第二十届华杯赛初赛初二详解.pdf

咨询电话 咨询电话 400 6566 196学理科到学而思学理科到学而思 第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛初赛 A 试卷 初二组 试卷 初二组 时间 2015 年 3 月 14 日 10 00 11 00 一 选择题一 选择题 每小题 10 分 共 60 分 1 已知在三角形 ABC 中 34ABBC BE 是ABC 的角平分线 且 E 在 AC 上 过 C 作 BE 的垂线 垂足为 D 如果BCD 的面积为 3 则三角形 ABC 的面积 为 A 9 4 B 16 C 4 D 8 解 析 D 此 题 为 公 开 题 延 长CD与AB交 于 点F 则 FBDCBD BDBD 90FDBCDB 故FDB CDB ASA 于是 3 4 BFBCAB 26 BFCBCD SS 而 3 4 BF AB 可得 3 4 BFC ABC S S 所以8 ABC S 2 已知实数 a b c 满足 1 3 abbcca 其中 x定义为 xx x 表示不大于 x 的最大整数 那么 abc 有 种可能的取值 A 1 B 2 C 3 D 4 解 析 B 1 3 ababbcbccaca 三 式 相 加 得 21abcabbcca 需 2 abc 为整数 于是 abc 为 0 或 1 2 举例说明它们是可以取到的 1 6 abc 时 1 2 abc 2 3 abc 时 0abc 咨询电话 咨询电话 400 6566 196学理科到学而思学理科到学而思 3 如果在等腰三角形 ABC 中 3 0 A 0 1 B 点 C 在坐标轴上 那么满足 条件的点 C 有 个 A 5 B 6 C 7 D 8 解析 B 如图 4 用一批相同的机器计划加工一种工件 实际工作时 上午每台机器加工的工 件数比计划要加工的数目多 5 件 下午每台机器加工的工件数为 13 件 这样 8 台机器上午加工的工件数目超过了 164 件 而且 5 台机器一天加工的工件 数目比 8 台机器在上午加工的工件数多 那么一台机器原计划上午加工工件 个 A 18 B 17 C 16 D 15 解析 C 设一台机器原计划上午加工工件x个 则 8 5 164 5 513 8 5 x xx 得到 3150 23 x 又x为整数 故16x 5 设 a b c d e 为非负实数 且1abcde 记abc bcd cde 的最大值为 M 则 M 的最小值是 A 0 B 4 1 C 2 1 D 4 3 解析 C 211Mabccdec 1 2 M 接下来看 1 2 M 能否取到 可 咨询电话 咨询电话 400 6566 196学理科到学而思学理科到学而思 以选取 1 4 abde 0c 此时 1 2 abcbcdcde 6 一个网格 小网格都是单位正方形 小明拟以格点为顶点尝试连接出正三角 形 正方形 正六边形和正八边形 实际上 小明只能连接出其中 种 类型 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 A 正方形易得 若可以连出正六边形一定可以得到正三角形 先来看正三角形是 否可以 如果正三角形两个顶点A B横坐标之差为a 纵坐标之差为b 则要使 得 22 ACABab 有三种情况 A C横坐标之差为a 纵坐标之差为b 此时BC与坐标轴平行 于是 22 ab 为整数 且BC上的高 22 3 2 ab 也是整数 矛盾 A C纵坐标之差为a 横坐标之差为b 此时A 为 90 不符合题意 22 ab 时 可以有AC平行于坐标轴 实际上跟情况 相同 三种情况均不符 合题意 故连结格点得不到正三角形 二 填空题二 填空题 每小题 10 分 共 40 分 7 在右图中 分别以正方形 ABCD 的顶点 B 和 C 为圆心 BC 为半径作圆 在正方形区域内交于 E 点 如果图中阴 影AED部分的面积是 4 3 6 14 则正方形ABCD的 边长等于 咨询电话 咨询电话 400 6566 196学理科到学而思学理科到学而思 解析 2 连结BE EC 则BCE 为等边三角形 30ABEDCE 设正方形边长 为x 则 2 3 4 BCE Sx 2 1 12 BAECDE SSx 扇形扇形 故 222 31 2 412 Sxxx 阴影 2 33 14 1 4646 x 解得2x 8 某同学用纸剪凸四边形 凸五边形 凸六边形 每种至少剪一个 剪出的多 边形共有 95 条边 那么所剪的多边形中的内角是直角的个数最多是 个 提示 凸多边形的内角均小于 180 度 解析 90 个 凸多边形外角和为 360 凸四边形最多有 4 个内角为直角 凸五边形 凸 六边形最多有 3 个内角为直角 先除去每种 1 个 即 15 条边 最多 10 个直角 余下 80 条边均为凸四边形时直角最多 且必须为矩形 因此直角最多有 90 个 9 如右图所示 五边形由大 小两个正方形和一个 直角三角形拼成 已知五边形的各边长都是整数 厘米 两个正方形面积之差等于33平方厘米 则 这个五边形的周长等于厘米 解析 34 设大 小正方形边长分别为x厘米 y厘米 x y均是整数 22 33xy 故有 1 33 xy xy 或 3 11 xy xy 又设BCa 厘米 222 ayxy 只有3xy 4y 5a 也有7x 五边形周长为3234xya 厘米 10 若 a b c 取自 1 到 9 之间的数字 a bc cb是三个质数 aS bcS cbS分别表示它们的各位数字之和 如果 cbbca