正弦函数、余弦函数的单调性教案2.doc

正余弦函数的单调性与最值开封市田家炳实验中学 韩艳华教学目标：（一）知识与技能（1）理解正弦函数和余弦函数的单调性、最大值与最小值的概念。（2）会求三角函数的单调区间；会求三角函数的最值。（二）过程与方法培养学生运用函数图象分析问题、探究问题的能力、（三）情感、态度与价值观经历三角函数性质的探讨过程，体会数形结合思想在探讨三角函数性质方面的应用，感受研究函数性质的一般思路与方法。教学重点：正弦函数、余弦函数单调性、最值；研究函数的思想方法。教学难点： 利用正余弦函数的周期性来研究它们的单调性及最值。教学设计：一、温故知新1、观察正弦函数和余弦函数的图象，回顾正、余弦函数的性质：定义域、值域、周期性和奇偶性；2、增函数与减函数的定义？ 3、具有单调性的函数在单调区间内的图象特征如何？本节课我们将在这些知识的基础上继续研究正、余弦函数的性质单调性与最值。（板书课题：1.4.2正余弦函数的单调性与最值）二、新课探究：1. 正弦函数的单调性：问题1：我们研究函数的单调性是在定义域范围内研究的，观察正弦函数的图象，它在整个定义域上具有单调性吗？在区间上具有单调性吗？对于周期函数，如果我们把握了它的一个周期内的单调性，那么整个函数的情况也就清楚了。我们该选择哪一个周期进行研究呢？为什么？讨论得出：应以 为出发点，原因之一这个区间有且仅有一个单调增区间和一个单调减区间，其次这个区间在原点附近，便于研究.问题2：你能写出正弦函数的几个单调递增区间吗？单调递减区间呢？问题3：整个定义域范围内的所有的单调增、减区间该怎么统一表示呢？请同学们观察在区间内函数值的变化范围？在整个定义域范围内的函数值变化情况呢？得出正弦函数单调递增区间： ，其值从-1增至1；得出正弦函数单调递减区间： ，其值从1减至-1.2、余弦函数的单调区间问题4：类比正弦函数的单调区间的研究过程，你能得出余弦函数的单调区间吗？其函数值的变化情况又怎样呢？（观察余弦曲线）问题5：应该选择余弦函数的哪个周期来作为研究对象？在这个周期内的增减情况如何？函数值变化情况怎样？如何将本周期内的情况扩充到整个定义域范围内？其一般情况如何表示？得出余弦函数单调递增区间：，其值从-1曾至1；得出余弦函数单调递减区间：，其值从1减至-1.3、正弦、余弦函数的最值从对正弦、余弦函数的单调性讨论中可知： 正弦函数当且仅当时取得最大值1，当且仅当 时取得最小值-1；余弦函数当且仅当时取得最大值1，当且仅当时取得最小值-1。三、理论迁移：例1.填空：（1）函数的最大值、最小值分别是 ， ，取得最大值、最小值的自变量的集合分别是 ， （2）函数的最大值、最小值分别是 ， ，取得最大值、最小值的自变量的集合分别为 ， 例2：不通过求值，比较下列各组数的大小： （1）与； （2） 与。 分析：比较大小，一般可通过做差法比较，做商法比较，或者利用函数单调性比较（其中三角函数的大小，还可以通过三角函数线来进行比较）。如果用单调性比较同名三角函数值的大小，关键是考虑它是否在同一单调区间上，若是，即可判断，若不是，需利用诱导公式化成同一单调区间后再作判断。解：（师生共同完成，注意书写规范）（1），且y=sinx在上是增函数 又 （2） 且函数 是减函数即练习：教材P41 1.不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小（1）（2）。例3：求下列函数的单调递增区间. （1）（2）分析：利用正弦函数y=sinx的单调性来求所给函数的单调区间。解：（1）由得所以，所求函数的递增区间是（2）由（1）可设A=B=所以因此所求函数的单调递增区间是。结论：对于函数 ，把 看成一个整体，由 解出的范围，所得区间即为所求函数的递增区间，由 解出的范围，所得区间即为所求函数的递减区间。练习：求函数的单调递减区间： ，结论：对于函数 可以先用诱导公式转化为 则函数 的增区间即为所求函数的减区间，减区间即为所求函数的增区间。 函数的单调区间的求法类似。四、课堂小结：1.正弦、余弦函数的最值问题；2.利用单调性比较三角函数值的大小，关键是运用诱导公式将角转化到三角函数的同一单调区间内；3.求函数y=Asin（x+）或y=Acos（x+）的单调区间，均可由y=sinx和y=cosx的单调区间，列不等式解出不等式来求解，但要清楚A和的符号对单调性的影响；4数形结合思