数论分解质因数.doc

数论分解质因数 一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数（也叫素数）.例如，2，5，7，101，.一个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合数.例如，4，12，99，501，.1不是质数，也不是合数.也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有3个约数的整数是合数，1只有一个约数，也就是它本身. 质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数，例如，15，33，. 例9 （+）=209. 在、中各填一个质数，使上面算式成立. 解：209可以写成两个质数的乘积，即 2091119. 不论中填11或19，+一定是奇数，那么与是一个奇数一个偶数，偶质数只有2，不妨假定内填2.当填19，要填9，9不是质数，因此填11，而填17. 这个算式是 11（172）209， 11（217） 209. 解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积，特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法，这也是这一节所讲述的主要内容. 一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2，3，7，都是42的质因数，6，14也是42的因数，但不是质因数. 任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，例如 360222335. 还可以写成36023325. 这里23表示3个2相乘，32表示2个3相乘.在23中，3称为2的指数，读作2的3次方，在32中，2称为3的指数，读作3的2次方. 例10 有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？ 解：我们先把5040分解质因数 5040243257. 再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积： 24325778910. 所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁. 利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数（包括1和它本身）.为寻求一般方法，先看一个简单的例子. 我们知道24的约数有8个：1，2，3，4，6，8，12，24.对于较大的数，如果一个一个地去找它的约数，将是很麻烦的事. 因为24233，所以24的约数是23的约数（1，2，22，23）与3的约数（1，3）之间的两两乘积. 11，13，21，23，221，223，231，233. 这里有428个，即 （31）（11）个，即对于24233中的23，有（31）种选择：1，2，22，23，对于3有（11）种选择.因此共有（31）（11）种选择. 这个方法，可以运用到一般情形，例如， 1442432. 因此144的约数个数是（41）（2+1）15（个）. 例11 在100至150之间，找出约数个数是8的所有整数. 解：有871； 8（31）（11）两种情况. （1）27128，符合要求， 37150，所以不再有其他7次方的数符合要求. （2）238， 813104， 817136，符合要求. 3327； 只有275135符合要求. 53135，它乘以任何质数都大于150，因此共有4个数合要求：128，104，135，136. 利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行质因数分解，例如 72024325，1682337. 那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数，上面两个整数都含有质因数2，较低指数次方是23，类似地都含有3，因此720与168的最大公约数是 233 24. 在求最小公倍数时，很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请注意720中有5，而168中无5，可以认为较高指数次方是51=5.720与168的最小公倍数是 2432575040. 例12 两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30，已知其中一个数是90，另一个数是多少？ 解：18022325， 30235. 对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在两数中取次数较低的，从22与2就知道，一数中含22，另一数中含2；从32与3就知道，一数中含32，另一数中含3，从一数是 902325. 就知道另一数是 223560. 还有一种解法： 另一数一定是最大公约数30的整数倍，也就是在下面这些数中去找 30， 60， 90， 120，. 这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是180，最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是.逐一去检验，有时会较费力. 例13 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？ 解：把420分解质因数 42022357. 为了保证分子、分母不能约分（否则约分后，分子与分母的乘积不再是420了），相同质因数（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母.分子从小到大排列是 1，3，4，5，7，12，15，20. 分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是 两个整数，如果它们的最大公约数是1.就称这两个数是互质的. 例13实质上是把420分解成两个互质的整数. 利用质因数分解，把一个整数分解成若干个整数的乘积，是非常基本又是很有用的方法，再举三个例题. 例14 将8个数6，24，45，65，77，78，105，110分成两组，每组4个数，并且每组4个数的乘积相等，请写出一种分组. 解：要想每组4个数的乘积相等，就要让每组的质因数一样，并且相同质因数的个数也一样才行.把8个数分解质因数. 623， 24233， 45325， 65513， 77711， 782313， 105357， 1102511. 先放指数最高的质因数，把24放在第一组，为了使第二组里也有三个2的因子，必须把6，78，110放在第二组中，为了平衡质因数11和13，必须把77和65放在第一组中.看质因数7，105应放在第二组中，45放在第一组中，得到 第一组：24，65，77，45. 第二组：6，78，110，105. 在讲述下一例题之前，先介绍一个数学名词-完全平方数. 一个整数，可以分解成相同的两个整数的乘积，就称为完全平方数. 例如：422， 933， 1441212， 6252525.4，9，144，625都是完全平方数. 一个完全平方数写出质因数分解后，每一个质因数的次数，一定是偶数. 例如：1443242， 1002252， 例15 甲数有9个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数最小公倍数是2800，那么甲数和乙数分别是多少？ 解：一个整数被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它的约数的个数才会是奇数.因此，甲数是一个完全平方数. 280024527. 在它含有的约数中是完全平方数，只有 1，22，24，52，2252，2452. 在这6个数中只有2252100，它的约数是（21）（2+1）9（个）. 2800是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是1002252，因此乙数至少要含有24和7，而247112恰好有（4+1）（11）10（个）约数，从而乙数就是112. 综合起来，甲数是100，乙数是112. 例16 小明买红蓝两种笔各1支共用了17元.两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买都不能把35元恰好用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？ 解：3557.红、蓝的单价不能是5元或7元（否则能把35元恰好用完），也不能是17-512（元）和17-710（元），否则另一种笔1支是5元或7元. 记住：对笔价来说，已排除了5，7，10，12这四个数. 笔价不能是35-17=18（元）的约数.如果笔价是18的约数，就能把18元恰好都买成笔，再