平行四边形知识梳理.doc

平行四边形知识梳理福建 杨玉山 平行四边形是我们常见的一种图形，它是中心对称图形，具有十分和谐的对称美经过三角形和四边形及平移、旋转和对称图形的学习后，进一步学习的一类重要几何图形研究平行四边形问题的基本思想方法是转化法即把平行四边形的问题转化成为三角形及平移、旋转和对称图形的问题来研究三角形、平移、旋转对称的特征与研究方法是研究平行四边形的基础反过来平行四边形的特征与研究方法又丰富和充实了三角形、平移、旋转对称的知识 在研究平行四边形的特征和识别的过程中，一是通过线段的平移；二是连结对角线得三角形及中心对称图形，将四边形问题转化成三角形及中心对称的问题，通过直观感知与操作确认产生新的知识平行四边形的特征和识别让学生动手做一做、试一试从中认识图形的主要特征与图形的基本变换，学会识别不同的图形，培养学生一定的合情推理能力与解决实际问题的能力 ()知识要点：一、平行四边形：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形二、平行四边形的特征：1、基本特征：具有四边形的所有特征：有四条边、四个内角、两条对角线四个内角和等于3600 ，外角和等于360 0 ， 2、本质特征：平行四边形是中心对称图形平行四边形 3、主要特征： 两组对边平行 特征 边 一组对边平行且相等 两组对边相等 角 两组对角相等 识别 对角线 对角线互相平分 推论：夹在两条平行线间的平行线段相等 平行线之间的距离处处相等 三、平行四边形的面积：S底边高平行四边形的一条对角线把平行四边形分成了面积相等的两个三角形平行四边形的两条对角线把平行四边形分成了面积相等的四个小三角形 (二)、典型例析：一、填空题： ADOABC图11、平行四边形是 中心 对称图形，两条对角线的交点是它的 对称中心 ；2、如图1，平行四边形ABCD被两条对角线分成面积相等的 三角形有 4 对，它们是 AOB与COD，BOC与DOA， ABC与CDA，ABD与CDB 3、如图1，在平行四边形ABCD中，0为对角线的交点，那么关于0对称的三角形有 4 对，它们是 AOB与COD，BOC与DOA，ABC与CDA，ABD与CDB 4、在ABCD中，A比B大10 0，则C的度数为 95 0 5、已知ABCD的周长为48，ABC的周长为35，则ABCD的一条对角线AC的长为 11 ；CDE FAB图2 6、若ABCD的一边AB8cm，一条对角线AC6cm，那么另一条对角线BD的取值范围是 10cm BD 22cm ； 7、如图2在ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点， 则图中共有 6 平行四边形； AEDBCF图38、如图3，过A的顶点A、B、C分别作对边的平行线，两两相交于点D、E、F，图中有 3 个平行四边形， 它们是 ACBD、ABCE、ABFC ； 说明：解以上各题的关键是熟练掌握平行四边形的基本特征：具有四边形的所有特征；及平行四边形的主要特征；还要注意利用平行四边形的本质特征即：平行四边形是中心对称图形二、选择题：1、下面特征中，平行四边形不一定具备的是：( A ) 、对角互补 、邻角互补 、一组对边平行 、内角和360 0 2、下列说法错误的是：( ) 、平行四边形的对角线互相平分 、对角线互相平分的四边形是平行四边形 、平行四边形的对边相等 、对边相等的四边形是平行四边形3、能够识别一个四边形是平行四边形的条件是：( C )、一组对角相等 、两条对角线互相垂直、两组对边分别平行 、两组邻角互补4、在ABCD中，A：B7：2，则C的度数为：( D ) 、20 0 、40 0 、70 0 、140 0 5、已知ABCD的一条边长为10，那么两条对角线的长度可取下列各组数中的：( B )、7和13 、9和12 、8和12 、10和10 EDCABF图4 6、给定平面上不在同一条直线上的三点，则以此三点为顶点的平行四边形有( C )A、1个 B 、2个 C、3个 D、4个 7、如图4，O为ABCD两条对角线的交点，E、F分别是OA、OC的中点，则图中形状、大小相同的三角形有 ( D ) OA、3对 B 、4对 C、6对 D、7对 8、A、B、C、D在同一平面内，从ABCD；ABCD；BCAD；BCAD，这四个条件中任选两个能使四边形ABCD是平行四边形的选法有( B )A、3种 B 、4种 C、5种 D、6种 说明：平行四边形的特征与识别等概念是解此类题的依据，熟练掌握、充分理解、灵活应用是选择正确的保证 三、解答题：1、如图5，在ABCD中，AEBD于，CFBD于，连结AF、CE， F ADBC图5EO求证：四边形AECF是平行四边形 分析：平行四边形的识别方法有多种， 证题时应根据题目的特点，灵活应用 证明：在ABCD中，ABCD且ABCD 又AEBD于，CFBD于(已知) CDF是由ABE绕O点旋转180 0的图形，由旋转的特征得：AEFC且AEFC 方法一：(证一组对边平行且相等) AEFC且AEFC 四边形AECF是平行四边形 方法二：(证两组对边分别相等) AEFC，BEFD 又CD，EBCFDA BEC与DFA成中心对称 ECAF 四边形AECF是平行四边形 方法三：(证两组对边分别平行)由上旋转对称的特征得：BECDFA，FECAFEEF 又AEFC 四边形AECF是平行四边形 方法四：( 证对角线互相平分 ) BEFD 在ABCD中，OAOC OBOD OEOF 又 OAOC 四边形AECF是平行四边形 方法五：在ABCD中，ABD和CDB的面积相等 且AEBD，CFBD AECF 又AEBC，CFBC AECF(同垂直于一直线的两条直线平行) 四边形AECF是平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)说明：要充分利用平面图形的变换，认识平行四边形的中心对称；理解其边、角与对角线之间的关系解法五由两个垂直关系考虑到高、面积和平行等关系，再利用一条对角线把平行四边形分成两个面积相等的三角形，利用面积法可使解题简化本题也可把垂直改为角平分或改为对角线上两条线段相等等条件 2、已知，如图6在四边形ABCD中，ABCD，BCAD，E、F是对角线AC上两点，且AECF，试说明BE与DF的关系 (河北省03)ADBCEFO图6 分析：要说明BE与DF的关系，可考虑BE与DF所在的四边形BEDF是否为平行四边形 解：连结BF、DE和BD交AC于点O 在四边形ABCD中 ABCD，BCAD 四边形ABCD是平行四边形 (两组对边平行的四边形) AOOC ，BOOD (平行四边形的对角线互相平分) AECF EOOF 又BOOD 四边形BEDF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形) 则BEDF，BEDF (平行四边形的一组对边平行且相等) 即BE与DF相等且平行说明：根据题目中的已知条件，找出解题的思路先识别平行四边形，利用平行四边形的特征，从中寻找与所求线段有关的四边形情况，再识别平行四边形，再利用平行四边形的特征，反复运用平行四边形的识别与特征从中获得解题的方法3、如图7，已知E是平行四边形ABCD中DA延长线上一点，且AEAD，连结EC分别交AB、BD于F、G，试说明AFBF (浙江湖州02)EAFBGDC图7分析：要说明AFBF可考虑AB与CE互相平分，就必须先识别四边形ACBE是平行四边形解：在ABCD中 ADBC，ADBC 又AEAD AEBC，AEBC 由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 可得四边形ACBE是平行四边形 再由平行四边形的对角线互相平分得：AFBF 说明：要识别线段相等，应根据两条线段的位置关系和条件：当相邻时，考虑等角对等边寻找角相等；当相交时，考虑旋转变换寻找旋转中心；当同一直线上时，考虑等式加减或互相平分，寻找等量关系或识别平行四边形4、把边长为3cm、5cm、7cm的两个形状和大小相同的三角形拼成平行四边形，请问可拼成几个不同的平行四边形？它们的周长分别是多少？ 分析：要拼成四边形必须把相同的边长合在一起，那么可拼成6个四边形，其中有3个平行四边形则相同的边成为平行四边形的对角线，另两条是平行四边形的邻边 解：可拼成3个不同的平行四边形它们的周长分别是16cm、20cm、24cm 当7cm长为对角线时，周长为2(35) 16cm当5cm长为对角线时，周长为2(37) 20cm当3cm长为对角线时，周长为2(75) 24cmFDCOEAB图85、如图8，在ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AECF请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图形中已有的某一条线段相等(只需证明一组线段相等即可)； (北京市2003) (1) 连结 BF、DF (2) 猜想： DF BE (3) 证明：连结BD交AC于O， 在ABCD中，AOOC、BOOD AECF OEOF 四边形BEDF是平行四边形 (对角线互相平分)说明：应引导学生通过操作与探索，发现识别平行四边形；挖掘平行四边形的特征，从而认识平行四边形的边、角及对角线之间的位置关系和数量关系本题属开放题型有多种的结论也可猜想BFDE等 6、如图9，在ABCD中，E在AC上，AE2CE，F在AB上，BF2AF，如果BEF的面积是2cm 2，求ABCD的面积解：BF2AF，BEF的面积是2cm 2 A F B AEF的面积是1cm 2 ，AEB的面积是3cm 2 又AE2CE，AEB的面积是3cm 2 E图9 BEC的面积是cm 2 ，ABC的面积是(3)cm 2 D C 在ABCD中，SABCD2SABC2(3)9 cm 2说明：平行四边形的面积计算公式是底乘以高，但有时也转化为两个或四个三角形的面积来计算注意利用同底等高或同高等底三角形面积比转化为底或高的比，达到解平行四边形面积问题7、如图10，己知：D、E分别是ABC中AB、AC的中点，试说明：DEBC DEBCEAB图10DFC分析：一般地我们是把四边形的问题转化为三角形来解决，现在我们将思维逆转一下，将三角形的问题转化为四边形来解决，充分地体现转化思想在数学知识中的运用 解：延长DE到F，使EFDE 连结AF、CD E为AC的中点 AEEC 四边形ADCF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形) DACF ADFC (平行四边形一组对边平行且相等) 又ADD