第02讲 矢量分析与场论(2).doc

第02讲本节内容1， 方向导数2， 梯度3， 散度4， 旋度5， 正交坐标系第一章 矢量分析与场论（2）1，数量场的方向导数1.1方向导数由上节可知，数量场的分布情况，可以借助于等值面或等值线来了解，但这只能大致地了解数量场中物理量u的整体分布情况。而要详细地研究数量场，还必须对它作局部性的了解，即要考察物理量u在场中各点处的邻域内沿每一方向的变化情况。为此，引入方向导数的概念。M0lM设是数量场中的一点，从出发沿某一方向引一条射线，在上的邻近取一动点M，若当时（即）：的极限存在，则称此极限为函数在点处沿方向的方向导数。记为，即：可见，方向导数是函数在点处沿方向对距离的变化率。当时，表示在处u沿l方向是增加的，反之就是减小的。在直角坐标系中，方向导数有以下定理所述的计算公式：定理 若函数在点处可微，为方向的方向余弦。则u在处沿方向的方向导数必存在，且：证：M坐标为 u在点可微，故： 是比高阶的无穷小。两边除以得 两边取时的极限得 例 求数量场在点处沿方向的方向导数。解：方向的方向余弦为：， 2，梯度2.1概念方向导数为在给定点处沿某方向变化率。但从场中一点出发无穷多方向，通常不必要更不可能研究所有方向的变化率。人们往往只关心沿何方向变化率最大，此变化率为多少？下从方向导数的计算公式出发来讨论此问题。 、为方向的方向余弦 方向的单位矢量可表示为：若把，看成是某矢量的三分量。即：则：在给定点处为一常矢量。由上式，在方向上的投影恰等于函数u在该方向上的方向导数。显然，当与的方向一致时，即时，方向导数取得最大值，或说沿方向的方向导数最大，此最大值为：这样即找到了一个矢量，其方向为变化率最大，且其模即为最大变化率，该矢量称函数在给定点处的梯度。在数量场中的一点M处，其方向为函数在M点处变化率最大的方向，其模恰好等于此最大变化率的矢量，称为在M点处的梯度，记为：需指出，梯度的定义与坐标系无关，它由数量场的分布所决定，在不同的坐标系中只是表达形式不同。前面已得出其在直系中的表达式：从此公式可以看出，梯度在形式上可以视为矢量微分算子与函数u的乘积，算子称为哈密尔顿算子。所以梯度又常表示为。22梯度的性质1梯度与方向导数的关系：在某点M处沿任一方向的方向导数等于该点处的梯度在此方向上的投影。2梯度与等值面的关系：场中每一点M处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向增大一方。这是因为点M处的三个分量，恰为过M点的等值面的法线方向数，即梯度在其法线方向上，故垂直于此等值面。又因为u沿方向的方向导数即沿方向是增加的，或者说指向增大一方。等值面和方向导数均与梯度存在一种比较理想的关系，这使得梯度成为研究数量场的一个极为重要的矢量。例 试证明点的矢径的模的梯度。证： ， 例 求在处沿方向的。解法1：直接由公式（略）解法2：作为梯度在上投影 ， 在处， M处 2.3梯度的运算法则1 （c为常数）2 （c为常数） 3 4 56例 已知位于原点处的点电荷q在其周围空间任一点处产生的电位为（），且知电场强度，求。解：由法则6： 3 矢量场的通量与散度3.1、 通量MSds为区分曲面的两侧，常规定其一侧为曲面的正侧，另一面为其负侧。这种取定了正侧的曲面称为有向曲面。对于封闭曲面，习惯上总是取其外侧为正侧。在研究实际问题时，常规定有向曲面的法向矢量恒指向研究问题时所取的一侧。下面通过例子导出通量定义。设s为流速场中一有向曲面，考虑单位时间流体向正侧穿过s的流量Q。（指向s正侧）在s上取ds，。因ds甚小，可认为和在ds上均不变，分别与M处和相同。流体穿过ds的流量为：其中为M处单位法向矢量则单位时间内沿正向穿过s的总通量为：数学上把这种形式的曲面积分称为通量。设为一矢量场，沿其中有向曲面s正(负)侧的曲面积分：称为矢量场向s正（负）侧穿过曲面s的通量。 如磁感应强度为的磁场中，穿过曲面s的磁通量为：若某一矢量场是由两个以上的矢量场迭加而成，则总场穿过某曲面的通量等于每个矢量场穿过该曲面的通量之和。即若 则：在直角坐标系中，若可表示为：而 其中，是的方向余弦 xyzs1s20H例 场，s：圆锥面与平面z=H所围封闭面，求从s内穿出的。解： 上任一点 xyz0若s为上半球面，()，则 总流量 为单位时间内向上侧穿过s的正流量和负流量的代数和。当Q0时表示向正侧流量多于向负侧流量；Q 0；若处处相反，则 G 0 。可见，环量可以用来描述矢量场的旋涡特性。由物理学得知，真空中磁感应强度 B 沿任一闭合有向曲线 l 的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度 I 与真空磁导率 m 0 的乘积。即 式中电流 I 的正方向与 dl 的方向构成 右旋 关系。由此可见，环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能显示源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。 4.2环量面密度以磁场为例，其环量为通过磁场中以l为边界的曲面s的总电流强度。这还不足以了解磁场中任一点M处沿着某一方向的电流密度，为研究此类问题，引入环量面密度。MSl设M为矢量中一点，为从M出发的一射线，在M处取一小面元与垂直，取其周界之正向与成右手螺旋关系。当沿之正向的环量与面积之比在无限缩向M点时的极限存在，则称之为矢量在M点处沿的环量面密度。记为：在磁场中M处，沿某方向的环量面密度为： （方向电流）为点M处沿方向的电流密度。下面给出环量面密度的计算公式：在直角坐标系中， 由曲线积分的斯托克斯公式 证明：（略）由中值定理，当连续时，必存在一点使得 （因为时，）4.3旋度由环量面密度的计算公式：令 则 为方向的单位矢量。即在任一给定点处，矢量在任一方向上的投影等于沿该方向的环量面密度。的方向为最大方向，且。在矢量场中的一点M处，其方向为M处的环量面密度最大的方向，其模恰等于此最大环量面密度的矢量，称为矢量在M点处的旋度，记作。上面已得出的计算公式：或 旋度在形式上可看作哈密尔顿算子与矢量的叉乘，所以通常表示为。斯托克斯定理 同高斯定理类似，从数学角度可以认为斯托克斯定理建立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克斯定理建立了区域 S 中的场和包围区域 S 的闭合曲线 l 上的场之间的关系。因此，如果已知区域 S 中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界 l 上的场，反之亦然。例 求矢量场在点处的旋度，及沿方向的环量面密度。解： 而 旋度遵循下列运算法则：1 （c常数）234567其中称为拉普拉斯算子，在直角坐标系中有下面以4和5为例给出证明。证4：， 证5： 例 已知，且存在非零函数及使，试证明。证： u非零 故 5 无散场和无旋场散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处为零的矢量场称为无旋场。 两个重要公式：左式表明，任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零 。因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场。右式表明，任一标量场F 的梯度的旋度一定等于零。因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场。 6 正交坐标系圆柱(r, f , z)yzxP0f 0f = f 0r = r0z = z 0O6.1 常用的三种坐标系直角(x, y ,z) z)zxyz = z 0x = x 0y = y 0P0OOxzyf = f 0f 0q 0球(r, q, f )r = r 0q = q 0P06.2 微分元其中称为微分量直角坐标系在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。线元：面元：体元：在圆柱坐标系中，坐标变量为，如图，做一微分体元。线元：面元：体元：球坐标系在球坐标系中，坐标变量为，如图，做一微分体元。线元：面元：体元：6.3 拉梅系数，度量系数(Measurement Coefficents)设x,y,z是某点的笛卡儿坐标，x1, x2, x3是这点的正交曲线坐标，长度元的平方表示为其中称度量系数（或拉梅系数），正交坐标系完全由三个拉梅系数h1, h2, h3来描述。在正交曲线坐标系中，其坐标变量不一定都是长度，其线元必然有一个修正