8 （连续性）设在上连续，若含参量反常积分 在上一致收敛，则在连续。定理1.9 设，在连续，且关于在上收敛, 关于在上一致收敛，则在上可微，且在上有定理1.10 设在上连续，若在上一致收敛，则在上可积，且定理1.11 设在上连续，且关于在上一致收敛, 关于在上一致收敛设和中有一个存在，则定理1.12 （连续性定理）设在上连续，而关于在上一致收敛，则函数在上连续有定理1.13 若，且在上可积，则下式成立二、含参变量积分的应用（一）、用含参变量积分解决积分计算的解题模式1、利用含参变量积分解决定积分、 广义积分的解题模式数学分析中一元函数的定积分、广义积分(收敛) 都是数值问题。求其积分值一般直接利用牛顿莱布尼兹公式。但对一些特殊的积分如，等直接运用牛顿莱布尼兹公式行不通, 借助含参变量积分可给出解决此类问题的途径。（1）、定积分含参变量积分定积分例1 计算定积分.解：构造含参变量积分显然：，.利用含参变量积分的积分号下微分法: .而 .此题是通过构造，将求定积分 问题转化成求积分 ，从而给难以解决的问题找出了新的途径。解题模式：求定积分 定积分 结论（2）、广义积分含参变量积分广义积分例2 求.解:由广义积分敛散性: 该积分收敛设为. 构造含参变量积分. 一致收敛, 由含参变量积分, 积分号下微分法得： . 因而.解题模式：求广义积分 广义积分 结论2、用含参变量积分解决二重、 三重积分的模式在重积分的计算中,只要被积分函数满足一定的条件,重积分的计算可以转化成累次积分，这里含参量积分起到了桥梁作用。例3 计算：.解:根据D 的形状确定参变量。不妨设为参变量, 则确定含参变量积分.当满足一定条件时：.二重积分的解题模式：求 由的形状确定参变量 写出含参变量积分化成累次积分例4 计算.解:根据投影到哪个坐标面来确定参变量。 若考虑在面的投影, 其投影区域为, 则参变量是和.此时参变量函数是. 要计算在区域上确定其参变量, 若为型区域，则，此时含参变量积分，. 将原三重积分化为累次积分.其解题模式：计算 （二）、证明等式若等式成立，则等式两边式子的导数必然相等。因此，若等式含有含参变量积分，可考虑利用含参变量积分的性质及定理，对等式两边进行求导。例5 当时，证明证明：左边，则题可改为证 （1.4） 记，则显然，在，上连续，可以在积分号下求导数.则由定理1.11，对(1.4)式左边求导得(令)，对(1.4)式右边求导得，故有.所以 （c为常数）.当时，有，而，所以，则综上，当时，有.（三）、证明不等式关于含积分的不等式的证明，方法较多，如微分法，利用被积函数的不等式法等。若所含积分为含参变量积分，则在微分法中必然会用到含参变量积分的相关性质及定理。例6 证明若，在上连续，则当时，有证明：要证，即证.令，由于，故只要证明在内即可。则由定理1.2得 由于，则有，从而所以，从而，因此（四）、求极限在求极限过程中，若极限表达式中含有含参变量积分，以前讨论的各种方法原则上都适用，所不同的是这里需要充分运用含参变量积分的各种性质及定理。例7 求极限.分析：可化为分数形式，而对于极限，利用洛必达法则逐步求之即可。解：由洛必达法则及定理1.2有 由此可见，对于求分数形式的含参变量积分的极限这一类型的题目，在不能直接求出极限或直接约分的情况下，我们可以考虑洛必达法则，利用含参变量积分的性质及定理，对分数中的分子分母进行求导。例8 求极限分析：在上连续，且关于在上一致收敛，满足连续性定理的条件。解：由于二元函数在上连续(为任意的实数)，则由定理1.2连续定理得对有所以，从而（五）、求隐函数的导数对于方程(或)所确定的隐函数，若(或，)有连续的导数，则隐函数也有连续的导数。并且它的导数可按如下方法求出：将方程中的看成是由方程所确定的隐函数，从而原方程成为恒等式，在等式两端同时求导，便可求得隐函数导数的线性方程，解之即可求出隐函数的导数。例9 是由方程所确定的隐函数，求其导数解：对上述方程两端求导得则由定理1.3有，即所以又由题知，所以，则，所以三、含参量反常积分的性质（一）、含参量反常积分的局部一致收敛与连续性1、局部一致收敛概念设函数定义在平面点集 上，考虑积分 （3.1）定义3.1 设积分（3.1）在实数集上收敛于函数,若对任给的正数, 任一实数及上任一点, 总存在正数及实数, 使得对一切, 都有则称积分（3.1）在数集上局部一致收敛于, 也称局部一致收敛。2、连续的等价条件下面证明积分(1)在区间上连续与在区间上局部一致收敛的等价性。定理3.1 设函数在区域 上连续, 且积分(3.1)在区间上收敛于函数, 则在上连续的充要条件是: 积分(3.1)在上局部一致收敛于.证明：(必要性) 对任给的正数及上任一点,由于在连续, 因此, 存在正数, 使得当时，有 （3.2）因为，故对所给的，存在实数，使得当时，有 （3.3）于是，对任一实数，取，则由（3.3）式亦有 （3.4）又因为在连续，所以对所给的，存在正数，使得当时，有 （3.5）取，则当时，由（3.5）、（3.4）及（3.2）式，有所以，积分（3.1）在上局部一致收敛与.(充分性)设为上任一点, 对任给的正数,由于所以存在实数, 使得当时，有（3.3）式成立，因为积分（3.1）在上局部一致收敛于, 故对所给的及上述的，存在正数及, 使得对一切, 有 （3.6）又因在连续，故存在正数，使得当时，有（3.5）式成立，取，则当时，由（3.6）、（3.5）及（3.3）式，有所以在连续，由的任意性，在上连续。3、几种收敛性的关系局部一致收敛和我们熟知的收敛或一致收敛概念既有联系又有区别，显然, 若积分（3.1）在实数集上局部一致收敛于, 则必收敛于, 反之不成立。例10 积分在区间上收敛于函数 （3.7）且在区域上连续，但由于在上处不连续，所以由定理3.1，积分（3.7）在上非局部一致收敛。由一致收敛的定义易知, 若积分在实数集上一致收敛于, 则必在上局部一致收敛于，反之不成立。例11 由于积分（3.7）在区间上收敛于连续函数且在区域上连续。故由定理3.1知，积分（3.7）在区间上局部一致收敛，但积分（3.7）在区间上非一致收敛。事实上，取正数，则对任意正数，取及，有.下面给出积分（3.1）在上局部一致收敛的一个充分条件与一个必要条件。首先容易证明:定理3.2 设函数定义在实数集上, 若对任给的正数及上的任一点, 总存在某一实数，及某个正数，使得当时，对一切，都有.则积分（3.1）在上局部一致收敛于.定理3.3 若积分（3.1）在紧集上局部一致收敛于函数, 则积分（3.1）在上亚一致收敛于,即对任给的正数及任何实数, 都存在,使得对上任一点, 都存在, 使证明：由假设, 对任给的正数, 任何实数及上任一点, 都存在正数及，使得对一切，有于是得邻域集.因为覆盖了，且是紧集，故中必存在有限个邻域它们也覆盖，令，则，又对上任一点，必有某个使得，取，则，且.（二）、含参量反常积分局部一致收敛的判别法定义3.2 若函数列和函数，对任意的正数及任意的存在正整数及正数，使得对一切的，当时，都有 则称函数列在上局部一致收敛于。定义3.3 (含参量反常积分局部一致收敛)若含参量反常积分与函数; 对任意的正数及任意的，存在及正数，使得当 时， 对一切的，都有 则称含参量反常积分在上局部一致收敛于，或简单地说含参量反常积分在上局部一致收敛。1、主要结果定理3.4 含参量反常积分在上局部一致收敛的充要条件是: 对任意的正数及任意的，存在及正数，使得对一切的，当时，都有 （3.8）定理3.5 设对任意的，存在正数，有函数使得， 若收敛，则含参量反常函数在上局部一致收敛。定理3.6 （阿贝尔判别法)设（i）含参量反常积分在上局部一致收敛;（ii）对于每一个，函数为的单调函数;（iii）对参量，在上是局部一致有界的，即任意给定的及任意的存在正数和，使得对一切的都有 则含参量反常积分在上局部一致收敛。定理3.7 （狄利克雷判别法）设（i）对一切的，含参量反常积分对参量在上局部一致有界;（ii）对每一个，函数关于是单调递减且时， 对参量，局部一致收敛于.则含参量反常积分在上局部一致收敛。2、主要引理引理3.1 函数列在数集上局部一致收敛的充要条件是：对任意的正数及任意的，存在正整数及正数，使得对一切的，当时，都有 （3.9）证明：（必要性）若函数列在数集上局部一致收敛于，即对任意的正数及任意的，存在正整数及正数，使得对一切的，当时，都有 （3.10）于是对于，有（3.10）式就有.(充分性) 若条件（3.9）成立及函数列收敛的柯西准则得，函数列在上任一点都收敛，记其极限为，。现固定（3.9）式中的，令，于是当时，对一切的都有.由于的任意性及局部一致收敛的定义知函数列在上局部一致收敛。类似可证明引理3.2。引理3.2 设函数项级数每一项在数集上连续，且对任意的正数及任意的，存在正整数及正数，使得对一切的，当时，都有,则称级数在数集上局部一致收敛。引理3.3 含参量反常积分在上局部一致收敛的充要条件是: 对任给的趋于的递增数列(其中) ，函数项级数 (3.11)在上局部一致收敛。证明:(必要性)由于含参量反常积分在上局部一致收敛。故对任意的正数及任意的，存在及正数，使得当时，对一切的都有 （3.12）又由，所以对正数，存在正整数，只要时就有，由（3.12）式对一切的就有这就证明的级数（3.10）在上局部一致收敛。(充分性) 用反证法， 假若含参量反常积分在上不局部一致收敛，则存在某个，使得对任意的，存在相应的和，使得|现取，则存在及使得一般的取，则有及使得 （3.13）由上述所得到的数列是递增数列，且现考察级数由（3.13）式知存在正数，对任何的正整数，只要，就有某个 使得这与级数（3.11）在上局部一致收敛相矛盾，故含参量反常积分在上局部一致收敛。（三）、计算含参量反常积分的一些特殊方法反常积分是微积分教学中的一个难点, 涉及的知识点较多, 近年来考研的试题中也屡屡出现这方面的试题。许多试题按照通常的方法不易求解, 本文拟提供几种特殊的计算方法。1、利用反常积分的定义和变量替换求解这种方法的主要思想是: 求一个无穷上限(或下限)的反常积分, 可以先将其上限(或下限)固定, 然后利用变量替换的的方法求解其值, 最后通过作极限手段, 求得其无穷上限(或下限)的反常积分值。例12 设在上连续，并且积分存在，试求积分的值。解： 因为作为二元函数在， 上连续，所以故 原积分. 2、通过建立微分方程求积分值将含参变量的反常积分看成是关于该参量的函数形式, 然后求导建立一个微分方程, 通过对微分方程的求解, 求出原反常积分的值。例13 求积分的值.解: 令 则显然，连续。又因对一切，有，而收敛，所以也一致收敛。又收敛，所以也一致收敛。因此，由可微性定理可知可微，所以 即求解此微分方程，由得.3、引入收敛因子法求解有时不能在积分号下求导, 但通过引入“收敛因子” 之后, 可以进行积分号下求导。例14 计算 .分析:用 Dirichlet 判别法易知该积分收敛,但积分号下求导之后积分发散,不满足积分号下求导的条件。为此我们粗略地想法是引入收敛因子.考虑积分 （3.14）若能够计算出，则原积分等于.解：由于收敛，（3.14）式当时一