矩形、菱形、正方形、梯形典型问题例析.doc

Http:/矩形、菱形、正方形、梯形典型问题例析一、 思维误区警示ABNPMDQC例1 如图，M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点，且AD = 2AB求证：四边形PMQN为矩形错证：连结MN，四边形ABCD是平行四边形，ADBC又M、N分别为AD、BC的中点，AMBN，四边形AMNB是平行四边形AB =AD，AB =AM，四边形AMNB是菱形，ANBM，MPN =，同理，MQN=，四边形PMQN为矩形分析：错证由MPN =MQN=，就判定四边形PMQN为矩形是理由不充分的，还必须证明四边形PMQN是平行四边形才能说明问题正确证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC又DM =AD，BN =BC，DMBN，四边形BNDM是平行四边形，BMDN，同理可证ANMC，四边形PMQN是平行四边形连结MN，AMBN，四边形ABNM是平行四边形，又AD = 2AB，AD = 2AM，AB = AM，四边形ABNM是菱形，ANBM，MPN =，四边形PMQN为矩形例2 对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？错解：是分析：错解中没有真正理解矩形、菱形的概念，误认为对角线相等的四边形必是矩形，对角线互相垂直的四边形必是菱形其实，满足“对角线垂直且相等的四边形”除正方形外，还可画出无数个符合条件的四边形正确解法：不一定若两对角线又互相平分则是正方形，若对角线不互相平分则不是AFGCDB1243例3 如图，D是四边形ABCF的BC边上一点，ABDF，1 =2，AC = DF，FCAD，AC、DF交于点G求证：四边形ADCF是等腰梯形错证：ABDF，1 =3，1 =2，2 =3，GA =GDAC = DF，GC = CF，GAD、GCF均为等腰三角形且顶角相等，3 =4，ADCFAD = AD，2 =3，AC = DF，ADCDAFCD = AF，四边形ADCF是等腰梯形分析：在证明ADCF，CD = AF后，根据梯形定义，还须证明AFDC，因为AFDC时，四边形ADCF是平行四边形关于这一点在证明梯形时一定要注意正确证法：ABDF，1 =3，1 =2，2 =3，GA =GD又AC = DF，GC = CF，GAD、GCF均为等腰三角形且顶角为对顶角由三角形内角和定理知3 =4，从而ADCF又AD = AD，2 =3，AC = DF，ADCDAF，CD = AF若AFDC，则ADCF是平行四边形，则有AD = CF，与FCAD矛盾，AFDC，ABFDCGE四边形ADCF是等腰梯形二、 典型例题精析例4 如图，在ABC中，BAC =，ADBC，垂足为点D，CE平分ACB，交AD于点G，交AB于点E，EFBC，垂足为F求证：四边形AEFG是菱形证明：CE平分ACB，EFBC，BAC =，EA = EF，AEC =FEC，EFBC，ADBC，EFAD，AGE =FEC =AEC，AE = AG同理可得EF = FG.四边形AEFG是菱形评析：由已知可知图中有角平分线、垂线和平行线，可先证四边形AEFG是平行四边形，再证一组对边相等，或连结AF，也易证EG与AF互相垂直平分DCAEFOB例5 如图，O为矩形ABCD对角线交点，过O作EFAC分别交AD、BC于F、E，若AB = 2cm，BC = 4cm，求四边形AECF的面积解：在矩形ABCD中，OA = OC，ADBC，OAF =OCE，AFO =CEO，OAFOCE，OE = OFEF、AC互相垂直平分，四边形AECF为菱形，AE = EC设AE =a，则EC = a，BE = 4a，在RtABE中，AE= ABBE，a= 2(4a)，解得a = 2.5= CDEC = 2a = 5，即四边形AECF的面积为5cm评析：求四边形AECF的面积，先应确定四边形AECF的具体形状，然后，再根据已知条件求出确定形状的图形的面积例6 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，MNAB，且分别与AO、BO交于M、N求证：BM = CN；CNBM分析：由于正方形的对角线互相垂直平分且相等，故图形中存在着许多直角和相等的线段又每条对角线平分一组对角，于是可证OAB =OBA=，从而可证OM = ON，这样就可以通过证三角形全等把问题解决ABCDOGNM12证明：在正方形ABCD中，DAB =ABC=，OB = OA = OC，ACBD，CON=BOM =，OAB =OBA=，MNAB，OMN =ONM=，OM = ONBOMCON (SAS)，BM = CN1 =2，而1OMB =，2OMB =，延长CN交BM于G，得CGM=，CNBM评析：证明此题的难点在于BM、CN没有交点，表面上看，要证明CNBM缺少条件其实，垂直是两直线的相互关系，只要将CN延长交MB于G，它们的垂直关系就很明显了两线段互相垂直，不论它们相交与否，延长后一定会交成角例7 如图，在正方形ABCD中，E为CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE = CF求证：BCEDCF；若BEC =，求EFD的度数分析：由正方形的性质，不难得到BECDFC，欲求EFD的度数，这要靠三角形中角的关系求得由DFC=BEC，只需知道BEC及EFC的大小即可求解而BEC为已知，EFC可求得证明：在正方形ABCD中，BC = DC，BCD =CABDFE在RtBCE和RtDCF中，BC = DC，CE = CF，RtBCERtDCFCE = CF，CEF=CFE，EFC =() =，RtBCERtDCF，CFD =CEB=，ABCDOEFHEFD =DFCEFC=评析：解决本题的关键是由CE = CF，求得EFC例8 如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，四边形AEFC是菱形，EHAC，垂足为H求证：EH =FC分析：要证明EH =FC，由菱形AEFC知，FC = AC，只要能证EH =AC即可，再根据正方形的性质，BD = AC，OB =BD，再证EH = OB即得证出结论证明：在菱形AEFC中，FC = AC，ACEF在正方形ABCD中，ACBD，AC = BD，OB =BD，OB =FC，EBO =EHAC，BEH=EHO =，BEH=EHO=EBO四边形OBEH为矩形，OB = EH，即EH =FC评析：解此题充分利用特殊图形的特殊性质，通过一系列的等量代换，最后得出结论例9 如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD = 1，BC = 4 ，AC = 3，BD = 4，求梯形的面积分析：由于需要求出梯形的高，一般都是把已知线段归结到三角形中去考虑，这就需要添加辅助线来完成EADCBF解：过点D作DEAC交BC延长线于E，DFBC于FADBC ，四边形ACED是平行四边形，DE = AC = 3，CE = AD = 1，BE = BCCE = 5BDDE= 43= 25，BE= 25，BDDE= BE，即BDE为直角三角形，其中BDE =，=(ADBC) DF =BEDF =BDDE =43 = 6评析：求梯形的面积如已有上、下底长缺高线长，如何利用对角线长求高，必须平移对角线，把已知线段转移到一个三角形中去求解例10 如图，在梯形ABCD中，ADBC，BAD =，E是DC的中点，求证：EADBCFAEB = 2CBE分析：由于DE = EC，ADBC，如果延长AE交BC的延长线于F，可构造全等三角形ADE和FCE，从而AE = EF，这时E成为RtABF斜边的中点，可求得CBE =F，由AEB=CBEF可得结论证明：延长AE交BC的延长线于F，ADBC，D =FCE，DAE =F又DE = EC，ADEFCE，AE = EF，ABC =BAD =，E是RtABF斜边的中点，BE = EF，CBE =FAEB=CBEF= 2CBE评析：本题把直角梯形中的问题化归到直角三角形中去解决，这种辅助线的作法是梯形中常见辅助线之一梯形是在三角形和平行四边形的基础上进行研究的，研究梯形时，需要添加适当的辅助线，把梯形转化成平行四边形和三角形，掌握一些作辅助线的技巧对于学好梯形是大有益处的常用的辅助线添加法是：移动一腰，即从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形；从同一底的两端作另一底的垂线，把梯形分成一个矩形和两个直角三角形(如果是等腰梯形，所得到的两个直角三角形是全等的)；