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第二节 机械振动基础一. 振动的分类1. 按振动产生的原因分为：自由振动、强迫振动、自激振动（1） 自由振动是系统受初始干扰或原有外激励力取消后产生的振动（2） 强迫振动是系统在外激励力作用下产生的振动（3） 自激振动是在没有周期外力作用下.由系统内部激发及反馈的相互作用而产生的稳定的周期振动2. 按结构参数的特性分为：线性振动、非线性振动（1） 线性振动是系统内的恢复力、阻尼力和惯性力分别与振动位移、速度和加速度成线性关系的一类振动，可用常系数线性微分方程来描述（2） 非线性振动式系统内上述参数有一组以上不成线性关系时的振动，此时微分方程中将出现非线性项。3. 按系统的自己度数分为：单自由度系统振动、多自由度系统振动、连续体振动（1） 单自由度系统振动是指只用一个独立坐标或能确定的系统振动（2） 多自由度系统振动是需要多个独立坐标才能确定的系统振动（3） 连续体振动即无限多自由度系统的振动，一般也称弹性体振动，需用偏微分方程来描述自由度数是完全描述系统的一切部位在任何顺时的位置所需要的独立坐标的个数4. 按振动的规律分为：简谐振动、周期振动、瞬态振动、随机振动(1) 简谐振动是振动量为时间的正弦或余弦函数的一类周期振动(2) 周期振动是指振动量可表示为时间的周期函数的一大类振动，可用谐波分析法将其展开成一系列简谐振动的叠加。(3) 瞬态振动是指振动量为时间的非周期函数，通常只在一定时间内存在。(4) 随机振动是指振动量为时间的非确定性函数的一大类振动，只能用概率统计的方法进行研究。5 按振动位移的特征分为：直线振动、圆振动（1） 直线振动的特征是振动体上质点的运动轨迹是直线，包括振动体上质点只沿轴线方向振动的纵向振动和振动体上做垂直于轴方向振动的横向振动（又称弯曲振动）（2） 圆振动的特征是振动上质点的运动轨迹为圆弧线，对轴线而言，振动体上的质点只作绕轴线的振动，也称角振动或扭转振动。二、振动的表示方法 1.机械振动的一般表示方法 机械振动是一种特殊形式的运动。在这种运动过程中，振动系统将围绕其平衡位置作往复运动。从动力学的观点看，机械振动是指振动系统的某些物理量（位移、速度、加速度）随时间的变化的规律。这种规律如果是确定的 则可用函数关系式 x=x（t） （3-1）来描述其运动。也可用函数图形来表示，通常以时间为横坐标，以振动的物理量为纵坐标，图3-1表示了以位移x为纵坐标的几种典型的机械振动。 对于周期振动可用时间的周期函数表示为： x（t）=x（t+nT） n=1,2, （3-2）式中T为振动周期，单位为s。周期的倒数，即(a)周期振动 （b）瞬态振动 （c）随机振动 图3-1 几种典型的机械振动 f=1T （3-3）定义为振动频率，单位为Hz。 2.简谐振动的表示方法 (1)正弦、余弦、函数表示法 简谐振动是一种最简单的周期振动，也是最基本的振动形式，是研究其它形式振动的基础。简谐振动的时间历程是正弦或余弦函数，它的位移可表示为： x=Acos t,或y=Asin t （3-4）式中A为振动位移的最大值，称为振幅：w称为振动角频率或圆频率，单位rad/s;wT称为相位角。一般常用频率f或周期T来表示振动的快慢，w、f、T的关系为： w=2f， T=2 （3-5） (2)旋转向量表示法 一个模为A的向量以匀角速度w作逆时针旋转时（如图3-2所示），它在横坐标x和纵坐标y上投影分别为： x=Acos t,或y=Asin t正好与简谐振动表示（3-4）相同，因此可用旋转向量来表示简谐振动。旋转向量的模A即为振幅，其旋转角速度为w即为简谐振动的角频率。振动的起始点（t=0）的位置可用出相位角q来确定。因此，更一般的简谐振动表达式为 x（t）=Asin(t+) (3-6) 图3-2 简谐振动的旋转向量表示法 对上式分别求一阶二阶导数可得到简谐振动的速度和加速度表达式，即 x(t)=Acos(t+2) (3-7) x(t) =-A2sin(t+)=A2sin(t+) (3-8) 由式（3-6）一式（3-8）可见，若位移为简谐函数，其速度和减速度也必然为简谐函数，且具有相同的频率，不过在相位上，速度和加速度分别超前2和，另外注意到 x(t) =-2x(t) (3-9) 可见，简谐振动的加速度大小与位置成正比，方向与位移相反，始终指向平衡位置，这是简谐振动的一个重要特征。 （3） 复数表示法 一个复数z=a+jb 在复平面上是一个点，它和坐标原点的连线代表复平面上的一个向量，称为复向量，其模和辐角为： z=a2+b2=Aargz=t (3-19) 如图3-3所示，复数z的实部和虚部分别为： Re z=a=Acos tIm z=b=Asin t (3-11)则复数表达式为：z=A(cos t+jsint)=Aeit （3-12） 图3-3 简谐振动的复数表示法由式（3-11）或式（3-12）可知复数z的虚部和实部均表示一个简谐振动。为了便于运算，可事先约定用复数的虚部和实部来表示所研究的简谐振动。对于一个简谐振动，设其位移的复数形式为 z(t)=Aei(t+) (2-13) 则相应速度和加速度的复数形式分别为： z(t)=jAej(t+)=Aei(t+2 (3-14) z(t)=-2Aej(t+)=2Aej(t+) (3-15) 将上述式（3-13）式（3-15）分别与式（3-6）式（3-8）对比可知 x=Im z, x=Im z, x=Im z (3-16) 三、简谐振动的基本性质1.两个相同频率的简谐振动的合成仍然是简谐振动，而且保持原来的频率。 证明 设两个简谐振动分别为x1(t)=A1sin(t+1)及x2(t)=A2sin(t+2)则有 x1(t)+ x2(t)=ImA1ej(t+1)+A2ej(t+2)= Imejt(A1ej1+A2ej2 =Imejt（A1cos 1+A2cos 2）+j(sin 1+A2sin 2) =Im(ejtAej)=Asin(t+) (3-17)式中 A=(（A1cos 1+A2cos 2）+(A1ej1+A2ej2)1/2=arctanA1sin 1+A2sin 2A1cos 1+A2cos 2 (3-18)2.频率不同的简谐振动的合成不再是简谐振动，频率比为有理数时，合成为周期振动；频率比为无理数时，合成非周期振动。证明 设两个简谐振动分别为x1(t)= A1sin(t+1)及x2(t)= A2sin(t+2),并另12=mn,m、n互质,则m21=n22,即mT1=nT2+T,记x(t)=x1(t)+x2(t),所以x(t+T)=x1(t+T)+ x2(t+T)=x1(t+mT1)+x2(t+mT2) =x1(t)+ x2(t)=x(t)例3-1 判断下列振动是否周期振动，若是求其周期（1）x(t)=cos 3t+7sin 3.5t（2）x(t)=6cos 3t+8cos31.6t（3）x(t)=3sin2t+cos3t解 （1）根据性质2，由于12=33.5=67为有理数，则该振动为周期振动，周期为T=623=723.5=4s（2）将原式利用三角函数变换得：x(t)=6cos3t+4cos 3.2t+4则根据性质2，由于12=33.5=1516为有理数，则该振动为周期振动，周期为T=1523=723.2=10s（3）根据性质2，由于12=23=23为无理数，所以该振动为非周期振动。四、 周期振动的谐波分析 前面介绍的简谐振动是最简单的周期振动，而在实际工程问题中更过的是非简谐的周期振动，这时可以通过谐波分析将其分解成简谐振动。 根据数学知识可知，满足狄利克雷条件的周期信号可展开成如下傅里叶级数形式：x(t)=a02+n=1(ancos n1t+bnsin n1t) =a02+n=1Ansin(n1t+1) (3-20)式中1=2T称为基频，An=an2+bn3,n=arctananbn,a0、am、bn可利用如下的三家函数的正交性得到，即 a0=2T0Tx(t)dtan=2T0Tx(t)cos n1tdtbn=2T0Tx(t)sin n1tdt (3-21)式中（3-20）中.表示周期振动的平均值，级数的每一项都是简谐振动。因此，借助于谐波分析的方法，任意一个周期振动都可以分解成无穷多个简谐振动的叠加。五、 机械振动系统的动力学模型 1.机械振动系统的基本元素机械系统之所以会产生振动是因为它本身具有惯性和弹性从能量的观点看，惯性是系统保持动能的特性，而弹性则是系统贮藏势能的特性。因此，一个实际的机械系统在振动时总要耗散能量，将所有耗散振动能量的因素归结为一种特性、称为阻尼。当外界对系统作攻时，系统的惯性就吸收动能，使质量获得速度，弹簧就获得变形能，具备了使质量回到原来状态的能力，这种能量的不断转换就导致了系统质量回绕平衡位置的往复振动。系统如果没有外界不断地输入能量，由于阻尼的存在，振动现象将逐渐消失。因此，惯性、弹性、和阻尼是机械振动系统的三要素。2.动力学模型由上述介绍可知，机械系统的振动特性主要取决于系统本身的惯性、弹性和阻尼 实际机械或结构的这些性质都是比较复杂的，为了能运用数学工具对它们的振动特性进行分析计算，需要将实际系统作一定程度的简化，建立起既能反映实际系统的动力学特性又能进行分析计算的动力学模型。根据实际系统的复杂程度和所采用的简化方法，动力学模型大致可分为以下三类：（1） 集中参数模型 由惯性元件、弹性元件和阻尼元件等离散元件组成。（2） 有限单元模型 由有限个离散单元所组成，每一个单元则是连续的。（3） 连续弹性体模型 将实际结构简化为质量和刚度均匀分布或按简单规律分布的弹性体。上述前两种模型属于离散系统，其自由度数是有限的，系统的运动状态用常微分方程表达，而第三种模型则属于连续系统，其自由度数是无限的，它的运动状态需用偏微分方程来表达。 图3-4 汽车振动简化模型需要指出的是，由于实际系统的情况十分复杂，因此根据所要解决的问题和所要求的精度的不同，即使对于同一个实际系统，也可建立起不同的动力学模型。例如3-4（a）所示的汽车振动时，若其横向摆动很小可以忽略不计，则可认为汽车只在沿垂直平面的振动，于是系统可简化为图3-4（b）所示模型。在该模型中，车体振动的位需要两个坐标z（即车体质心的沿垂轴的坐标）和0（即车体纵向摆动相对质心的转角）才能确定，经过这样的简化后，系统具有两个自由度。如果要考虑汽车的横向摆动和前、后桥的振动，则系统的动力学模型将具有更多的自由度。还需要指出的是，机械振动系统中各参数的动态特性，严格地说都与系统的运动状态成非线性复杂关系。但是，由于工程实际中的机械振动大多属于微小振动，因此就有可能将上述非线性关系加以线性化，即当振动体的位移和速度较小时，可以认为弹性力是位移的一次函数，阻尼力是速度的一次函数，在这些条件下建立系统的线性动力学模型。在工程中还有很多机械振动系统是不能够线性化的，如果面前线性化，就会式系统的性质改变，所得的结果也将无法解决实际的动力学问题。对于这类系统就只能建立非线性动力模型来加以研究。第三节 单自由度系统振动 很多工程结构若只考虑单方向振动，则可以简化为单自由度系统。如点击固定在混凝土基础上如图3-5（a）所示，电机和基础可以看成是一个刚性物体，而土壤一方面具有弹性，又具有阻尼作用，该系统的动力学模型如图3-5（b）所示。下面分别介绍该类系统的自由振动和强迫振动。一、 单自由度系统的自由振动1 . 无阻尼情形对于图3-5（b）所以的单自由度系统，不考虑阻尼的影响，其自由振动微分方程如下： mx+kx=0令n=km,称为无阻尼系统的固有角频率（或圆频率）其频率形式fn=12km即为固有频率，则方程（3-22）变为 x+xn2x=0 (3-23)方程（3-23）的通解为 x(t)=A1cos nt+A2sin nt=Asin(nt+) (3-24)式中A=A12+A32,=arctan A1A2,二者由初始条件确定如下，已知系统的初始位置和速度分别记为：x(0)=x0,x(0)=x0,分别代入到式（.-24）中得 A1=x0,A2=x00则系统对初始条件的响应为x(t)=x0cos nt+x0nsin nt=x02+x0n sin(nt+arctanx0nx0 (3-25)2 .有阻尼情形对于图3-5(b)所示的单自由度系统，考虑阻尼的影响，其自由振动微分方程如下： mx+cx+kx=0 (3-36)令x=Aest代入到方程（3-26）中，得 ms2+cs+k=0 (3-27)方程（3-27）即为该系统的特征方程，其解为 s1,2=-c2mc2m-km (3-28)上式中，令=ccer=c2mn(称为阻尼比)，cer=2km=2mn(cer称为临界阻尼系数)，则有 s1,2=-nn2-1 (3-29)则方程（3-26）的通解为：